1、第第8课时立体几何中的向量课时立体几何中的向量方法方法基础梳理基础梳理教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基1直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一直线的方向向量：在直线上任取一_向向量作为它的方向向量量作为它的方向向量非零非零思考探究思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？吗？提示：提示：不唯一，凡是在直线不唯一，凡是在直线l上的非零向量或上的非零向量或与与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为量，凡是与平面垂直的非
2、零向量都可以作为平面的法向量平面的法向量b如图如图，n1，n2分别是二面角分别是二面角-l-的两的两个半平面个半平面，的法向量，则二面角的大小的法向量，则二面角的大小满足满足cos_.cosn1，n2或或cosn1，n2课前热身课前热身1已知平面已知平面内有一点内有一点M(1，1,2)，平面，平面的一个法向量为的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点，则下列点P中，在平面中，在平面内的是内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)2若直线若直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的法向量的夹的法向量的夹角等于角等于120，则直线，则直线l与平面与平面所成的角
3、等于所成的角等于()A120 B60C30 D60或或30解析：选解析：选C.由题意得直线由题意得直线l与平面与平面的法向量的法向量所在直线的夹角为所在直线的夹角为60，直线直线l与平面与平面所所成的角为成的角为906030.3从空间一点从空间一点P向二面角向二面角l的两个面的两个面,分别作垂线分别作垂线PE，PF，垂足分别为，垂足分别为E，F,若二面角若二面角l的大小为的大小为60，则，则EPF的的大小为大小为_解析：解析：EPF实质就是二面角的两个面的法实质就是二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补补答案：答案：60或或1204在棱
4、长为在棱长为2的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,O是底面是底面ABCD的中点，的中点，E，F分别是分别是CC1,AD的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线OE和和FD1所成的角的所成的角的余弦值等于余弦值等于_考点考点1证明平行与垂直证明平行与垂直 如 图 所 示，在 四 棱 锥如 图 所 示，在 四 棱 锥 P A B C D中中,PC平面平面ABCD，PC2，在四边形，在四边形ABCD中中,BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角求证：的角求证：考点探究讲练互动考点探究讲练互动(1)CM平面平面PAD；(2)平面平面P
5、AB平面平面PAD.【证明证明】以以C为坐标原点，为坐标原点，CB所在直线为所在直线为x轴，轴，CD所在直线为所在直线为y轴，轴，CP所在直线为所在直线为z轴轴建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，【题后感悟题后感悟】(1)用向量证明线面平行的方用向量证明线面平行的方法有：法有：证明该直线的方向向量与平面的某一法向证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的
6、向量线性表示个不共线的向量线性表示(2)用向量法证垂直问题：用向量法证垂直问题：证明线线垂直，只需证明两直线的方向向证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为量数量积为0；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；定定理转化为证明线线垂直；证明面面垂直，只需证明两平面的法向量证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直转化为证明线面垂直备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具
7、)变式训练变式训练1如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点求证的中点求证:(1)AECD；(2)PD平面平面ABE.证明：证明：AB、AD、AP两两垂直两两垂直建立如图所示的空间直角坐标系，设建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则则P(0,0,1)(1)ABC60，考点考点2求异面直线所成的角求异面直线所成的角 (2011高考北京卷高考北京卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：求证：B
8、D平面平面PAC；(2)若若PAAB，求，求PB与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值;(3)当平面当平面PBC与平面与平面PDC垂直时，求垂直时，求PA的长的长.备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是正方形是正方形BCC1B1的中心，点的中心，点F、G分别是棱分别是棱C1D1、AA1的中点的中点,设点设点E1、G1分别是点分别是点E、G在平面在平面DCC1D1内内的正投影的正投影(1)证明：直线证明：直线FG1平面平面FEE1；(2)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正弦值所成角的正弦值变式训
9、练变式训练2如图所示，在棱长为如图所示，在棱长为2的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别为分别为A1D1和和CC1的中点的中点.(1)求证：求证：EF平面平面ACD1；(2)求异面直线求异面直线EF与与AB所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：(1)证明：如图所示，分别以证明：如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为所在的直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直轴建立空间直角坐标系角坐标系Dxyz，由已知得，由已知得D(0,0，0),A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2，2),D1(0,0,2)，E(1,0,2)，F(0,2,1)考点考点3
10、求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 (2011高考大纲全国卷高考大纲全国卷)如图，四棱如图，四棱锥锥SABCD中，中，ABCD，BCCD，侧面，侧面SAB为等边三角形，为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：证明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值【解解】以以C为坐标原点，射线为坐标原点，射线CD为为x轴轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.【题后感悟题后感悟】利用向量法求线面角的方法利用向量法求线面角的方法.(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方分别求出斜线和它在平面内的射影直线
11、的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其或其补角补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角是斜线和平面所成的角备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD的底的底面为等腰梯形，面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足，垂足为为H，PH是四棱锥的高，是四棱锥的高，E为为AD中点中点(1)证明：证明：PEBC；(2)若若APBADB60，求直线，求直线PA与平与平面面PEH所
12、成角的正弦值所成角的正弦值【解】以【解】以H为原点，为原点，HA，HB，HP所在直线所在直线分别为分别为x，y，z轴，线段轴，线段HA的长为单位长度的长为单位长度,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系(如图如图)，则，则A(1,0,0),B(0,1,0)考点考点4求二面角求二面角(1)证明：平面证明：平面POD平面平面PAC；(2)求二面角求二面角BPAC的余弦值的余弦值【题后感悟题后感悟】求二面角最常用的方法：求二面角最常用的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的
13、大小，但要注意结合实际图形判断二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角所求角是锐角还是钝角(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小夹角的大小就是二面角的大小以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题特点选择适当的方法解题备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边形，为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面底面
14、ABCD.(1)证明：证明：PABD；(2)若若PDAD，求二面角，求二面角APBC的余的余弦值弦值考点考点5求空间距离求空间距离 如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知DCDD12AD2AB，AD1,ADDC，ABDC.(1)设设E是是DC的中点，求证：的中点，求证：D1E平面平面A1BD;(2)求二面角求二面角A1BDC1的余弦值；的余弦值；(3)求点求点C1到平面到平面A1BD的距离的距离【解解】(1)证明：以证明：以D为原点，为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图轴建立如图所示的空间直角坐标系，所示的空间
15、直角坐标系，【方法小结方法小结】求点到平面的距离的常用方求点到平面的距离的常用方法：法：(1)等体积法，选择适当的三棱锥，用等体积等体积法，选择适当的三棱锥，用等体积法求高即可法求高即可(2)向量法，用向量法求点到平面的距离简便向量法，用向量法求点到平面的距离简便易行易行互动探究互动探究3本例中，求直线本例中，求直线D1E到平面到平面A1BD的距离的距离.备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)(2011高考上海卷高考上海卷)已知已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为是底面边长为1的正四棱柱，的正四棱柱，O1是是A1C1与与B1D1的交点的交点【解解】(1)证明：设正四棱柱的高为证明：设
16、正四棱柱的高为h，连，连接接AO1，如图，如图，AA1底面底面A1B1C1D1于于A1,AB1与底面与底面A1B1C1D1所成的角为所成的角为AB1A1,即即AB1A1.方法技巧方法技巧若利用向量求角，各类角都可以转化为向量若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算的夹角来运算(1)求两异面直线求两异面直线a、b的夹角的夹角，须求出它们的，须求出它们的方向向量方向向量a，b的夹角的夹角,则则cos|cosa，b|.(2)求直线求直线l与平面与平面所成的角所成的角可先求出平面可先求出平面的法向量的法向量n与直线与直线l的方向向量的方向向量a的夹角则的夹角则sin|cosn，a|.(3)求
17、二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个，可先求出两个平面的法向量平面的法向量n1，n2所成的角，则所成的角，则n1,n2或或n1，n2失误防范失误防范利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同义、范围不同命题预测命题预测从近几年的高考试题来看，利用空间向量证从近几年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点,题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向
18、量的平行与要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象以及问题等，同时注重考查学生的空间想象以及运算能力运算能力考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考预测预测2013年高考仍将以用向量证明平行与垂年高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积及学生的空间想象以及点考查向量的数量积及学生的空间想象以及运算能力等运算能力等规范解答规范解答 (本题满分本题满分14分分)(2011高考重庆卷高考重庆卷)如如图，在四面体图，在四面体ABCD中，平面中，平面ABC平面平面ACD，ABBC，ACAD2，BCCD1.(1)求四面体求四面体ABCD的体积；的体积；(2)求二面角求二面角C-AB-D的平面角的正切值的平面角的正切值 .【解解】(1)如图，设如图，设O是是AC的中点，过的中点，过O作作OHAC，交，交AB于于H，过，过O作作OMAC，交交AD于于M 名师点拨层层剖析名师点拨层层剖析
