1、定义：定义：空间中空间中既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示；字母表示法：字母表示法：用字母用字母a、b等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示AB相等的向量：相等的向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD零向量、单位向量、相反向量；零向量、单位向量、相反向量；空间任意两个向量都是共面向量空间任意两个向量都是共面向量.空间向量的加减法与数乘运算空间向量的加减法与数乘运算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则aba+b三角形法则三角形法则向量的
2、减法向量的减法aba-b三角形法则三角形法则加法交换律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；abca+b+c abca+b+c a+b b+c a（3）向量的数乘运算）向量的数乘运算，其模长是，其模长是a|的的倍倍0aa 当当时，时，与与同向同向0aa 当当时，时，与与反向反向baba)(aa)()(空间向量的数乘分配律和结合律空间向量的数乘分配律和结合律 结合律：结合律：分配律：分配律：a (0)a (0)a化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD；BCAB；AAADAB21CCADAB)(31AAADABAB
3、CDA1B1C1D1例1化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体例1DCBAABCD；BCAB 解：ABCDA1B1C1D1BCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体例1DCBAABCD 21CCADAB设M是线段CC1的中点，则解：21CCADABCMAC AMABCDA1B1C1D1M)(31AAADAB设G是线段AC1靠近点A的 三等分点，则G化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体例1DCBAABCD)(31AAADABABCDA1B1C1D1M解：31ACAG.3 3、
4、共线向量、共线向量:零零向量与任意向量共线向量与任意向量共线.（1 1）共线向量）共线向量:如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作ba/（2 2）共线向量定理）共线向量定理:对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实的充要条件是存在实数数使使baobba/),(,ba 推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存
5、在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t ，其中向量，其中向量a叫做直线叫做直线的的方向向量方向向量.llaaOABPa4.4.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使,a byx,Pxayb p,a bOAabBCAPp 共面向量共面向量 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或或对空间任一点对空间任一点O,O,有有 APxAByAC OPOAx
6、AByAC探究：对空间任意一点探究：对空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式，试问满足向量关系式 （其中）的四点（其中）的四点P、A、B、C是否共面？是否共面？OPxOAyOBzOC1xyz例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 )1(例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 )1(解.1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111
7、 )1(例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD.1x解：例2：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D111 )3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC.2x111ACxADABAC解：ABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：ABMC
8、GD)(21 )1(BDBCABAGMGBMAB原式)1()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：)(21 )2(ACABAG)()1(CCBCABxACADyABxAAAE)2(ABCDDCBAE练习二：练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.)()1(CCBCABxACAABCDDCBE练习二：练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.ADyABxAAAE )2(ABCD
9、DCBAE练习二：练习二：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是面 AC1的中心,求下列各式中的x、y的值.例例3如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面ACOEOFOGOHkOAOBOCODHEFGDABCO1、如图，已知空间四边形、如图，已知空间四边形ABCD，连结，连结AC，BD，E，F分别是分别是BC，CD的中点，化简下的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量列各表达式，并标出化简结果的向量.CDBCAB)(21BCBDAB)(21ACABAF（1）（2）（3）AEANBDBM31,31ABCDEFNM4如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点M,N分别分别在对角线在对角线BD,AE上，且上，且求证：求证：MN/平面平面CDE
