1、第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵4.2 4.2 满秩分解满秩分解4.3 4.3 三角分解三角分解4.4 4.4 QRQR分解分解4.5 4.5 SchurSchur定理与正规矩阵定理与正规矩阵4.6 4.6 奇异值分解奇异值分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵4.1.1 4.1.1 初等矩阵初等矩阵4.1.2 4.1.2 初等下三角矩阵初等下三角矩阵4.1.3 4.1.3 HouseholderHouseholder矩阵矩阵4.1.1 初等矩阵初等矩阵定义定义4.1.1 设 ，为一复数，如下形式的 矩阵nCvu,)1.1.4(),(HuvIvuE称为
2、初等矩阵初等矩阵.使得和可适当选取对任意非零向量vuCban,)3()3.1.4(),(bavuE 定理定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,)具有如下性质：;1),(det()1(uvvuEH矩阵也是初等矩阵可逆，并且其逆，则如果),(1)2(vuEuvH)2.1.4(),(),(1vuEvuE.1uvH其中4.1.2 初等下三角矩阵初等下三角矩阵，则令1,),0,0(,1iTniiiievlllu)1,()(iiiiielElLL称为初等下三角矩阵初等下三角矩阵,即)4.1.4(1001101)(,1iniiTiiiiillelIlLL.)()1,(,1)det(1.1.41iiiiiilL
3、elELL并且知由定理对初等下三角矩阵，当i 0,则存在 mr 矩阵B 和 rn 矩阵 C 使得BCA 并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩阵的满秩分解？矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩 分解是否唯一？如何计算矩阵的满秩分解？满秩分解有什么应用？满秩分解的应用：有关结论的证明。计算广义逆矩阵。4.3 4.3 三角分解三角分解 设A=(aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方的元素全为零，即对i j,aij=0（对i j,aij=0），则称矩阵 A 为上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角矩阵称为单位
4、上（下）三角矩阵单位上（下）三角矩阵。什么是矩阵的LU分解？矩阵的LU分解是否存在？如果存在，LU分解 是否唯一？如何计算矩阵的LU分解？LU分解有什么应用？上（下）三角矩阵的性质上（下）三角矩阵的性质 定理定理4.3.1（LU分解定理分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得LUA 的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零,即1,1,011nkkkAk定理定理4.3.2（LDU分解定理分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,dn)和单位上三角矩阵U使得LDUA 的充分必要条件是A的所有顺序主
5、子式均非零，即 ，并且)1,1(0niknkdadkkk,2,1111分解式 称为矩阵A的LDU分解分解。LDUA 一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵，A未必能作LU分解和LDU分解。定义定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,n)，以 为列作成的矩阵 称为 n 阶排列矩阵排列矩阵，其中 是1,2,n的一个排列。neee,21,21niiieeeniii,21定理定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使得LDUULPA其中L是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。U 排列矩阵的性质。排列矩阵的作用。LU分解的应用：求解线性方程
6、组。求解矩阵特征值问题。4.4 4.4 QR QR 分解分解定理定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三角矩阵 R使得)1.4.4(QRA 且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。什么是矩阵的QR分解？矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？如何计算矩阵的QR分解？QR分解有什么应用？定理定理4.4.3 设A 是 矩阵，且 ，则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 行满秩矩阵 R使得nm0)(rAranknr0RQA或A有分解RQA1行满秩矩阵。是列正交规范矩阵，是其中nrRrm
7、Q1定理定理4.4.2 设 A 是 实（复）矩阵，且其n 个列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得0RQAnmQR分解的应用：求解线性方程组。求解矩阵特征值问题。求解线性最小二乘问题。4.5 4.5 SchurSchur定理与正规矩阵定理与正规矩阵定义定义4.5.1使得矩阵阶正交（酉），如果存在UnCRBAnnnn)(,)(11BAUUAUUBAUUAUUHT则称A正交（酉）相似于正交（酉）相似于B。定理定理4.5.1(Schur定理定理)任何一个n 阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n 阶酉矩阵U 和一个n阶上三角矩阵 R 使得)1.
8、5.4(RAUUH其中R 的对角元是A 的特征值，它们可以按要求的次序排列。定义定义4.5.2，如果nnCA)5.5.4(AAAAHH则称A为正规矩阵。定理定理4.5.2 n 阶矩阵 A 酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵。推论推论4.5.1 若 A是n 阶Hermite矩阵，则 A必酉相似于实对角矩阵，即存在n 阶酉矩阵U 使得)6.5.4(AUUH特征值。的实是，其中Anidiagin),1(),(1(4.5.6)式称为Hermite矩阵矩阵A的谱分解式的谱分解式。定理定理4.5.3 设A，B 均为n 阶正规矩阵，并且AB=BA，则存在n 阶酉矩阵U 使得 与 同时为对角
9、矩阵。AUUHBUUH定理定理4.5.4 4 任何n 阶实矩阵A都正交相似于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得)7.5.4(RAQQT其中R是块上三角矩阵（或称拟上三角矩阵）,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。推论推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得)13.5.4(AQQT特征值。的实是，其中Anidiagin),1(),(14.6 4.6 奇异值分解奇异值分解则设引理,1.6.4nmCA)1.6
10、.4()()()(ArankAArankAArankHH则设引理,2.6.4nmCA；的特征值均为非负实数与HHAAAA)1().()()2(ArankAAAAHH等于重特征值按重数计算值的个数且非零特征的非零特征值相同，并与定义定义4.6.1使得和非零向量如果存在非负实数设mnnmCvCuCA,)2.6.4(,uvAvAuH则称为A的奇异值奇异值，u 和v 分别称为A对应于奇异值的右奇异向量右奇异向量和左奇异向量左奇异向量。由(4.6.2)可得)3.6.4(2uvAAuAHH)4.6.4(2vAuvAAH的特征向量。对应于特征值和分别是和的特征值，而的特征值，也是是因此22HHHHAAAAvuAAAA定理定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征值的模。定理定理4.6.2 设 A是 矩阵，且rank(A)=r，则存在m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得nm)5.6.4(000AUVH.0),(11rrdiag，且其中(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.奇异值分解的计算 奇异值分解的应用
