1、第 1 章随机事件与概率第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节知第一节知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.随机事件1)随机试验定义：在一定条件下，对某随机现象的一次观察或测量称为随机试验（简称试验），记为E。随机试验具有以下三条性质：（1）可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行。（2）可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。（3）不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。2)样本空间定义：设E是一试验，其所有可能出现的结果组成的集合称为试验E的样本
2、空间，记为S。样本空间的元素，也就是随机试验的直接结果，称为样本点。3)随机事件定义：随机试验的若干个结果组成的集合称为随机事件（简称事件），常用大写字母A、B、C等表示。只含一个试验结果的事件称为基本事件。4)事件间的关系与运算（1）事件的包含：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，记做AB。（2）事件的相等:如果事件A包含于事件B，同时事件B也包含于事件A,即AB且BA，则称事件A与事件B相等，记做A=B。（3）事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”的事件称为事件A与事件B的和，记做AB，当A与B不同时发生时，也可记做A+B。（4）事件的积：“事件A与事件B同时发生
3、”的事件称为事件A与事件B的积，记做AB或AB。（5）事件的差：“事件A发生而事件B不发生”的事件称为事件A与事件B的差，记做AB。（6）互不相容事件：若事件A与事件B不可能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B互不相容,也称为互斥。（7）对立事件:“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件，记做A。事件A与事件B互为对立事件当且仅当AB=，A+B=S。（8）事件运算满足的定律:设A、B、C为样本空间S中的事件，则有2.概率的统计定义1)频率定义：设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值为事件A在n次重复试验中发生的频率。2)概率的统计定义定义：设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时
4、，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小，则称数p为事件A的概率，记为P(A)=p。概率的这种定义，称为概率的统计定义。3)概率的公理化定义定义：设随机试验E的样本空间为S,若对于E的每一个事件A都有一个实数P(A)与之对应，且P(A)满足下列三个条件：(1)非负性：P(A)0;(2)规范性：P(S)=1;(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,A3,有则称P(A)为事件A的概率。概率的这种定义称为概率的公理化定义。4)概率的性质3.古典概型1)古典概型（等可能概型）定义：在古典型试验中，随机事件A发生的概率定义为。其中，n为S中包
5、含的基本事件总数，m为事件A中包含的基本事件数。由关系式计算事件概率的数学模型称为古典概型。2)几何概型定义：如果一个随机试验E具有以下两个特点：（1）样本空间S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）；（2）向区域S内任意投一点，该点落在区域内任意点处都是“等可能的”,那么，随机点落在区域A的概率为由上式计算事件概率的数学模型称为几何概型。4.条件概率1)条件概率定义：设A与B是两个随机事件，其中P(B)0，规定为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。2)乘法定理定理：设P(A)0，P(B)0，则有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)3)全概率公式定理：设S为随
6、机试验E的样本空间，B1，B2，Bn为一组事件，且满足下列条件：（1）B1，B2，Bn两两互斥，且；（2）P(Bi)0(i=1，2，n),则对S中的任意一个事件A都有4)贝叶斯公式定理：设S为随机试验E的样本空间，B1，B2，Bn为样本空间S的一个划分，且P(A)0，P(Bi)0(i=1，2，n)，则有1,1,2,iiinkkiP B P A BP B AinP BP A B定义：设A、B是随机试验E的两个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。定理：若事件A、B相互独立，且P(B)0，则P(A|B)=P(A)。第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例1.1】一个
7、工人生产了3个零件，以事件Ai来表示他生产的i个零件是合格品(i=1，2，3)，试用Ai(i=1，2，3)表示下列事件：(1)只有第一个零件是合格品(B1)；(2)三个零件中只有一个合格品(B2)；(3)第一个是合格品，后两个零件中至少有一个是次品(B3)；(4)三个零件中最多只有两个合格品(B4)；(5)三个零件都是次品(B5)；(6)三个零件中最多有一个次品(B6)。解 （1）B1等价于“第一个零件是合格品，同时第二、三个都是次品”，故有 （2）B2等价于“第一个是合格品而第二、三个是次品”或“第二个是合格品而第一、三个是次品”或“第三个是合格品而第一、二个是次品”,故有1123BA A
8、A2123123123.BA A AA A AA A A（3）（4）方法一:B4的逆事件是“三个零件都是合格品”,故有 方法二：与B4等价的事件是“三个零件中至少有一个次品”，故有3123.BAAA4123BA A A4123BAAA（5）也可以利用事件“三个零件中至少有一个合格品”的逆事件与B5等价，得出（6）B6等价于“三个事件中无次品”或“三个零件中只有一个次品”，故有另外，也可以利用B6与事件“三个零件中至少有两个合格品”等价，得出5123,BA A A5123BAAA6123123123123BA A AA A AA A AA A A6122313BA AA AA A【例例1.2】设
9、随机事件A、B、C满足C AB，AB,证明AC=ABCB。证明 由于故CABCAB从而CBAB BABCABCBABCBACBCABAB故ACAC BBACBACBCBAB【例例1.3】假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率。解 记A=目标进入射程，Bi=第i次射击命中目标(i=1，2),故所求概率为事件B=B1B2的概率。由于目标不在射程之内是不可能命中目标的，因此可利用全概率公式来求解。由题意知 P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.6(i=1，2),由于P(AB)=0(A表示目标不在射程之内)，因此由全概率公式有由题
10、意知B1与B2相互独立,从而P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.60.6=0.36由加法公式得 P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.60.36=0.84故 P(B)=P(A)P(B1B2|A)=0.70.84=0.588【例例1.4】将n个人等可能地分配到N(nN)间房中去，试求下列事件的概率:(1)A=某指定的n间房中各有一人；(2)B=恰有n间房，其中各有一人；(3)C=某指定的房中恰有m(mn)个人。解 把n个人等可能地分配到N间房中去，由于并没有限定每间房中的人数，因此这是一个可重复的排列问题，分法共有Nn种。（1）对于事
11、件A，今固定某n间房，第一个人可分配到n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分配到余下的n1间房中的任一间，有n1种分法。依次类推，得到A共含有n!个样本点。故!nnP AN（2）对于事件B，因为n间房没有指定，所以可先在N间房中任意选出n间房（共有CnN种选法），然后对于选出来的某n间房，按照上面的分析，可知B共含有CnNn!个样本点。故!nNnCnP BN(3)对于事件C，由于m个人可从n个人中任意选出，并不是指定的，因此有Cmn种选法，而其余的nm个人可任意地分配到其余的N1间房中，共有(N1)nm种分法，故C中共含有Cmn(N1)nm个样本点。因此 1111n mmn mmnmnnCN
12、P CCNNN 【例例1.5】从1100的整数中任取一数，已知取出的数是不超过50的整数，求它是2或3的倍数的概率。解 记A=取出的数不超过50，B=取出的数是2的倍数，C=取出的数是3的倍数，则所求概率为条件概率P(BC|A)，利用条件概率的性质进行计算。由条件概率的性质知P BC AP B AP C AP BC A P BAP CAP BCAP AP AP A由于 12P A 25100P BA 8100P CA，故2516823210010010050P BC A【例例1.6】设P(A)0，试证。证明 由于P(AB)1，即P(A)+P(B)P(AB)1,从而由乘法公式知 P(A)+P(B
13、)P(A)P(B|A)1故 P(A)P(B|A)P(A)1P(B)因而有 P AP B AP AP B由于P(A)0,因此得 1P BP B AP A【例1.7】设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击，各炮的命中率分别为0.2、0.3和0.5，目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：（1）三门炮在一次射击中击毁目标的概率；（2）在目标被击毁的条件下，只由甲炮击中的概率。解 设事件A1、A2、A3分别表示甲、乙、丙炮击中目标，D表示目标被击毁，Hi表示由i门炮同时击中目标(i=1，2，3)，则由全概率公式有其中P(Hi)
14、由题设条件及独立性求出，而第二问可由贝叶斯公式来处理。31iiiP DP HP D H由题设知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.5P(D|H1)=0.2，P(D|H2)=0.6，P(D|H3)=0.9由于A1、A2、A3相互独立，故同理21231231230.22P HP A A AA A AA A A31230.03P HP A A A（1）由全概率公式得 31|0.47 0.20.22 0.60.03 0.90.253iiiP DP HP D H（2）由贝叶斯公式得 123123123123 0.0554P A A A DP A A AP D A A AP A A A
15、 DP DP D第四节第四节 习习 题题 全全 解解1.1 简述下列基本概念：（1）随机试验具有的三个特点；（2）随机事件的定义；（3）概率的统计定义。答 （1）可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。（2）随机试验的若干个结果组成的集合称为随机事件（简称事件），常用大写字母A、B、C等表示。（3）设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小，则称数p为事件A的概率，记为P(A)=p。
16、概率的这种定义，称为概率的统计定义。1.2 写出下列随机试验的样本空间:（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（2）会议室的所有人员是教师、学生或工人，从中随机地喊一个人出来，记录被喊人的职业；（3）记录一个班级一次考试的平均分数（以百分制计分）；（4）记录某话务员在一个工作日内接听电话的次数；（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。解 （1）设第一、二、三颗骰子点数的样本空间分别为S1、S2、S3，三颗骰子点数之和的样本空间为S，则S1=1，2，3，4，5，6S2=1，2，3，4，5，6S3=1，2，3，4，5，6故S=3，4，18。（2）设试验的样本空间为S，则S=
17、教师，学生，工人（3）设试验的样本空间为S，以n表示该班的学生数，因以百分制计分，故该班在一次考试中的总成绩的可能取值为0，1，2，100n。该班在一次考试中平均分数的所有可能结果即为该随机试验的样本空间，因而所求的样本空间为（4）设试验的样本空间为S，则S=0，1，2，0,1,2,100mSmnn（5）设试验的样本空间为S，由题设可知，若生产的10件产品均为正品，则记录的产品总件数为10；若生产的10件产品中有1件次品，则需继续生产，且若第11件产品恰为正品，则记录的产品总件数为11。一般假设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，则记录的产品总件数的所有可能结果，即样本空间为S=10+k
18、|k=0，1，2，或写成S=10，11，12，13，14，15，1.3 从某班学生中任选一名学生，设A=选出的学生是男生，B=选出的学生是数学爱好者，C=选出的学生是班干部，试问下列运算结果分别表示什么事件。解（1）A表示选出的学生是男生,B表示选出的学生是数学爱好者,C表示选出的学生是班干部,故ABC表示选出的学生是爱好数学的男生班干部。（2）A 表示选出的学生是女生，B表示选出的学生是数学爱好者，C 表示选出的学生不是班干部，故ABC表示选出的学生是爱好数学的女生，且不是班干部。（3）A表示选出的学生是男生，C表示选出的学生是班干部，则AC表示选出的学生是男生班干部，故AC表示选出的学生为
19、不是班干部的女生。（4）A表示选出的学生是男生，B表示选出的学生是数学爱好者，C表示选出的学生是班干部，则BC表示选出的学生是数学爱好者也是班干部，故A(BC)表示选出的学生是不是数学爱好者也不是班干部的男生。1.7 朋友聚会，其中有a位男士，b位女士，大家随机地围绕圆桌就座，求其中甲、乙两人坐在一起（即座位相邻）的概率。解 a+b围成一圈共有(a+b1)!种排法。而甲乙两人相邻时，将甲乙两人视为一个整体，与余下的a+b2个人围成一圈共有(a+b2)!种排法。再考虑到甲乙两人本身有2种排列方法，故甲乙两人相邻时，大家围成一圈共有2(a+b2)!种排法。所以甲乙两人相邻的概率为22!21!1ab
20、Pabab1.8 某教研室共有20名教师，其中中老年教师12名，年轻教师8名，现要选4名优秀教师，求：（1）至少有1名年轻教师的概率；（2）有2名年轻教师的概率。解 （1）令事件A=4名优秀教师中至少有1名年轻教师，A的对立事件A=4名优秀教师中没有1名年轻教师，从12名中老年教师中选出4名优秀教师共有C412种选法，从20名教师中选出4名优秀教师共有C420种选法，故所以（2）令事件B=有2名年轻教师，从20名教师中选出4名优秀教师共有C420种选法，从8名年轻教师中选出2名优秀教师共有C28种选法，然后从12名中老年教师中选出2名优秀教师共有C212种选法。因此从20名教师中选出4名优秀教
21、师且其中有2名是年轻教师共有C212C28种选法，故1.9 两艘船都要停泊在同一个码头，而这个码头不能同时停泊两艘船，它们可能在一个昼夜的任何时刻到达，设两艘船停靠的时间分别是1小时和2小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率。解解 以X、Y分别表示两艘船到达时刻，那么0X24，0Y24；若以（X，Y）表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为24的一个正方形：0X24,0Y24内的所有的点表示出来。于是一艘船停靠时需要等待空出码头分两种情况：甲先到，乙在随后的1小时内到达；乙先到，甲在随后的2小时内到达。于是这一事件可表示为（X，Y）落在区域：(X，Y)|0X24，0Y2
22、4，0YX1(X，Y)|0X24，0Y24，0XY2。如图1-1所示，根据几何概型计算可得222212422231392241152P阴影部分的面积正方形的面积 图1-11.11 设A、B、C是三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/8，P(AC)=0，求：（1）A、B、C都发生的概率；（2）A、B、C至少有一个发生的概率；（3）A、B、C都不发生的概率。解解 （1）由ABCAC可知P(ABC)P(AC)=0,又由概率的公理化定义可知P(ABC)0，所以P(ABC)=0（2）由概率的性质可知（3）由（2）得 1.12 设A、B是两个随机事件，且P(A)=0.
23、6，P(B)=0.7，问：（1）在什么条件下P(AB)取最小值？最小值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取最大值？最大值是多少？解 由A、B两事件的概率看，A、B两事件相容。利用加法公式有P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)（1）因为P(B)P(AB)1，故当P(AB)=1时，P(AB)最小，且P(AB)|min=P(A)+P(B)1=0.6+0.71=0.3（2）由P(B)=0.7和P(A)=0.6可知，P(B)P(A)。当B A时，AB=A，AB=B，P(AB)=P(B)为最小，此时P(AB)为最大，故P(AB)|max=P(A)=0.61.13 袋中有10个球，8红2白，现从袋中任
24、取两次，每次取一个球做不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两次都是红球；（2）两次中一次取红球，另一次取白球；（3）至少有一次取到白球；（4）第二次取到的是白球。解 （1）令事件A=两次都是红球，从10个球中取2个球有C210种取法，从8个红球中取2个球有C28种取法，故 2821028=45CP AC（2）令事件B=两次中一次取红球，另一次取白球，从10个球中取2个球有C210种取法，从8个红球中取1个球有C18种取法，从2个白球中取1个球有C12种取法，则两次中一次取红球，另一次取白球有C18C12种取法，故 118221016=45C CP BC（3）令事件C=至少有一次取到白球，则事件
25、C的对立事件是事件A，所以 2817114545P CP A （4）令事件D=第二次取到的是白球，从10个球中取2个球有C210种取法，从10个球中取2个球且第一次取到的是红球，第二次取到的是白球有C18C12种取法；从10个球中取2个球且第一次和第二次取到的都是白球有C12种取法。因为第一次取到红球和取到白球的概率各占一半，故1118222101125C CCP DC1.14 假设某学校学生四级英语考试及格率为98%，其中70%的学生通过英语六级考试，试求从该学校随机地选出一名学生通过六级英语考试的概率。解 令事件A=通过四级英语考试，B=通过六级英语考试。由条件知P(A)=0.98，P(B
26、|A)=0.7故随机地选出一名学生通过六级英语考试的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6861.15 设某事件分两阶段进行，已知通过第一阶段试验的概率为60%，通过第二阶段试验的概率为40%，试求已通过第一阶段试验后再通过第二阶段试验的概率。解 令事件A通过第一阶段，事件B通过第二阶段，那么条件A下事件B的概率可由条件概率的公式 P ABP B AP A求得。由于先要通过第一阶段然后才能通过第二阶段，所以AB=B，于是 0.420.63P ABP BP B AP AP A1.16 某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件是次品，已出售2件，现从剩下的8件产品中任取一件，
27、求这件是正品的概率。解 令事件B=顾客买到的是正品，Ai=售出的两件中有i件次品，由题意知21127373012222101010771,151515CC CCP AP AP ACCC012567,888P B AP B AP B A由全概率公式有 20757617715 815 815 810iiiP BP A P B A1.17 有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品；第二批12件，其中有2件特级品。今按下列两种方法抽样：（1）将两批产品混在一起，从中任取2件；（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件。试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率。解 （1
28、）将两批产品混在一起后共有32件产品，其中有7件是特级品。从32件产品中任取2件有C232种取法，从7件特级品中任取2件有C27种取法，故两件都是特级品的概率为2723221496CPC（2）令事件A0、A1、A2分别表示从第一批产品中抽到的2件有0、1、2件是特级品，事件B表示从混合后的第二批中抽到的2件产品都是特级品，由题意知211251551501222220202011521,193838CC CCP AP AP ACCC222342012222141414631,919191CCCP B AP B AP B ACCC由全概率公式算得 201615321 139319 9138 913
29、8 911729133iiiP BP A P B A1.18 某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种产品，每个车间的产量分别占该工厂总产量的25%、35%、40%，每个车间的产品中次品的概率分别为0.05、0.04、0.02，现从该厂总产品中任取一件产品，结果是次品，求取出的这件次品是乙车间生产的概率。解 令事件A1、A2、A3分别表示所抽出的产品是由甲、乙、丙车间生产的，事件B表示抽到一个次品，由题意知123253540,100100100P AP AP A123542,100100100P B AP B AP B A由全概率公式算得 31255354402345100 100100 1
30、00100 10010000iiiP BP A P B A由贝叶斯公式算得22231354140100 1000.405834534510000iiiP AP B AP A BP A P B A1.19 甲、乙、丙三个人各自去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为13、1/4、1/5，试求：（1）恰有一人能破译出的概率；（2）密码能被破译的概率。解 （1）令事件A、B、C分别表示甲、乙、丙三人译出密码，事件D表示恰有一人能破译密码。由题意知 111,345P AP BP C故 1 3 413 4 55P ABCP A P B P C 2 1 423 4 515P ABCP A P B P C
31、2 3 113 4 510P ABCP A P B P C所以恰有一人能破译密码的概率为121135151030P DP ABCP ABCP ABC（2）令事件A、B、C分别表示甲、乙、丙三人译出密码，则所求的概率为A、B、C至少有一个发生的概率，所以PP ABC P AP BP CP ABP BCP ACP ABC P AP BP CP A P BP B P CP A P CP A P B P C1111 11 11 11 1 10.63453 44 53 53 4 51.20 已知P(A)=a，P(B)=0.3，P(AB)=0.7。（1）若事件A与事件B互不相容，求a；（2）若事件A与事件
32、B相互独立，a应取何值？解 由概率的性质可知所以故（1）由题意知事件A与事件B互不相容，即（2）由题意知事件A与事件B相互独立，故所以1.21 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中各随机地抽取一粒，试求下列事件的概率：（1）两粒种子都能发芽；（2）至少有一粒种子能发芽；（3）恰有一粒种子能发芽。解 （1）令事件A=甲种子发芽，B=乙种子发芽，AB=两粒种子都能发芽,由题意知 P(A)=0.8，P(B)=0.7故两粒种子都能发芽的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.56（2）令事件AB=两粒种子都没有发芽，其对立事件AB=至少有一粒种子能发芽,则两粒种子都没有发芽的概
33、率为所以至少有一粒种子能发芽的概率为 110.2 0.30.06P ABP A P BP AP B10.94P ABP AB（3）令事件C=恰有一粒种子能发芽，则 0.2 0.7=0.14P ABP A P B 0.8 0.30.24P ABP A P B故恰有一粒种子能发芽的概率 0.140.240.38P CP ABP AB第 2 章随机变量及其分布第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.随机变量及其分布函数1)随机变量定义：设随机试验E的样本
34、空间为S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，对于任意实数x，集合e|X(e)x有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量。2)随机变量的分布函数定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PXx（x+）称为X的分布函数，记为XF(x)。性质1：F(x)是一个单调非减函数，若x1x2，则F(x1)F(x2)。性质2：0F(x)1(x+)，且 lim1xFF x lim0 xFF x，性质3：F(x)右连续，即 00limxxF xF x2.离散型随机变量及其分布律1)离散型随机变量的分布律定义：设X是离散型随机变量，X可能的取值为x1，x2，则称PX=xi=pi （i=
35、1，2，）为离散型随机变量X的概率分布律或分布律。由概率定义知，离散型随机变量的分布律具有如下性质：（1）非负性：pi0（i=1，2，）；（2）归一性：。1iip 2)常用离散型分布（1）两点分布（0-1）分布）：PX=1=p，PX=0=1p （0p1）（2）二项分布：Xb(n，p)，PX=k=Cknpk(1p)nk (k=0，1，n；0p1;n和p是参数)（3）泊松分布:X()，e0,1,)!kP Xkknk（4）超几何分布:0,1,min,kn kDN DnNC CP Xkkn DC（5）几何分布:PX=k=(1p)k1p (k=1，2，；0p1)3.连续型随机变量及其密度函数1)密度函数
36、及其性质定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，并称X的分布为连续型分布。dxF xP Xxf xx密度函数f(x)具有以下性质：（1）f(x)0 (x+)；（2）；（3）对任意实数x1、x2(x1x2)，有（4）若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)。d1f xx 211221dxxP xXxF xF xfxx定理：设X为任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x)分别是它的分布函数与密度函数，则（1）对任意一个常数a(a+)，有PX=a=0；（2）对任意两个常数a、b（ab+），有 PaXb
37、=PaXb=PaXb=PaXb=2)三种重要的连续型分布（1）均匀分布：XU(a，b)，（2）指数分布:Xe()，（3）正态分布:XN(，2)，引理1：若XN(，2)，则Y=aX+bN(a+b，a22)(a0)。引理2：若XN(，2)，则N(0，1)。X 4.随机变量函数的分布1)离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的分布律为则随机变量函数Y=g(X)的分布律可由下表求得,即2)连续型随机变量函数的分布设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则随机变量Y=g(X)的分布函数为 dyYyXIFyP YyP g XyP XIfxx其中，XIy与g(X)y是等价的随机事件，而Iy=x|g
38、(x)y是实数轴上的某个集合，随机变量Y的概率密度函数fY(y)可由fY(y)=FY(y)得到。定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)（x0（或恒有g(x)0时，当c0时，【例例2.8】设连续型随机变量X的密度函数为求:（1）Y=2X+3；（2）Y=X2的密度函数。解 （1）由Y=2X+3有23yx32yx12x，所以（2）利用分布函数法求解，即所以第四节第四节 习习 题题 全全 解解2.1 下列给出的数列，哪些是随机变量分布律，并说明理由。解 （1）因为pk0(k=0，1，2，3，4，5)，且5012345012345011515151515kkppppppp所以,0,1,2,3
39、,4,515kkpk满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。（2）因为23532063p 所以25,0,1,2,36kkpk不满足概率分布的条件，故该数列不是随机变量分布律。（3）因为10,2,3,4,54kpk，且523452111114444kkppppp所以1,1,2,3,4,525kkpk满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。2.2 设随机变量X的分布函数为F(x)=+arctanx (x+)试求：（1）常数和；（2）随机变量X落在区间(1，1内的概率。解 （1）根据分布函数的性质知02F 12F，解得11,2（2）由（1）知 11arctan,2F xxx 故随机变量X
40、落在区间(1，1内的概率为 11111111arctan1arctan122PXFF1111144442 2.3 一个袋中装有5个编号为1、2、3、4、5的乒乓球，从袋中同时取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。解 事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大号码，所以X的分布律为22351310CP XC23353410CP XC24356510CP XC或写成下面求X的分布函数F(x)。当x3时，Xx是不可能事件，因此F(x)=0当3x4时，Xx等同于X=3，因此 1310F xP X 34F xP XP X134101010当4x5时，Xx
41、等同于X=3或X=4，因此当x5时，Xx为必然事件，因此F(x)=1综上可得，F(x)的分布函数为2.4 试确定常数a，使成为某个随机变量X的分布律，并求：（1）PX1；（2）0,1,2,33kaP Xkk1522PX解 由于，因此。而301kkp3013kka33012300111114033333327kkkkaaaa因此由等式解得40127a 2740a 将代入原式得2740a 310,1,2,340 3kP Xkk（1）对于该题X1等价于X=0或X=1，因此279361010.9404040P XP XP X（2）对于该题等价于X=1或X=2，因此1522X93121120.34040
42、40P XP XP X2.5 从含有10个黑球及3个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸到黑球为止所需次数X的分布律：（1）每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；（2）每次取出的球都不放回袋中；（3）每次取出一个球后总是放回一个黑球。解 （1）事件“X=1，2，3，k”表示摸到黑球所需要的次数，所以X的分布律为13101313kP Xk或写成（2）作不放回抽取时，由于白球共3个，至多到第4次抽取便会抽到黑球，所以X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成（3）由于每次取出一球后总放回一个黑球，所以至多到第4次抽取时便可取到黑球，因此X的可能取值为1
43、、2、3、4，故X的分布律为或写成2.6 设离散型随机变量X的分布函数为且，试求常数a、b的值和X的分布律。122P X 解 X的分布律为据题意，故122P X 21232ab 再利用分布律的归一性知a+b=1将和联立方程组解得代入X的分布律中有2.9 设随机变量X的密度函数为试求：（1）常数a；（2）X的分布函数F(x)。解 （1）由于，即 d1f xx 112001dd122af xxax xax故a=2（2）由(1)得X的密度函数为由定义，得 dxF xf tt当x0时，F(x)=0当0 x1时，20d2 dxxF xf ttt tx当0 x1时，所以X的分布函数为当x1时，2.10 设
44、随机变量X的密度函数为 （1）求常数a；（2）求X的分布函数F(x)；（3）画出f(x)和F(x)的图形。解 （1）由于，即 d1f xx 2122120101ddd2211 22122xxf xxx xaxxaxaa故a=2（2）由（1）得X的密度函数为由定义，得当x0时，F(x)=0当0 x1时，dxF xf tt 200d0dd2xxxF xf tttt t当1x2时，20101d0dd2d122xxxF xf tttt tttx 当x2时，012012d0dd2d0d1xxF xf tttt tttt所以X的分布函数为（3）图21所示为f(x)的图形，图22所示为F(x)的图形。图2-
45、1 图2-22.11 设随机变量X的密度函数为f(x)=ae|x|(x+)试求：（1）常数a；（2）P1X2；（3）X的分布函数F(x)。解 （1）由于，即 d1fxx 0000de de d ee21xxxxf xxaxaxaaa故12a。（2）由（1）得X的密度函数为由连续型随机变量的性质可得（3）由定义，得当x0时，dxF xf tt 111de dee222xxxttxF xf ttt当x0时，000011de de d22111 ee1e222xxttxttxF xf tttt 所以X的分布函数为2.12 设随机变量X的分布函数为试求：（1）常数a；（2）PX4；（3）P3X4；（4
46、）PX=2.5；（5）X的密度函数f(x)。解 （1）根据分布函数的性质知F(x)是右连续的，故 即1a=0所以a=1。（2）由（1）知X的分布函数为 由F(x)的形式知Xe(0.4)，故X为连续型随机变量。根据连续型随机变量的性质知PX=4=0，所以PX4=1PX4=1F(4)=1(1e0.44)=e1.6（3）P3X4=P30时，f(x)=F(x)=(1e0.4x)=0.4e0.4x当x0时，f(x)=F(x)=0故X的密度函数为2.16 设XN(3，22)。（1）求P2X5，P42，PX3；（2）确定c，使得PXc=PXc；（3）设d满足PXd0.9015，问d至多为多少？解 （1）随机
47、变量X服从正态分布，且=3，=2,故对于任意区间(x1，x2有21123322xxP xXx53232522PX 10.5110.50.84131 0.69150.8413 1 0.6915 0.5328 1034341022PX 3.53.53.513.50.99981 0.99980.9998 1 0.9998 0.9996 212122PXPXPX 2323110.52.522 110.512.51 0.99380.6915 0.6977 PX3=1PX3=1F(3)因为 xF x所以 3331100.52P X （2）对于XN(3，22)有=3,因为正态概率密度曲线关于直线x=对称,所
48、以有PX=PX故c=3（3）由PXd0.9015得1PXd0.9015即所以故因为分布函数(x)是一个不减函数，故解得2.17 设随机变量X的密度函数为（1）求常数a的值；（2）X服从什么分布?参数是多少？24e,xxf xax 解（1）依题意有24ed1xxax又2222111424ededeed 2 eed2 e xxxxxtaxaxaxata 于是得到，即2 e 1a11e4a（2）由（1）知X的密度函数为 2222122411ee,422xxxf xx 即X服从正态分布，且，记做XN(2，2)。2,22.18 设随机变量X的分布律为分别求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|1的分布律。解
49、 Y所有可能取值为0、1、4，因为PY=0=PX2=0=PX=0=0.4PY=1=PX2=1=PX=1=0.3PY=4=PX2=4=PX=2+PX=2=0.2+0.1=0.3所以Y的分布律为 Z所有可能取值为5、2、1、7，因为PZ=5=PX=2=0.2PZ=2=PX=1=0.3PZ=1=PX=0=0.4PZ=7=PX=2=0.1所以Z的分布律为 W所有可能取值为1、0、1，因为PW=1=PX=0=0.4PW=0=PX=1=0.3PW=1=PX=2+PX=2=0.2+0.1=0.3所以Z的分布律为2.19 设随机变量X的密度函数为分别求随机变量Y=X2，Z=2X，W=X+1的密度函数。解 Y的
50、分布函数为当0y1时，200d2 dyyyXyPyXyfxxx xxy当y1时，11200d2 d1yXyPyXyfxxx xx所以Y的分布函数为因此 Z的分布函数为当z0时,22222000d2 d24zzzXzzP Xfxxx xx当0z2时，当z2时，1011200d0d2 d12XzP Xfxxxx xx所以Z的分布函数为因此2.20 设随机变量X的密度函数为试求：（1）常数a的值；（2）Y=arctanX的密度函数；（3）Z=X2的密度函数。2,1afxxx 解解 （1）根据题意有2d11axx又221ddarctan1122axaxaxaaxx图2-3所示。图2-3 于是a=1，即
