1、 3.1 3.1 解的存在唯一性定理和解的存在唯一性定理和逐步逼近法逐步逼近法 /Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method/概念和定义利普希兹条件一阶方程的初值问题存在唯一性定理25432111定理逐步逼近法的思想附注命题命题命题命题命题的证明定理定理内容提要内容提要/Constant Abstract/3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method本节要求本节要求/Requirements/掌握逐步逼近逐步逼近方法的基本思想 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 3.1
2、E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method一一 、概念与定义、概念与定义/Concept and Definition/Concept and Definition/1.1.一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示表示00(,).(3.1.1)().(3.1.2)dyfx ydxxy 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method0000(,)0.(3.1.3)(),().(3.1.4)F x y yy xyy xy2.2.利普希兹条件
3、利普希兹条件 函数),(yxf称为在矩形域:byyaxxR00,:(3.1.5)关于 y 满足利普希兹利普希兹 (Lipschitz)(Lipschitz)条件条件，如果存在常数 L0 使得不等式 2121),(),(yyLyxfyxf对所有Ryxyx),(),(21都成立。L 称为利普希兹常数。3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method二二 、存在唯一性定理、存在唯一性定理 定理定理1 1如果 f(x,y)在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解)(xy定义在区间 hxx0,且满足初
4、始条件00)(yx这里),(max),min(),(yxfMMbahRyxbyyaxxR00,:)1.1.3().,(yxfdxdy 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method定理定理1 1的证明的证明需要证明五个命题需要证明五个命题：命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解 命题 5 证明唯一性 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progr
5、essive Method定理定理1 1的证明的证明命题命题1 1 设)(xy是初值问题)2.1.3.(.)()1.1.3().,(00yxyxfdxdy的解的充要条件是)(xy是积分方程xxhxxxdxyxfyy0000),(3.1.6)的定义于hxxx00上的连续解。证明证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method证证 明明因为)(xy是方程(3.1.1)的解，故有:)(,()(xxfdxxd两边从xx 0到积分
6、得到:xxhxxxdxxxfxx0000)(,()()(把(3.1.2)代入上式,即有:hxxxdxxxfyxxx0000)(,()(因此,)(xy是积分方程在 hxxx00上的连续解.3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method反之，如果)(xy是(3.1.6)的连续解，则有：hxxxdxxxfyxxx0000)(,()(3.1.8)微分之，得到:)(,()(xxfdxxd又把0 xx 代入(3.1.8)，得到:00)(yx因此，)(xy是方程(3.1.1)定义于hxxx00上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题命题1
7、1证毕证毕.同理，可证在00 xxhx也成立。3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method现在取00yx)(，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:)9.1.3()(,()()(0001000 xxnnhxxhxdfyxyxxxdfy000)(,(00)(yx)(1xxxdfy010)(,()(2xxxndfy010)(,()(xn 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Methodxyox0 x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+hxxdfy000)(,(00
8、)(yx)(1x)(1x)(1x 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method命题命题2 2 对于所有的(3.1.9)中函数)(xn在hxxx00上有定义、连续，且满足不等式:)10.1.3()(0byxn证证 明明:（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）xxnnhxxxdfyxyx0001000)(,()()(当 n=1 时,xxdyfyx0),()(00101)(yx)(0 xxMxxdyf0),(0bMh xxdyf0),(0 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progres
9、sive Method即命题2 当 n=1 时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n，命题2都成立。即 当 n=k 时，)(xk在hxxx00且满足不等式byxk0)(xxkkdfyx0)(,()(01)(1x在hxxx00上有定义,连续xxkkdfyx0)(,()(01)(0 xxMbMh 上有定义，连续，而当 n=k+1 时，)(1xkhxxx00上有定义，连续。在 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method即命题在 n=k时也成立。由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。命题命题)(xn在hxxx00上是一致收
10、敛的。命题证毕命题证毕函数序列考虑级数:)11.1.3()()()(10010kkkhxxxxxx它的部分和为：nknkkxxxx110)()()()(3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method证明：证明：为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:)12.1.3()()(,()()(00001xxxxMdfxx 10010kkkhxxxxxx)()()(xxdffxx0)(,()(,()()(0112xxdxML0)(0dLxx001)()(xxnnhxxhxdfyx00010)(,()(20)(!2xxML 3
11、.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method现不妨假设对于正整数 n,不等式nnnnxxnMLxx)(!)()(011成立，dffxxxxnnnn0)(,()(,()()(11dLxxnn0)()(1xxnnnnxxnMLdxnML0100)()!1()(!于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:)13.1.3()(!)()(00011hxxxxxkMLxxkkkk 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method由此可知，当hxxx00时)14
12、.1.3(!)()(11kkkkhkMLxx(3.1.14)的右端是正项收敛级数11!kkkkhML的一般项，由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在hxxx00上一致收敛,因而序列)(xn也在上一致收敛。hxxx00命题命题3 3证毕证毕 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method)()(limxxnn则)(x也在hxxx00又可知byx0)(现设上连续，且由(3.1.10)10.1.3()(0byxn命题命题4 4)(x是积分方程(3.1.6)的定义于证证 明明:由利普希兹
13、条件)()()(,()(,(xxLxxfxxfnn以及)(xn在hxxx00上一致收敛于)(x上的连续解。hxxx00 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:xxnnnndfyx0)(,(lim)(lim10 xxnndfy0)(,(lim10即xxdfyx0)(,()(0即知序列)(,(xxfn在一致收敛.)(,(xxfhxxx00这就是说,)(x是积分方程(3.1.16)的定义于hxxx00上的连续解。命题命题4 4 证毕证毕 3.1 E3.1 Existence&Unique
14、ness Theorem&Progressive Method命题命题5 5)(x也是积分方程(3.1.6)的定义于 hxxx00 上的一个连续解,则hxxxxx00),()(证明证明:若首先证明)(x也是序列)(xn的一致收敛极限函数。为此，从00)(yx xxnnndfyx0)1()(,()(10 xxdfyx0)(,()(0进行如下的估计 xxxxMdfxx0)()(,()()(00 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive MethodxxxxMdfxx0)()(,()()(00 xxdffxx0)(,()(,()()(01xx
15、dL0)()(0 xxxxMLdxML0200)(!2)(现设nnnxxnMLxx)(!)()(011则有dffxxxxnn0)(,()(,()()(1 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method有dffxxxxnn0)(,()(,()()(1dLxxn0)()(1xxnndxnML0)(!010)()!1(nnxxnML故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n，有下面的估计式)15.1.3()()!1()()(10nnnxxnMLxx 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progres
16、sive Method因此，在hxxx00上有:)16.1.3()!1()()(1nnnhnMLxx1)!1(nnhnML是收敛级数的公项,故n时 0)!1(1nnhnML因而)(xn在 上一致收敛于 hxxx00)(x根据极限的唯一性，hxxxxx00)()(即得:命题命题5 5证毕证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。nkkknxxxx110)()()()(3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method例例求初值问题 的第三次近似解。0022)(yyxdxdy0)(0 xxdxxxx02021)()(xdxxxx0
17、2122)()(xdxxx0262363373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx014102623969189235953520792633151173xxxx33x 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method附附 注注/Remark/Remark/1）如果在 R 上fy存在且连续,则 f(x,y)在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。证yf在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L2,1 ),(iRyxi由中值定理2121),(),(),(yyxfyxfyxfy之间，在 21yy21yyL),(),(2
18、1yxfyxf故 f(x,y)在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method这条件是充分条件，而非必要条件。例例1ydxdy以 R 为半径中心在原点的矩形域无导数轴上在 )(0 ),(x yyyxf21yy),(),(21yxfyxf21yy 但故 f(x,y)在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。yf在 R 上存在且有界 f(x,y)在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。yf在 R 上存在且无界 f(x,y)在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。3.1 E3.1 Existence&Un
19、iqueness Theorem&Progressive Method2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。例例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。axyaaxyayxfdxdy 00 ),(f(x,y)在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一C 0 ydxdyaxyax yadxdyaxy，当，当 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method例例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。0 00 ln),(y yyyyxfdxdyf(x,y)在(x,0)
20、的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一0ln1yy)0,(),(1xfyxf0ln11yy1ln ,0yy不可能有界yydxdylndxyydyln 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Methoddxyydylndxyydlnln1lnlncxyxecy2ln02yeyxecxy 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method4)4)一阶隐式方程的解的存在唯一性一阶隐式方程的解的存在唯一性定理定理 2如果在点 的某一邻域中，对所有的变元 连续，且存
21、在连续的偏导数；),(000yyx),()yyxFa),(yyx0),()000 yyxFb0),()000yyyxFc则上述初值问题的解在 的某一邻域存在。0 x 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method0000(,)0.(3.1.3)(),().(3.1.4)F x y yy xyy xy事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 0),(yyxF),(yxfy),(00yxyyFFyf在 邻域内连续，在以 ),(00yx),(00yx为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y)在D 中关于
22、y 满足Lipschitz条件。由解的存在唯一性定理，00)(),(yxyyxfdxdy的解 y(x)存在唯一，存在区间中的 h 可足够小。同时，有00)(yxy),()(0000yxfyxy 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method三三 、近似计算和误差估计近似计算和误差估计 第第 n 次近似解次近似解第第 n 次近似解的误差公式次近似解的误差公式xxnnhxxxdfyxyx0001000)(,()()(1)!1()()(nnnhnMLxx 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Pr
23、ogressive Method例例4 4方程 定义在矩形域,11 ,11 :yxR22yxdxdy试确定经过点(0,0)的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。解解2max22),(yxMRyx21)21,1min(),min(Mbah满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz 常数取为 L=2，因为 Lyyf22 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method1)!1()()(nnnhnMLxx1)()!1(1nLhnLM05.0)!1(1n3n0)(0 xxdxxxx02021)()(33xxdxxxx02122)()(xdxxx0262363373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx014102623969189235953520792633151173xxxx 3.1 E3.1 Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method思考：思考：1、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：210 00 122xyxyy,)(,cos)(32210 00 22xyyxy,)(,)(xyyeyx0 00 1 32,)(),ln()(
