1、11,超静定结构,材 料 力 学,第十一章 静不定结构,11.1 概 述,11.2 力法解静不定的基本步骤,11.3 正则方程,11.4 对称性在分析静不定问题中的应用,11.5 多跨连续梁及三弯矩方程,1 概 述,一.静不定结构的形成,工程上的需要: 为提高结构的强度和刚度,静不定结构的类型,按构件变形形式分类,拉压,扭转,弯曲,组合,按未知力的性质分类,外力,内力,混合力,二.求解方法,混合法,要考虑三方面问题:,2 力法解静不定的基本步骤,静不定次数,一.判定静不定次数,判定方法,方法一：数未知力、方程个数。,方法二：去多余约束，直到静定。,= “多余”约束的个数,静定基的选取不唯一，也
2、不任意。,二. 选定基本静定系,1.去掉“多余”约束,选定适当的静定基,2.以“多余”约束力代替“多余”约束,静定基+原载荷+多余约束力=相当系统,三.建立多余约束处的变形协调条件,建立几何方程(变形位移),四.考虑物理关系建立补充方程,（利用能量法或叠加法计算几何方程中的位移）,五. 进一步求解相当系统 (强度, 刚度计算),EI=C,求作M 图,解：1.一次静不定,2.选静定基（拆去C支座，以FCy代之）,3.变形协调方程,例1,4.求fC,并代入fC =0,作Mq, MFCy图,在C点加单位力1，,方法1.单位载荷法,方法2.叠加法,5.作M 图 (强度, 刚度计算),6.讨论,增加中间
3、支座,例2 已知F, m, EI=C,求轴承反力。,3. 几何方程(协调方程),2.选静定基（去掉支座C,代之以FCy,解：1.一次静不定梁,4.求fC, 并代入 fC =0,先分别作出MF , Mm和MFCy图,在C点加单位力1，,由图乘法：,解得：,5. 进一步求解相当系统,根据平衡方程求其他反力,画M图，作强度,刚度计算。,例3 EI=C, 作M图。,解：1. 一次静不定梁。,3. 变形协调条件：,2. 选静定基（去C支座垂直约束,以FCy代多余约束）,4. 求VC ,并代入,+,解得：,5. 求其他约束反力，作M图,例4 悬臂梁 的 EI=30Nm，l=750mm, K=175103N
4、/m =1.25mm, F=450N, 问：弹簧分担多大的力？,解： 1. 分析，,此结构为一次静不定,2. 选静定基（去掉弹簧支座，代之以Fby）,3. 在B处建立几何方程,4. 求fB ,并代入,画MF, MFBy图,在B点加单位力1，,解得：,方法1.单位载荷法,方法2.叠加法,解得：,3 力法正则方程,建立规范化的补充方程式,变形几何方程,设“多余”未知力为Xi,n次静不定建立n个补充方程,一.一次静不定正则方程,二. 高次静不定正则方程,二次,三次,n次,1。 一次-会解,2。二次以上-会写会认.,要 求,4。力法正则方程,3。力法解静不定步骤,例5 EI=C ，作M图。,解：一次静
5、不定,选静定基（去掉B支座，以X1代之）,正则方程,解得：,M=Mm+MX1,例6 EI=C,作M图,解1：一次静不定,选静定基（去掉B支座，以X1代之）,解得：,正则方程,M=MF+MX1,1。结果为正，实际的约束力与假设方向一致为负则相反。,2。也可解除A点的约束力偶，取简支梁为静定基。,讨论,解2：一次静不定,选静定基（去掉B支座,以X1代之）,正则方程,解得：,1.拆开弹性支撑,将梁和弹性支撑作为一个系统，拆开处的相对位移为0.,即,2.拆去弹性支撑, 以梁为静定基, 列写梁上拆去弹性支承处的绝对位移.,即,关于弹性支撑,注 意,1.以相对位移计算时, 加单位力要加一对单位力;,2.以
6、绝对位移计算时, 弹簧的变形为负值,因其变形方向与梁上X1方向相反;,3.两种方法中11的含义不同.,例7 已知 AB梁EI , CD杆EA, F,求: CD杆内力,解: 1.一次静不定.,2.选静定基（将AB,CD在C处拆开加一 对相对力X1）,3. 正则方程,方法1,解得：,(受拉),4. 计算各系数.求解,方法2,解: 1.一次静不定.,2.选静定基,3. 正则方程,4. 计算各系数.求解,解得：,例8.梁AB, CD刚度为EI，杆IJ 抗拉刚度为EA，且EA=0.4EI/l2，1. 求IJ 杆内力；2. 求C端约束反力。,(1)一次超静定，,(3)正则方程：,解：1.解超静定,(2)选
7、静定基如图，,解得,2.求解C处约束反力M和FC,(4)计算系数,解X1,例9 已知EI=C, ml， 求(1)求弹簧C支承力.,(2)位移,解: 1. 一次静不定结构,2. 选静定基（选C处为多余约束.,3.建立正则方程，,为弹簧绝对变形,4. 计算各系数.求解,而:,解得:,5. 计算,得 B截面转角:,4 对称性在分析 静不定问题中的应用,结构对称,对称结构受对称载荷或受反对称载荷,对称内力素,FN , My , Mz,反对称内力素,二.对称内力素及反对称内力素,平面结构对称内力素及反对称内力素,对称内力素,FN , M,反对称内力素,FQ,反对称内力素为零,对称截面上,三.对称结构变形
8、的对称性及反对称性,对称载荷,对称结构,反力、变形对称,反力、变形反对称,反对称载荷,对称结构,对称截面上,对称内力素为零,解得：,X3=0,1. 对称结构受非对称载荷时,可转化为对称与反对称载荷的叠加。,四. 几点说明:,结构位于同一平面内，载荷与结构垂直，线弹性、小变形。,2. 结构(几何、 物理)方面是反对称的,也可导出相应结论。,3. 以上结论不仅适用于平面,也适用于空间静不定结构。,结论：,结构平面内的内力素为零。,例10 已知：F, EI1 , EI2为常数，试作弯矩图。,解:此问题为三次静不定，从对称面截开则为二次静不定。,解得:,+,五. 作图示刚架弯矩图,解：从对称面截开为一次超静定。,选静定基如图，,列正则方程,代入正则方程，解得,作M图,谢谢！,
