1、第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式三、向量的坐标表示式 四、用坐标表示向量的模和方向余弦四、用坐标表示向量的模和方向余弦第六章 向量代数与空间解析几何空间直角坐标系空间直角坐标系三三个坐标轴的正方向符个坐标轴的正方向符合合右手系右手系.一、空间直角坐标系x xy yzoxyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组(,)x y z11 特殊点的表示特殊点的表示:(0,0,0)O(,)M x y z
2、xyzo(,0,0)P x(0,0)Qy(0,0,)Rz(,0)A x y(0,)By z(,)C x o z坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,Cxyzo 1MPNQR 2M12?dM M222212,dM PPNNM两点间的距离公式两点间的距离公式121,M Pxx21,PNyy221,NMzz22212dM PPNNM22212212121.M Mxxyyzz空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为(,),M x y z(0,0,0)OdOM222.xyz点条标轴设点轴为点则点标为线长轴 例例 1 1 求求M M（x
3、x,y y,z z）到到三三坐坐的的距距离离。解解 M M在在x x的的投投影影P P，P P的的坐坐P P（x x，0 0，0 0）,且且段段M MP P的的度度就就是是M M到到x x的的距距离离.由由（1 1）式式，得得22|00MPxxyzxy222（）（）（）同理可得，点同理可得，点到到轴和轴和轴的轴的距离分别为距离分别为Myz2222|,|,MQxzMRxy 其中其中,Q R分别是点分别是点M在在yz轴和轴和轴轴上的投影。上的投影。例例 2 2在在y轴上求与点轴上求与点y(1,3,7)(5,7,5)AB和等距离的点。等距离的点。解解 因为所求的点在因为所求的点在轴上，故可以设它为轴
4、上，故可以设它为(0,0),My依题意有依题意有|MAMB即有即有03700750yy 222222（1）（）（）（5）（）（）解得解得2y 因此，所求的点为因此，所求的点为(0,2,0).My向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：1M2M a模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.0|a向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：二、向量与向量的线性运算12M M 12M M 0a 或或或或或或1、向量的概念120M M 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相
5、同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.aabaa1 1 加法加法：abcabc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|cab分为同向和反向分为同向和反向bac|cab（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2 2、向量的线性运算、向量的线性运算1 1、向量的加减法、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba（2 2）结合律：）结合律：()abcabc().abc（3 3）()0.aa 2 2 减法减法()abab abbbc()c
6、abab ababab(1)0,|aa(2)0,0a(3)0,|aaa2a12a向量与数的乘法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：）结合律：()()aa ()a（2）分配律：）分配律：()aaa()abab0.ababa定理设向量，那末向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使两个向量的平行关系两个向量的平行关系0aa设表示与非零向量同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aa a 0.|aaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量
7、一个与原向量同方向的单位向量.例例3 3 已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD的对角线向量的对角线向量为为 ，,试用向量试用向量a a和和b b表示向量表示向量,ACa BDb 解解 设设 的交点为的交点为O O（图），由于平图），由于平行四边形对角线互相平分，故行四边形对角线互相平分，故.ABDA 和,AC BD 1111,2222AOACa BOODBDb12()12ABAOOBAOBODAADAOOD 根 据 三 角 形 法 则，有 （a-b）,-（a+b）.三、向量的坐标表示式三、向量的坐标表示式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标
8、表达式,xyzaaaa,xyzbbbb,xxyyzzabababab()()();xxyyzzab iabjab k,xxyyzzabababab()()();xxyyzzab iabjab k,xyzaaaa()()().xyza iaja kxyzo(,)M x y z(0,0,)Rz(,0,0)P x(0,0)Qy如图所示：如图所示：向量的坐标表示向量的坐标表示rxiyjzk则有r,rx y z上式称为向量的坐标表示式记作：设向量设向量(,)xyzra a a向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222|xyzaaaa1、向量的模、向量的模四、用坐标表示向量的模和方向余弦四、用坐标表示
9、向量的模和方向余弦空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：0,a 0,b ab(,)a b(,)b a类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值.(0)2 2、方向余弦、方向余弦非零向量非零向量 的方向角的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.0,0,0.xyzo 1M2Mxyzo 1M2M由图分析可知由图分析可知|cosxaa|cosyaa|co
10、szaa向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.PQR22212111M MM PM QM R2220 xyzaaa当当 时时，222cos,xxyzaaaa222cos,yxyzaaaa222cos.zxyzaaaa向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式222coscoscos1方向余弦方向余弦的和的和0a|aacos,cos,cos.特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例4 4 已知点已知点 求向量求向量11(2,1,3)(3,0,1).MM和方向相同的方向相同的12M M12M M的模、方向余弦及与的模、方
11、向余弦及与单位向量单位向量.解解 由（由（2 2）式和（）式和（3 3）式，得）式，得12(32,03)(1,1,2),M M（-1），1-故故22212116,112c o s,c o s,c o s.666MMa（-2）由（由（1111）式知，向量）式知，向量(cos,cos,cos)ea是与是与a a方向方向相同的单位向量，所以与相同的单位向量，所以与12M M 方向相同的单位方向相同的单位向量为向量为112(,).666e 例例5 5 设向量设向量 的方向角的方向角,42aa为锐角，为锐角，且且求求 向量的坐标表示式向量的坐标表示式a|2a|cos2 cos2,4|cos2 cos0,22|cos22,2xyzaaaaaaa 解解 因为因为222coscoscos142于是有于是有2cos()2 是锐角，负的舍去，故故 所以，向量所以，向量 的坐标表示式为的坐标表示式为a(2,0,2).a 例例6 6 设向量设向量2,aijk bjuk uab问 数，为 何 值 时，与平 行。解解 因为因为 ,故由（故由（8 8）式，得）式，得a b21,01u 即即210,1u，所以所以10.2u，练练 习习 题题练习题答案练习题答案
