1、4.1.2.2利用导数求解含参数的函数极值问题1.会解含参数的函数的极值.2.会利用导数根据函数的极值求有关参数.1.判断含参数的函数y=f(x)在区间(m,n)内是否有极值的步骤:(1)求f(x)的导数;(2)令f(x)=0,求出f(x)=0的根;(3)判断f(x)=0在区间(m,n)内是否有根.若无根,则函数无极值;若有根,要判断根两侧导数的符号:异号有极值,同号无极值.2.求极值时应注意的事项:(1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想;(2)区间内的单调函数没有极值;(3)导数为0的点不一定是极值点.【做一做1】已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范
2、围为()A.-1a2B.-3a6C.a2D.a6解析:f(x)=3x2+2ax+(a+6),且该函数有极大值和极小值,方程f(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不相等的实数根.0,即(2a)2-43(a+6)0,解得a6.答案:D【做一做2】设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为.解析:f(x)=18x2+6(a+2)x+2a,且f(x1)=f(x2)=0,a=9.答案:9题型一题型二题型三求含参数的函数的极值【例1】(1)设f(x)=x3-3ax(a0),求函数f(x)的单调区间与极值点;(2)求函数f(x)=
3、x3-3x2-2在(a-1,a+1)内的极值(a0).分析:(1)求单调区间时,注意对参数a的讨论,以便确定f(x)的符号.(2)求出f(x)在R上的单调区间,判断区间(a-1,a+1)与f(x)单调区间的关系,分类讨论求解.题型一题型二题型三(2)由f(x)=x3-3x2-2得f(x)=3x(x-2),令f(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:由表可得:当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;
4、当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得:当0a1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1a0,则ex1,故a-1.答案:A123452.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21解析:f(x)=3x2+2ax+7a,且f(x)不存在极值点,=4a2-84a0,即当0a21时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)不存在极值点.答案:A12345答案:A12345答案:-13123455.已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x).(1)若曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围;(2)若当x=-1时函数y=g(x)取得极值,试确定y=g(x)的单调区间.12345
