1、绝对值不等式绝对值不等式 1 1、绝对值、绝对值三角三角不等式不等式 2 2、绝对值不等式的、绝对值不等式的解法解法 1 1、绝对值、绝对值三角三角不等式不等式 在数轴上，在数轴上，0aaxA表示点表示点A A到原点的距离到原点的距离ababxBA表示数轴上表示数轴上A,BA,B两点之间的距离两点之间的距离Oab-b-B-Ba的的几何意义几何意义ab的的几何意义几何意义ab的的几何意义几何意义表示数轴上表示数轴上A,-BA,-B两点之间的距离两点之间的距离探探 究究当当ab0ab0时，时，abab当当ab0ab|x+1|+|x-2|k k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|
2、x-3|k|x-1|+|x-3|0a,a00,a=02.绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：实数实数a绝对值绝对值|a|表示表示数轴上坐标为数轴上坐标为A的点的点到原点的距离到原点的距离.a0|a|Aba|ab|AB实数实数a,b之差的绝对值之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上表示它们在数轴上对应的对应的A,B之间的距离之间的距离.3.3.绝对值的运算性质：绝对值的运算性质：2,aa aba b，|aabb 法一法一:利用绝对值的几何意义观察；利用绝对值的几何意义观察；法二法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论需要分类讨论;法三法三:两边同时平方去
3、掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号;法四法四:利用函数图象观察利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.主要方法有主要方法有:不等式不等式|x x|1|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1 1的点的集合的点的集合.不等式不等式|x x|1|1的解集为的解集为 x x|-1|-1x x11探索：不等式探索：不等式|x x|1|1的解集的解集.0-11方法一：方法一：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察当当x x00时，原不等式可化为时，原不等式可化为x x1,1,当当x x0 0时，原不等式可化为时，原
4、不等式可化为x x1 1，即，即x x1 1 0 0 x x1 1 1 1x x0 0综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为 x x|11x x11方法二方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论需要分类讨论对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x x2 21,1,即即(x+1)(x-1)0(x+1)(x-1)01x1不等式不等式|x x|1|1的解集为的解集为 x x|-1|-1x x1.1.方法三：方法三：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号.从函数观点看从函数观点看,不等式不等式|x x|1|1的解集的解集,是函是函数数
5、y=|x|y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1y=1的图象下方的部的图象下方的部分对应的分对应的x x的取值范围的取值范围.oxy111y=1不等式不等式|x|1|x|1的解集为的解集为x|-1x1x|-1x1方法四：方法四：利用函数图象观察利用函数图象观察探索：不等式探索：不等式|x x|1|1的解集的解集.一般结论一般结论:形如形如|x|a|x|a(a0)|x|a(a0)的不等式的解集的不等式的解集:不等式不等式|x|a|x|a的解集为的解集为x|-axax|-axa|x|a的解集为的解集为x|x-ax|xa xa 0-aa0-aa|32|7.x解不等式例例1 1.237x原不等式
6、解解:237237xx 或25xx 或|25.x xx 原不等式的解集为或|32|1x变解不等式练习式式:(,0)(1,)答答案案:2|5|6xx解不等式例例2 2.2656xx 原不等式解解:225656xxxx 225602316560 xxxxxxx 或1236,xx 或1|34|6x解不等式变练习式式:1052,)(1,333答答案案:(1,2)(3,6).原不等式的解集为 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)fxa aafxa (3)()()()f xg xf xg xf xg x 或或 (4)()()()fxg xg xfxg x 22(5)fxg xfxg x
7、2|34|1.xxx解不等式例例3 3.222234 034 0341(34)1xxxxxxxxxx 原不等式或解解1 1:41141351xxxxxx 或或或1,513,xxx 或，或|1,13,5.x xxx 原不等式的解集为或或2|34|1.xxx解不等式例例3 3.2234(1)341xxxxxx 原不等式 或解解2 2:22230450 xxxx或13,1,5,xxx 或或|1,13,5.x xxx 原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0 xxxx或 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)fxa aafxa (3)()()()f xg xf xg xf x
8、g x 或或 (4)()()()fxg xg xfxg x 22(5)fxg xfxg x 2022年12月6日星期二绝对值不等式的解法（二）例例1.1.解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5|x-1|+|x+2|5方法一方法一:利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义解解:如图如图,数轴上数轴上-2,1-2,1对应的点分别为对应的点分别为A,BA,B，原不等式的解集为原不等式的解集为x|x-3 x|x-3 或或 x2.x2.-2-21 12 2-3-3-1-10 0A AA A1 1B BB B1 1-3,2-3,2对应的点分别为对应的点分别为A A1 1,B,B1 1，|A|A1 1A|
9、+|AA|+|A1 1B|=5,B|=5,|B|B1 1A|+|BA|+|B1 1B|=5,B|=5,数轴上数轴上,点点A A1 1和和B B1 1之间的任何一点之间的任何一点,到点到点A,BA,B的距离之和都小于的距离之和都小于5,5,而而A A1 1的左边或的左边或B B1 1的右边的任何一点的右边的任何一点,到点到点A,BA,B的距离之和都大于的距离之和都大于5,5,这种方法体现了这种方法体现了数形结合的思想数形结合的思想方法二方法二:利用利用|x-1|=0,|x+2|=0|x-1|=0,|x+2|=0的零点的零点,分段讨论去绝对值分段讨论去绝对值例例1.1.解不等式解不等式|x-1|+
10、|x+2|5|x-1|+|x+2|5(1)2x 当时,解解:2(1)(2)5xxx原不等式23.3xxx(2)21x当时,21(1)(2)5xxx 原 不 等 式21.3 5xx (3)1x 当时,1(1)(2)5xxx 原不等式122xxx这种解法体现了分类讨论的思想这种解法体现了分类讨论的思想原不等式的解集为原不等式的解集为x|x-3 x|x-3 或或 x2.x2.方法三：方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解通过构造函数，利用函数的图象求解|1|2|50,xx 原不等式化为解解:例例1.1.解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5|x-1|+|x+2|5|1|2|,yxx构造函数化简得
11、(1)(2)2(1)(2)21(1)(2)1xxxyxxxxxx，26,2221241xxyxxx 即，-3-31 12 2-2-2-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想这种方法体现了函数与方程的思想例例1.1.解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5|x-1|+|x+2|5如图,作出函数的图象,26,2221241xxyxxx ，320,xxy 由图象可知,当或时,函数的零点是-3,2.原不等式的解集为原不等式的解集为x|x-3 x|x-3 或或 x2.x2.例例1.1.解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5|x-1|+|x+2|5思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|x-1|
12、+|x+2|有最 值 此时，x的取值范围是 思考二：若变为|x-1|+|x+2|x-1|+|x+2|kk恒成立，则k的取值范围是 思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|k|x-1|+|x+2|k成立，成立，则则k的取值范围是 思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|k|x-1|+|x+2|k的解集的解集为为 ，则，则k的取值范围是 小312，x3k 3k 3k 练习：解不等式x+1x211|xx的最大和最小值并思考的图像，作出)(2x1+x)(xfxf的取值范围是恒成立，的取值范围是恒成立，kk2x1+xkk2x1+x例2.已知函数.（I）画出 的图像；（II）求不等式 的解集。41
13、33212342xxf xxxxx ，11353，2.2.若不等式若不等式|x-1|+|x-3|x-1|+|x-3|a a的解集为空集的解集为空集,则则a a的的取值范围是取值范围是-3.3.解不等式解不等式1|21|2x x+1|3.+1|k|x+1|-|x-2|k 恒成立，则恒成立，则k k的取值范围是的取值范围是 （）(A)k3 (B)k-3 (C)k3 (D)k-3(A)k3 (B)k8.|x+3|+|x-3|8.答案答案:(-2,-1)(0,1)(-2,-1)(0,1)答案答案:x|x-4 x|x4.x4.(,25.5.解不等式：解不等式：|x-1|x-3|.|x-1|x-3|.答案答案:x|x2.x|x2.6.6.解不等式解不等式|5|5x-x-6|6-x.6|6-x.答案答案:(0,2)(0,2)课堂练习课堂练习
