1、第七节第七节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证证),(,21baxx ,
2、21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上上单单调调增增加加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy xyOabx1x2AB3 7图xyOabx1x2AB3 7图容易发现，如果 在 上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即 对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出在 内的导数的零点一般称导数 在区间内部的零点为函数 的驻点)(xf,ba0)()(2
3、1xfxf),(ba)(xf)(xf例例1 讨论函数 的单调性 31292)(23xxxxf确定函数的单调区间的一般步骤：第一步 求出函数 在考察范围 (除指定范围外，一 般是指函数的定义域)内部的全部驻点和不可导的 点（因为函数 在经过不可导点时也会改变单 调特性，如 在经过 不可导点时，由 单调减少变为单调增加）；第二步 用这些驻点和不可导的点将 分成若干个子区间第三步 确定 在各个子区间上的符号，从而利用定 理3.4判定函数 的单调性为了清楚，常采用列表方式)(xfI)(xfxy 0 xI)(xf)(xf解题过程例例2 讨论函数 的单调性 3223)(xxxf解题过程例例3 证明当 时，
4、0 x ln(1)xx解题过程(下面内容)函数的极值返回返回返回例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则
5、则,0)(),0(,),0)(xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3x5x6x7BC函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,
6、),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义xyo0 x xyo0 x 定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的
7、实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)证明从略 xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点
8、点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例4求函数 的极值32)1()2()(xxxf例例5求函数 的极值32)76()(xxxf例例6求函数 的极值xxxxf34)(23(以下内容)函数的最大值与最小值oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题图3-8xyOabx2x4Ax0 x1x3x5x6x7BC
9、步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最值值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1,x2,xn,则比较则比较f(a),f(x1),f(xn),f(b)的的大小大小,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值例例3 3.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy解解)1)(2(6)(xxxf得得解方程解方程,0)(
10、xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最小值求点求点,求值求值,比较比较例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁（图（图3 31717）.问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大能使梁的抗弯截面模量最大.解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题261bhw 由图由图3 31717看出，看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：222bd
11、h 因而因而)(6132bbdw hbd图图3170)3(6122 bdw解得解得db31 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在，在（在（0 0，d)内只有一个根内只有一个根0 w,31db 当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，,31db 1:2:3:323231222222 bhddhdddbdh实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函
12、数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻(以下内容)曲线的凹凸性与函数图形的描绘二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点3-1 0图)(a)(bOxxAyyABBCCDDOxyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点
13、处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法拐点的概念拐点的概念31)4(2xy 例例2 求曲线 的凹凸区间与拐点 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方ABC二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf)2(21xxf)2(21xxf)(1xf)(1xf)(2xf)(2xf定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上
14、）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数
15、内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例7 7.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf 拐点的概念拐点的概念,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点
16、又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例8 8的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线14334 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf
17、 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例9 9.)2,0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:例例1010.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy
