1、时间复杂度分析时间复杂度分析算法时间复杂度的数学意义算法时间复杂度的数学意义 从数学上定义，给定算法A，如果存在函数f(n)，当n=k时，f(k)表示算法A在输入规模为k的情况下的运行时间，则称f(n)为算法A的时间复杂度。其中：输入规模是指算法A所接受输入的自然独立体的大小，我们总是假设算法的输入规模是用大于零的整数表示的，即n=1,2,3,k,对于同一个算法，每次执行的时间不仅取决于输入规模，还取决于输入的特性和具体的硬件环境在某次执行时的状态。所以想要得到一个统一精确的F(n)是不可能的。为此，通常做法：1.忽略硬件及环境因素，假设每次执行时硬件条件和环境条件是完全一致的。2.对于输入特
2、性的差异，我们将从数学上进行精确分析并带入函数解析式。例子：例子：x=1;x=1;for(i=1;i=n;i+)for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=i;j+)for(j=1;j=i;j+)for(k=1;k=j;k+)for(k=1;k=j;k+)x+;x+;x+x+运行次数：运行次数：2/2/)1(6/)12)(1(2/)1(1111111 nnnnniijniijjkniniij算法的渐近时间复杂度算法的渐近时间复杂度 很多时候，我们不需要进行如此精确的分析，究其原因：1.在较复杂的算法中，进行精确分析是非常复杂的。2.实际上，大多数时候我们并不关心F(n)的精确度量，而只是
3、关心其量级。算法复杂度的考察方法算法复杂度的考察方法（1）考察一个算法的复杂度，一般考察的是当问题复杂度n的增加时，运算所需时间、空间代价f(n)的上下界。（2）进一步而言，又分为最好情况、平均情况、最坏情况三种情况。通常最坏情况往往是我们最关注的。定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的nn0，有|T(n)|c|f(n)|则记作T(n)=(f(n)含义：如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间总是小于|f(n)|的一个常数倍。所以f(n)是计算时间T(n)的一个上界函数。试图求出最小的f(n)，使得T(n)=(f(n)。在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏情况而
4、不是最好情况，理由如下：（1）最坏情况给出了算法执行时间的上界，我们可以确信，无论给什么输入，算法的执行时间都不会超过这个上界，这样为比较和分析提供了便利。（2）虽然最坏情况是一种悲观估计，但是对于很多问题，平均情况和最坏情况的时间复杂度差不多，比如插入排序这个例子，平均情况和最坏情况的时间复杂度都是输入长度n的二次函数。定义1.2 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的nn0，有|T(n)|c|g(n)|则记作T(n)=(g(n)含义：如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间总是不小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n)是计算时间T(n)的一个下界函数。试图求出“最大”
5、的g(n)，使得T(n)=(g(n)。（2）下界函数定义1.3 如果存在正常数c1，c2和n0，对于所有的nn0，有 c1|g(n)|T(n)|c2|g(n)|则记作含义：算法在最好和最坏情况下的计算时间就一个常数因子范围内而言是相同的。可看作：既有 T(n)=(g(n)，又有T(n)=(g(n)()(ngnT（3）“平均情况”限界函数常见算法时间复杂度：常见算法时间复杂度：O(1):表示算法的运行时间为常量O(n):表示该算法是线性算法O(2n):二分搜索算法O(n2n):快速排序算法 O(n2):对数组进行排序的各种简单算法，例如直接插入排序的算法。O(n3):做两个n阶矩阵的乘法运算O(
6、2n):求具有n个元素集合的所有子集的算法O(n!):求具有N个元素的全排列的算法 优-劣 O(1)O(2n)O(n)O(n2n):O(n2)1 X(1)=1x(1)=1x(2)=2x(1)+1=2*1+1=3x(3)=2x(2)+1=2*3+1=7x(4)=2x(3)+1=2*7+1=15X(n)=2n-1 n0（2）反向替换法例如：X(n)=x(n-1)+n 使用所讨论的递推关系，将x(n-1)表示为x(n-2)得函数，然后把这个结果代入原始方程，来把x(n)表示为x(n-2)的函数。重复这一过程。X(n)=x(0)+1+2+3+4+5+n=0+1+2+3=4 =n(n+1)/2（3）换名
7、bknfnf)/()(上面形式的在递推关系式，一个规模为n的问题，每一次递归调用后，都简化为n/k规模的问题，为了方便求解，我们通常设定：n=km，则，上面的求解过程可简化为：f(n)=f(km-1)+b =f(km-2)+2b =f(k0)+mb =f(1)+blog n 几种常见复杂度举例：1.O(logn)我们学过的算法，二分搜索int BinSrch(Type A,int i,int n,Type x)/Ai.n是非递减排列 且 1=i=n;if(n=i)if(x=Ai)return i;else return 0;else int mid=(i+n)/2;if(x=Amid)retu
8、rn mid;-基本操基本操作作 else if(xAmid)return BinSrh(A,mid+1,n,x);递归调用 递归关系式：11nn1)2/(1)(nCnC因为规模每一次递归调用后，缩减为原来的1/2，所以采用换名方法求解，设 n=2k：C(n)=C(2k)=C(2k-1)+1 =C(2k-2)+2 =C(2k-k)+k =C(1)+k =logn+139 17 21 34 57 69 84 92 1039 17 2157 69 84 92 10317 2157 6992 10691021观察递归调用的过程以及递推关系式：（1）在递归关系式中：递归调用共有k次，我们设n=2k，k
9、=logn（2）递归调用的二叉树型结构中，调用次数为二叉树的深度。2.O(n):表示该算法是线性算法 目前所学的算法中有：线性选择算法int Select(int data,int p,int r,int k)if(pr)return-1;/p不能大于r if(p=r)return datap;/pk)int r1=Select(data,p,s-1,k);-递归调用递归调用 return r1;else /sk int r1=Select(data,s+1,r,k-s);-递归调用递归调用 return r1;可编辑如果递归调用，每次规模是原来的1/2：1)1()2/(11)(nnnTnnT
10、因为每一次规模都减到原来的1/2，所以用换名的方法设 n=2k：T(n)=T(n/2)+(n-1)=T(2k-1)+(2k-1)=T(2k-2)+(2k-1-1)+(2k-1)=T(2k-k)+(21-1)+(2k-1-1)+(2k-1)=T(1)+(2k+1-2)-k =2n-logn-1算法时间复杂度：O(n)分析：1)1()2/(11)(nnnTnnT算法的复杂度有两部分决定：递归和合并，递归的复杂度是：logn，合并的复杂度是 n。3.O(nlogn)所学过的算法：快速排序、堆排序等，分治法中的平面中最接近点对问题。递推关系式：)()2/(2)(1)2(nOnTnTTT(n)=2T(n
11、/2)+n 设n=2k =2T(2k-1)+2k =22T(2k-2)+2k-1+2k =22T(2k-2)+2*2k =2k-1T(2k-(k-1)+(k-1)*2k =n/2+(logn-1)*n不失一般性，设规模为n的问题，每一次有分解为m个子问题，设n=mk，则：)()/()(1)1(nOmnmTnTTT(n)=mT(n/m)+n =mT(mk-1)+mk =mmT(mk-2)+mk-1+mk =m2T(mk-2)+2*mk =mkT(2k-k)+k*mk =n+logn*n算法时间复杂度：O(nlogn)分析：算法的复杂度有两部分决定：递归和合并，递归的复杂度是：n，合并的复杂度是
12、nlogn。)()/()(1)1(nOmnmTnTT4.O(n2)通常的两层嵌套循环，内层的运算执行次数，学过的例子有：比赛日程1)2/(*3)2/(11)(2nnnTnnTT(n)=T(n/m)+(n/m)2 设n=mk =T(mk-1)+m2(k-1)=T(mk-2)+m2(k-2)+m2(k-1)=T(mk-k)+m0+m2(k-2)+m2(k-1)=1+(m2k-1)/(m2-1)=(n2-1)/(m2-1)+1 所以：O(n2)4.O(nk)所学过的：大整数乘法Recursive_Miltiply(x,y)if n=1if(X=1)and(Y=1)return(1)else retu
13、rn(0)x1=X的左边n/2位;x0=X的右边n/2位;y1=Y的左边n/2位;y0=Y的右边n/2位;p=Recursive_Miltiply(x1+x0,y1+y0);递归调用递归调用x1y1=Recursive_Miltiply(x1,y1);递归调用递归调用x0y0=Recursive_Miltiply(x0,y0);递归调用递归调用return x1y1*2n+(p-x1y1-x0y0)*2n/2+x0y0;基本操作基本操作11)()2/(3)1()(nnnOnTOnTkkkkikikkkTTTTT3)2(3)2(3)2(3)2(3)2(221设，n=2k,用反向替换法对它求解：5
14、85.13loglog223)(nnnTn分析：在这个递推关系式中，算法每次递归调用3个规模为1/2的子问题，那么总的规模3/2，大小，所以，粗略估算要在O(nlogn)、O(n2)之间。11)()2/(3)1()(nnnOnTOnT相关习题1.求下列函数的渐进表达式：3n2+10nn2/10+2n21+1/nlogn310log3n=O(n2)=O(2n)=O(1)=O(logn)=O(n)2.讨论O(1)和O(2)区别：定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的nn0，有|f(n)|c|g(n)|则记作f(n)=(g(n)O(1)=O(2)相差的只是常数因子3.算法效率（1）假设某算法
15、在输入规模为n时的计算时间为 T(n)=3*2n。在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t。现在有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题？设新机器用统一算法能解输入规模为n1的问题，则：t=3*2n1/64=3*2n1-6 所以，n1=n+6(2)若上述的算法改为T(n)=n2，其他条件不变，则在新机器上用t秒时间能解输入规模为多大的问题？n12=64n2=(8n)2能解规模为8n的问题(3)若上述的算法改为T(n)=8，其他条件不变，则在新机器上用t秒时间能解输入规模为多大的问题？由于T(n)是常数，所以可以解任意规模的问题。4
16、.对于下列各组函数f(n)g(n)，确定f(n)=O(g(n)，或f（n)=(g(n)，或f(n)=(g(n)(1)f(n)=logn2 g(n)=logn+5(2)f(n)=logn2 g(n)=(3)f(n)=n g(n)=log2n(4)f(n)=nlogn g(n)=log(n)(5)f(n)=10 g(n)=log10(6)f(n)=log2n g(n)=logn(7)f(n)=2n g(n)=100n2(8)f(n)=2n g(n)=3nn5.螺钉和螺母问题假设我们有n个直径各不相同的螺钉，以及n个相应的螺母。我们一次只能比较一对螺钉和螺母，来判断螺母是大于螺钉、小于螺钉还是正好合
17、适螺钉。然而，我们不能拿两个螺母作比较，也不能拿两个螺钉作比较。我们的问题是要找到每一对匹配的螺钉和螺母，为该问题设计算法，他的平均效率符合(nlogn)6.设n个不同的整数排好序后存于t0:n-1中。若存在一个下标i，0=i=n-1，使得ti=i，设计一个算法找到这个下标，最坏的情况下计算时间O(logn)。7.输油管道问题 某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路径(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标和y坐标，应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？可编辑
