1、112/6/2022第一节第一节 复级数的基本性质复级数的基本性质2、复数项级数、复数项级数3、复函数项级数、复函数项级数4、解析函数项级数、解析函数项级数1、复数列的极限、复数列的极限第四章第四章 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示212/6/20221.复数列的极限复数列的极限定义定义0,如如任任意意给给定定相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正整整(),nNnN 数数使使在在时时:成成立立 ,时时的的极极限限当当称称为为复复数数列列那那末末 nn 记作记作.lim nn .收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n ,),2,1(其其中中为为一一复复数数列列设设 nn,nnnib
2、a ,为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 复数列收敛的条件复数列收敛的条件(1,2,)nnnaibnaib 定定理理 复复数数列列收收敛敛于于的的充充要要条条件件是是lim,lim.nnnnaabb 312/6/2022,lim nn如如果果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0 就能找到一个正数就能找到一个正数N,时时当当Nn ,)()(ibaibann证证,)()(bbiaaaannn从而有从而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之,如果如果,lim,limbbaannnn ,时时那末当那末当Nn 从而从而)()(ibaibannn )
3、()(bbiaann .lim nn所所以以,bbaann412/6/2022下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(nienn 例例1 1.cos)2(innn 解解;1)11(lim)11(lim)1(1niniennnennn.)(2cos)2(neeninnnnn定理：复数列收敛的定理：复数列收敛的Cauchy准则准则(1,2,)nn 复复数数列列收收敛敛的的充充要要条条件件是是:0:NnNpN ,0 0,当当时时,对对|npn 512/6/20222.复数项级数的收敛与发散复数项级数的收敛与发散定义定义(1,2,),nnnaibn 设
4、设为为一一复复数数列列121 (4.1)nnn 表达式表达式称为复数项级数称为复数项级数.nns 21称为级数的称为级数的部分和部分和.若部分和数列若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数以有限复数s为极限为极限,lim()nnss 即即1nns 则称复数项无穷级数则称复数项无穷级数(4.1)收敛收敛于于s,且称且称s为为(4.1)的和的和,写成写成否则若复数列否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限无有限极限,则称级数则称级数(4.1)为为发散发散.定义：的收敛于复级数注Nsn .|,0,01sNnNnkk有612/6/2022定理定理4.1 设设 n=an+ibn(n=1,2,),an
5、及及bn为实数为实数,则复则复级数级数(4.1)收敛于收敛于s=a+ib(a,b为实数为实数)的充要条件为的充要条件为:11,nnnnab 分别收敛于分别收敛于a及及b.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件实数项级数实数项级数注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题的审敛问题111),nnnnab 分别收敛于分别收敛于a及及b1()nnsaib 112),nnnnab 至至少少一一个个发发散散 1nn 发发散散11(1)2ninn 例例1 级数级数是否收敛？是否收敛？例例2级数级数是否收敛？是否收敛？2111 3nnin .211发散知
6、原级数发散由nn.311发散知原级数发散由nn712/6/2022推论推论2 收敛级数的各项必是有界的收敛级数的各项必是有界的.推论推论1 收敛级数的通项必趋于零收敛级数的通项必趋于零:lim0nn (事实上，取事实上，取p=1,则必有则必有|an+1|0,存在正整数存在正整数N(),当当nN且且p为任何正整数时为任何正整数时|n+1+n+2+n+p|0,存在正整数存在正整数N=N(),当当nN时时,对一切的对一切的zE均均有有|f(z)-fn(z)|0,存在正整数存在正整数N=N(),当当nN时时,对一切的对一切的zE均有均有|f(z)-sn(z)|0,存在正整存在正整N=N(),使当使当n
7、N时时,对于一切对于一切zE,均有均有|fn+1(z)+fn+p(z)|(p=1,2,).Weierstrass优级数准则优级数准则:如果整数列如果整数列Mn(n=1,2,),使对一使对一切切zE,有有|fn(z)|Mn(n=1,2,),而且正项级数而且正项级数 收敛收敛,则则复函数项级数复函数项级数 在点集在点集E上绝对收敛且一致收敛上绝对收敛且一致收敛:这样的正项级数这样的正项级数 称为函数项级数称为函数项级数 的优级的优级数数.1nnM 1()nnfz 1nnM1)(nnzf1312/6/2022定理定理4.6 设级数设级数 的各项在点集的各项在点集E上连续上连续,并并且一致收敛于且一致
8、收敛于f(z),则和函数则和函数 也在也在E上连续上连续.1)(nnzf1)()(nnzfzf定理定理4.7 设级数设级数 的各项在曲线的各项在曲线C上连续上连续,并并且在且在C上一致收敛于上一致收敛于f(z),则沿则沿C可以逐项积分可以逐项积分:1)(nnzf1)()(nCnCdzzfdzzf1412/6/2022定义定义4.5 设函数设函数fn(z)(n=1,2,)定义于区域定义于区域D内内,若若级数级数(4.2)在在D内任一有界闭集上一致收敛内任一有界闭集上一致收敛,则称此则称此级数在级数在D内内内闭一致收敛内闭一致收敛.定理定理4.8 设级数设级数(4.2)在圆在圆K:|z-a|R内闭
9、一致收敛内闭一致收敛的充要条件为的充要条件为:对于任意正数对于任意正数,只要只要R,级数级数(4.2)在闭圆在闭圆K:|z-a|上一致收敛上一致收敛.1512/6/2022定理定理4.9 设设(1)fn(z)(n=1,2,)在区域在区域D内解析内解析,级数级数则则(1)f(z)在区域在区域D内解析内解析()()1(2)()()(,1,2,).ppnnfzfzzD p 6.解析函数项级数解析函数项级数或序列或序列 在区域在区域D内内闭一致收敛于函数内内闭一致收敛于函数f(z),C cnndzzf,2,1,0)(10)()(ncncdzzfdzzfDz 0CDz 0Dz 0D 证证（1）设，若为内
10、任一围线，）设，若为内任一围线，则由柯西积分定理得则由柯西积分定理得由定理由定理4.74.7得得于是，由摩勒拉定理知，于是，由摩勒拉定理知，f(z)在内解析，即在内解析，即在解析。由于的任意性，在解析。由于的任意性，故故f(z)在区域内解析。在区域内解析。)(zfn)(zfn.,2,1),(lim)()()(pzfzfpnnp或1612/6/2022,)2(0KzDKUz内，对于也在的边界圆的某邻域设,)()()()(10110pnpnzzzfzzzf一致收敛于有由定理7.4,)()(21)()(2111010nKpnKpzzdzzfizzdzzfi.)()(1)()(npnpzfzf即171
11、2/6/2022第二节第二节 幂级数幂级数1 1、幂级数的敛散性、幂级数的敛散性2 2、幂级数的收敛半径的求法、幂级数的收敛半径的求法3 3、幂级数的和函数的解析性、幂级数的和函数的解析性4 4、例题、例题5 5、小结、小结1812/6/20221.幂级数的定义幂级数的定义：20120()()()nnnczacc zac za 4 4.3 3形式的复函数项级数称为幂级数形式的复函数项级数称为幂级数,其中其中 c0,c1,c2,a都是复都是复常数常数.20121.nnnc zcc zc z 幂级数是最简单的解析函数项级数幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的为了搞清楚它的敛散性敛散性,先
12、建立以下的阿贝尔先建立以下的阿贝尔(Abel)定理定理.一、幂级数的敛散性一、幂级数的敛散性具有具有当当a=0,则以上幂级数可以写成如下形式则以上幂级数可以写成如下形式注注1 一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数。一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数。注注2 在一点解析的函数在此点的一个邻域内可以用幂级数在一点解析的函数在此点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某点解析的充要条件是它在这表示出来，因此一个函数在某点解析的充要条件是它在这点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。1912/6/2022定理定理4.10：如果幂级数：如果幂级数(
13、4.3)在某点在某点z1(a)收敛收敛,则它必在圆则它必在圆K:|z-a|z1-a|(即以即以a为圆心圆周通过为圆心圆周通过z1的圆的圆)内绝对收敛且内内绝对收敛且内闭一致收敛闭一致收敛.推论推论4.11 若幂级数若幂级数(4.3)在某点在某点z2(a)发散发散,则它在以则它在以a为圆心为圆心并且通过点并且通过点z2的圆周外部发散的圆周外部发散.2.幂级数的敛散性讨论幂级数的敛散性讨论命题命题:对于幂级数对于幂级数 ,若实系数实幂级数若实系数实幂级数nnnzz)(00nnnx0|的收敛半径为的收敛半径为R,则有则有发散；时，级数当绝对收敛，时，级数则当若nnnnnnzzRzzzzRzzR)(|
14、)(|,0)1(000000对收敛；在复平面上每一点处绝则级数若nnnzzR)(,)2(00外，每一点都发散。在复平面上除去则级数若000)(,0)3(zzzzRnnn2012/6/2022，使得幂级数在圆域圆周总存在一个对任意幂级数于是)0(|,)(,000RRzzzzCkkk外处处发散。内处处收敛，在此圆域Rzz|0称为收敛半径。称为幂级数的收敛圆圆域RRzz,|0。收敛，在收敛圆外发散幂级数在收敛圆内绝对敛，也可能发散。但在圆周上，则可能收2112/6/2022定理定理4.12 如果幂级数如果幂级数(4.3)的系数的系数cn合于合于1lim,(nnnclD Alembertc 达达朗朗贝
15、贝尔尔）或或lim,(-)nnnclCauchy Hadamard 柯柯西西阿阿达达玛玛或或3.幂级数收敛半径的求法幂级数收敛半径的求法则幂级数则幂级数 的收敛半径为的收敛半径为:0)(nnnazcR=1/l (l0,l+)0 (l=+);+(l=0).(4.4)Cauchy(|lim柯西lcnnn2212/6/2022定理定理4.13(1)幂级数幂级数0)()(nnnazczf(4.5)的和函数的和函数f(z)在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析内解析.4.幂级数的和函数的解析性幂级数的和函数的解析性 (2)在在K内内,幂级数幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶可以逐项求导至
16、任意阶,即：即：()1()!(1)2()pppfzp cppcz a (1)(1)()n pnn nnpc za (p=1,2,)(4.6)(3)(p=0,1,2,).(4.7)()()!ppfacp(4)级数（级数（4.5）可沿）可沿K内曲线内曲线C逐项积分，且其收敛逐项积分，且其收敛半径与原级数相同。半径与原级数相同。2312/6/2022例例1 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径R:.)2(;)2()1(002nnnnnnznz例例2 求下列幂级数在收敛域内的和函数：求下列幂级数在收敛域内的和函数：例例3 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.例例
17、4 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中.)2(;)1(111nnnnnznz5.典型例题典型例题2412/6/2022第三节第三节 解析函数的泰勒展式解析函数的泰勒展式1、泰勒、泰勒(Taylor)定理定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式、一些初等函数的泰勒展式2512/6/2022(4.9)定理定理4.14(泰勒定理泰勒定理)设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成如下幂级数内能展成如下幂级数 0()()nnnfzcza(4.8)其中系数其中系数(
18、)11()()2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n且展式是唯一的且展式是唯一的.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理（4.8）称为）称为f(z)在点在点a的的泰勒展式泰勒展式，（，（4.9）称为其）称为其泰勒系泰勒系数数，（，（4.8）中的级数称为）中的级数称为泰勒级数泰勒级数。2612/6/2022 定理定理4.15 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为:f(z)在在D内任一点内任一点a的邻域内可展成的邻域内可展成z-a的幂级数的幂级数,即泰勒级数即泰勒级数.max()|(0,0,1,2,).z annf zcR n 由柯西不等式知若由柯西
19、不等式知若f(z)在在|z-a|0,且且)|:|(,)()(0RazKzazczfnnn则则f(z)在收敛圆周在收敛圆周C：|z-a|=R上至少有一奇点，即不上至少有一奇点，即不可能有这样的函数可能有这样的函数F(z)存在，它在存在，它在|z-a|R内与内与f(z)恒恒等，而在等，而在C上处处解析上处处解析.2.幂级数和函数在收敛圆周上的状况幂级数和函数在收敛圆周上的状况2812/6/2022231(|)2!3!nzzzzezzn );|(|,)!2()1(cos02Znzznnn).|(|,)!12()1(sin012znzznnn.)1(322)1(ln132 nzzzzikznnk3.3
20、.一些初等函数的泰勒展式一些初等函数的泰勒展式 2!2)1(1)1(zzz nznn!)1()1(2912/6/20221、解析函数零点的孤立性解析函数零点的孤立性2、唯一性定理唯一性定理3、最大与最小模原理最大与最小模原理第四节第四节 解析函数零点的孤立性与唯一性定理解析函数零点的孤立性与唯一性定理3012/6/2022定义定义4.7 设设f(z)在解析区域在解析区域D内一点内一点a的值为零，即的值为零，即f(a)=0，则称则称a为解析函数为解析函数f(z)的一个零点的一个零点.如果在如果在|z-a|R内，解析函数内，解析函数f(z)不恒为零，我们将它在不恒为零，我们将它在点点a展成幂级数，
21、此时，幂级数的系数不必全为零，故必展成幂级数，此时，幂级数的系数不必全为零，故必有一正数有一正数m(m1)，使得，使得(1)()()()()0,()0,mmf afafafa 但但合乎上述条件的合乎上述条件的m称为零点称为零点a的阶的阶(级级)，a称为称为f(z)的的m阶阶(级级)零点零点。特别是当。特别是当m=1时，时，a也称为也称为f(z)的的简单零点简单零点.1.1.解析函数的零点及其孤立性解析函数的零点及其孤立性3112/6/2022定理定理4.17 不恒为零的解析函数不恒为零的解析函数f(z)以以a为为m级零点的级零点的充要条件为充要条件为:()()()mf zzaz ()z 其中其
22、中.0)(a(4.14)在点在点a的邻域的邻域|z-a|R内解析内解析,且且证证 必要性必要性 由假设，由假设，只要令只要令即可。充分性是明显的。即可。充分性是明显的。1)1()()()!1()()(!)()(mmmmazmafazmafzf )()!1()(!)()()1()(azmafmafzmm3212/6/2022定理定理4.18 如在如在|z-a|R内解析的函数内解析的函数f(z)不恒为零，不恒为零，a为为其零点，则必有其零点，则必有a的一个邻域，使得的一个邻域，使得f(z)在其中无异于在其中无异于a的的零点零点(简单来说就是，不恒为零的解析函数的零点必是孤简单来说就是，不恒为零的解
23、析函数的零点必是孤立的立的)。零点的孤立性零点的孤立性(2)(2)在在K内有内有f(z)的一列零点的一列零点 zn(zn0)0)收敛于收敛于a,推论推论4.194.19 设设(1)(1)f(z)在邻域在邻域K:|z-a|R内解析内解析;即存在即存在 zn K,(zn0)0)f(zn)=0,)=0,zna ()0 zf ZK3312/6/2022(1)函数函数f1(z)，f2(z)在区域在区域D内解析，内解析，(2)D内有一个收敛于内有一个收敛于aD的点列的点列zn(zna)，满，满足足 ,则在则在D内有内有 f1(z)f2(z).定理定理4.20(解析函数的唯一性定理解析函数的唯一性定理)设：
24、设：2.零点的唯一性零点的唯一性推论推论4.21 设在区域设在区域D内解析的函数内解析的函数f1(z)及及f2(z)在在D内内的某一子区域的某一子区域(或一小段弧或一小段弧)相等相等,则它们在则它们在D内恒等内恒等.推论推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式一切在实轴上成立的恒等式,在在z平面上也平面上也成立成立,只要这个恒等式的两边在只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的平面上都是解析的.),2,1)()(21nzfzfnn3412/6/2022例例1 在复平面解析、在实轴上等于在复平面解析、在实轴上等于sinx的函数只能是的函数只能是sinz.解解 设设f(z)在复平面解析、在实轴上等于
25、在复平面解析、在实轴上等于sinx，那么那么f(z)-sinz在复平面解析、在实轴上等于在复平面解析、在实轴上等于0，由解析由解析函数的唯一性定理，在复平面上函数的唯一性定理，在复平面上f(z)-sinz=0，即，即f(z)=sinz.3512/6/2022例例2 2 是否存在着原点解析的函数是否存在着原点解析的函数f(z)，分别满足下列条件分别满足下列条件:;21)21(,0)121()1(nnfnf.,2,1,1)1()2(nnnnf解解（1）由于）由于 及及 都以都以0为聚点，由解析为聚点，由解析121n21n函数的唯一性定理，函数的唯一性定理，f(z)=z是在原点解析并满足是在原点解析
26、并满足的唯一的解析函数；但此函数不满足的唯一的解析函数；但此函数不满足条件条件 。因此在原点解析并满足。因此在原点解析并满足这些条件的函数这些条件的函数不存在不存在。（2）由于）由于 ，由解析函数的唯一性定理，由解析函数的唯一性定理，是在原点解析并满足此条件的是在原点解析并满足此条件的唯一唯一nnf21)21(,2,1,0)121(nnfnnf/111)1(zzf11)(解析函数。解析函数。3612/6/20223.最大模原理最大模原理定理定理4.23(最大模原理最大模原理)设设f(z)在区域在区域D内解析，则内解析，则|f(z)|在在D内任何点都不能达到最大值，除非在内任何点都不能达到最大值，除非在D内内f(z)恒等于常数恒等于常数.
