1、1向量方法部分向量方法部分学海无涯学海无涯2空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直学海无涯31、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向 为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系CBADOABC?xyzO?DO?DO?CDBACOAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念学海无涯4xo右手直角坐标系yz空间直角坐标系 Oxyz横轴纵轴纵轴竖轴学海无涯52、空
2、间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标点M（X，Y，Z）学海无涯6如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.4、平面的法向量nur/若,则称 是直线 的方向向量a lalrrr3、直线的方向向量学海无涯71、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据na=0且nb=0可列出方程组11122200 xxyyzzx xy yz z?3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量 n的坐标.
3、anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标学海无涯学海无涯8例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平面面ABC的法向量的法向量(4,6,1),(4,3,2)ABAC?uuu ruuu r4604320 xyzxyz?解：平面ABC的法向量为:(3,4,12)n?r得43zxzy?得12z?令(3,4,12)ABCn?r平面的法向量(,)nxyz?学海无涯9例、在棱长
4、为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系 O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为 n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得1OAuuur1ODuuuur2020 xyzxyz?20 xzy?解得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)ABOzyA1C1B1AxCDD学海无涯105、两法向量所成的角与二面角的关系l1n2n?l1n2n?设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角
5、-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角学海无涯学海无涯11二、基本公式：1 1、两点间的距离公式（线段的长度）?222212121A BA Bxxyyzz?uuu r2 2、向量的长度公式（向量的模）2222aaxyz?学海无涯学海无涯12121212a bxxyyzz?r r3 3、向量的坐标运算公式、向量的坐标运算公式111222(,)(,)ax y zbx y z?rr若那么121212(,)abxxyyzz?rr111(,)axyz?学海无涯学海无涯13121212|,()?r ra bxx yy zzR111222|xyzabx
6、yz?rr4 4、两个向量平行的条件5 5、两个向量垂直的条件12121 20?rrabxxy yzz或学海无涯学海无涯14123123123333?xxxxyyyyzzzz7、重心坐标公式6 6、中点坐标公式、中点坐标公式121212222xxxyyyzzz?学海无涯159、直线与平面所成角公式|sin|PM nPMn?uuuuu r u ruuuuu ru r(PMl?M?nr为?的法向量)8、直线与直线所成角公式|cos|AB CDABCD?uuu r uuu ruuu ruuu r10、平面与平面所成角公式1212cos|n nnn?u r u u ru ru u r(为二面角两个半平
7、面的法向量）1nu r2nu u 学海无涯学海无涯161111、点到平面的距离公式、点到平面的距离公式|PM ndn?uuuu r rr（PM为平面的斜线,为平面的法向量）nr?1212、异面直线的距离公式|AB ndn?uuu rrr（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）学海无涯17利利用用向向量量求求角角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利利用用向向量量求求距距离离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用学海无涯18利利用用向向量量证证平平行行利利用用向向量量证证垂垂直直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与
8、平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行学海无涯19设直线,l m的方向向量分别为,a br r，平面 lm?arbrab?rr；线面平行?urvruv.?rr 线线平行 l?aru?r0a u?r r；面面平行面面平行 ,?的法向量分别为,u vr r，则 四、基本方法1 1、平行问题、平行问题学海无涯20,?的法向量分别为,u vr r，则 设直线,l m的方向向量分别为,a br r，平面 线线垂直 线面垂直线面垂直?uv.0?vu lm?arbr0a b?r r；l?arurau?rr；面面垂直面面垂直 、垂直问题学海无涯21设直线,l m的方向向量分别为,a br r，平面
9、,?两直线l,m所成的角为?(02?),cosa ba b?r rr r；直线l与平面?所成的角为?(02?),sina ua u?r rr r；平面?与平面?所成的角为?(0?),u vu vcos.?r rr r 的法向量分别为,u vr r，则、角度问题学海无涯22、距离问题、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。学海无涯学海无涯23例：090,Rt ABCBCAABC?中，现将沿着111ABCABC?平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中点、，BCCACCA
10、BACDF?11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F题型一：线线角五、典型例题学海无涯学海无涯24A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则11CC?Cxyz?C1111 1(,0,1),(,1)22 2FD)1,21,21(,)1,0,21(11?DBFA?1111|3010|AFBDAFBD?rrrr11cos,AF BD?uuur uuuu r|所以与所成角的余弦值为1BD1AF学海无涯25,例.在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCA
11、 B CAAABCA CABBCAB?.2,(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0).(3,0,),(0,1,),(0,1,).解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为 高为hABCAh BhCh?ABCBCA),2,0(),1,3(),1,3(hBChCAhAB?22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB?uuuu ru uuuruuuu ru uuu r题型二：线线垂直题型二：线线垂直学海无涯28ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1EEF题型四：线面平行题型四：线面平行)1,0,0(),2,2,0(),2,0,2(
12、.2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系?xyz1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).ACAEDB?uuuu vuuuvuuuu v则的法向设平面),(11zyxnCEA?00111?nEAnCA?02022?zxyx即即)2,1,1(?n?解得,021111nBDnBD?./111ECADB平面?学海无涯学海无涯29:,.例 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面A BCD ABC DCC BDAFBDE?FEXYZ,DADCDDxyzAuuu r uuu r uuuu r证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0)
13、,B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0(1,1,2)(0,2,1)0,.AFDBDEAFD BAFD EAFDB AFDEDB DEDAFB DE?uuuu ruuu ruuu ruuuu r uuu rQuuuu r uuu rQuuuu ruuu ru uuu ruuu rI又平面题型五：线面垂直题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明AFnuuuu v vP学海无涯学海无涯30题型六：面面角题型六：面面角ABCDS090,11,2例、已知，是一直角梯形，平面求面与面所成的二面角
14、的余弦值。A BCDA BCSAA BCDSA A BBCADS CDSBA?解：建立直角坐系A-xyz如所示,),0,21,0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S)1,21,0(),0,21,1(?DSDC?),0,21,0(1?DAnSBA?的法向量易知，面2(,),SCDnx y z?uu r的法向量22,nCD nSD?uu ruuu r uu ruuu r由得：设平面0202?zyyx)1,2,1(2?n?解得：,36|,cos212121?nnnnnn?63即所求二面角的余弦值是。学海无涯3111111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0
15、,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)|.|.|.|111111证 明 如 图分 别 以、三 边 所在 的 直线 为轴建 立 空 间直 角 坐标 系.设正 方 体的 棱 长 为1,则则AA即 直线 AC，则 A平 面同 理 可证：A平 面平 面 AD AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD?uuuu ruuuruuuu ruuur11.平 面 CB DXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD面CB1D1题型七：面面平行题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明12,n nvv12,nnvvP
16、学海无涯32例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ题型八：面面垂直题型八：面面垂直11:(0,0,0),(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1,2)0,0,111111证明 如图直角坐标系.设正方体的棱长为2,则则AED FAE D FD FAED FD FD F平面平面平面?uuruuuruuuruur uuuruuur uuuruuruuur uuuruuuruuurDAEDFDADADAAEDAFDAED或证明两平面的法向量垂直学海无涯学海无涯33AB
17、C1A1C1BNMzxy练习练习111111111111902(1)(2)c os,(3)如图，直三棱柱中，棱，、分别是、的中点，求：的长；的值；证明：。OABCABCCACBBCAAAMNABAABNBA CBABCM?学海无涯学海无涯34xzyABCD1A1D1C1BEF练习练习11111124已知长方体中，、分别是，的中点，求异面直线、所成角的大小。A CABBCA AE FADABBE CF?学海无涯学海无涯35BAC1AD1C1B1DEFzxy练习练习11111111111111:1:2(1)(2)(3)如图，已知正方体中，是中点，点在上，且，求：平面的法向量；直线与平面所成角；平面
18、与平面所成 角的大小。ABCDABCDEBCFAAAFFABEFBBBEFBEFABCD?学海无涯学海无涯36ABDC1A1D1C1Bxzy练习练习1111111111112(1)(2)(3)O1为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB=ADC=90，求异面直线和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDABCDADCDaAAABaACBCACBCCCABA?学海无涯学海无涯37BMPDCANzyO练习练习23312如图所示，已知正方形所在平面，点、分别在、上，（）求证：面面；（）若，求二面角的大小。PAABCDMNAB PCAMA B PCNCPADPCDPAABNDMC?学海无涯
19、38题型九：异面直线的距离zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系?1(1,1,0),(2,2,4),CEAB?uuu ruuuu r则的公垂线的方向设).,(,1zyxnBAEC?001?BAnECn?即04220?zyxyx取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(?n?).0,0,1(,?ACAC?在两直线上各取点1|2 3.|3n CACEABdn?rrrrr与的距离EA1B1111101.4,2,90,例 已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。ABCABCAAABCACBCBCAEABC
20、EAB?学海无涯学海无涯39000:,(0,0,2),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2,2),(2,4,2)(,),:020CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znGExynGF?uuu r uuu r uuu ruuu ruuu ruu ruu ruuu ruu ruuu r解 以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则设平面的法向量为则有000101203(1,1,3),2(0,4,1)(0,4,2)|2211.11.1111xzyxyzznGBnGBdBEFGn?uu ruuu rQuu ruuu ruu r又
21、即点 到平面的距离为ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离:4,2,例 如图已知是边长为 的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且求点 到平面的距离.A BCDE FA D A BGCA BCDGCBEFG?学海无涯学海无涯401ABA1BC1CDE1Dxzy练习练习1111181已知正方体的棱长等于，为中点，求点D 到平面的距离。ABCDABC DEBBAEC?学海无涯学海无涯41ADBCEG1A1C1Bzxy练习练习111011190211在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点在 平面上的射影是 ABC的重心G，(1)求AB 与平面ABD所成角的大小；(2)
22、求点A 到平面的距离。ABCABCACBAADECCABEABDAED?学海无涯学海无涯42ADCBGFExzy练习练习4,如图已知为边长为 的正方形 点、分别是、的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面GEF的距离。ABCDEFABA D学海无涯学海无涯43xzyA1B1CDCB1A1DPOH练习练习11111111111111144123在棱长为的正方体中，是正方形的 中心，点在棱上，且（）求直 线与 平面所成角的 大小；（）设点在平面上 的射影是，求证：；（）求点到平 面的 距离。ABCDABCDOABCDPCCCCCPAPBCCBODA PHDHAPPABD?学海无涯44已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。求证：PE AF；求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离；求直线PA与EF的距离；求直线PA与EF所成的角；求PA与平面PEF所成的角；求二面角A-PE-F的大小。?ABCDEFPxyz练习练习
