1、二次根式二次根式1 1、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简.2 2、能够比较熟练地进行二次根式的运算、能够比较熟练地进行二次根式的运算.3 3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际 问题问题.二二 次次 根根 式式概念概念性质性质运算运算加加 、减、乘、除、减、乘、除最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式二次根式二次根式3、4、2、1、baba0,0babaab02aaa aa20aa0aa,0(a)0b一、二次根式的意义一、二次根式的意义二、二次根式的性质二、二次根式的性质四、反思提升四、
2、反思提升三、二次根式的运算三、二次根式的运算一、二次根式的意义一、二次根式的意义你能说说对二次根式你能说说对二次根式 的认识吗的认识吗?2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根.4.a0，0.(双重非负性双重非负性)aa 注注:正确理解和运用二次根式的概念是学好正确理解和运用二次根式的概念是学好本章的关键之一本章的关键之一.例例1、下列各式中哪些是二次根式？哪下列各式中哪些是二次根式？哪 些不是？些不是？为什么？为什么？153a100 x3522ab21a144221aa思路启迪思路启迪:二次根式应同时具备下
3、列三个条件：二次根式应同时具备下列三个条件：(1)(1)含有含有根号；根号；(2)(2)根指数是根指数是2 2；(3)(3)被开方数是非负数被开方数是非负数.例例2 2、x x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 x.04,)3(2为全体实数为何实数无论xxxxx1)4(4)3(2101)1(xx解解:003)2(xx思路启迪：思路启迪：判断二次根式是否有意义的基本判断二次根式是否有意义的基本 依据是依据是:被开方数为非负数；被开方数为非负数；分母不等于零。分母不等于零。0001)4(xxx且0202)5(xx且2 x522)5(
4、xx2x例例3 3、二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.1 1、已知：、已知：+=0,+=0,求求 x-y x-y 的值的值.yx24x2 2、已知、已知x,yx,y为实数为实数,且且 +3(y-2)+3(y-2)2 2=0,=0,则则x-yx-y的值为的值为()A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=02x+y=0解得解得 x=4,y=-8x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12x-y=4-(-8)=4+8=12D D解：解：x-1=0 x-1=0 且且 y-2=0 y
5、-2=0；x=1 y=2 x=1 y=2若两个非负数的和为零，若两个非负数的和为零，则这两个数都为零。则这两个数都为零。点评：点评：初中阶段，课本中出现的三种非负数已全初中阶段，课本中出现的三种非负数已全部学完这三种非负数是：部学完这三种非负数是：实数的绝对值；实数实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根的偶次方；非负数的算术平方根利用非负数的利用非负数的意义求值，是解决代数式求值问题时常用的方法意义求值，是解决代数式求值问题时常用的方法之一之一 x为何值时，下列各式在实数范围为何值时，下列各式在实数范围内有意义内有意义.x31)1(2)5()3(x1)2(2x123)5(xx12)4(
6、0)6(5)6(xx为全体实数x31x为全体实数x10 xx且21x65xx且二、二次根式的性质二、二次根式的性质aa2)(1、)0(a?)(22有区别吗与 aa aa22、0aa0aa1 1、与与 区别区别：意义不同意义不同 表示表示a的算术平方根的平方，的算术平方根的平方，表示表示a的平方的算术平方根的平方的算术平方根 a的取值范围不同的取值范围不同 (ao)o)；(a为任意实数为任意实数)2 2、联系联系：当：当a00时，时，=a2)a（2a2)a（2)a（2aaa 22aaa2)（)0,0(babaab3 3、积的算术平方根的性质、积的算术平方根的性质4 4、商的算术平方根的性质、商的
7、算术平方根的性质)0,0(bababa二、二次根式的性质二、二次根式的性质 注：注：正确理解和运用二次根式的性质是学好正确理解和运用二次根式的性质是学好本章的关键之一本章的关键之一.计算计算:例例1 1、;)5.1)(1(2 ;)434)(3(2.)5()2()4(22.5.1)5.1)(1(2解：解：思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把可以把二次根式化简二次根式化简 02aaa2)32)(2(632)32)(2(21243)4()434)(3(2254)5()2()5()2()(4(222例例2、把下列各式写成平方差的形式，、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；再在实数范围内
8、分解因式；54)1(2x103)2(2a2252)1(）（）（原式解、x22103)2(）（）（原式a)52)(52(xx)103)(103(aa思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把任何一可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式个非负数或非负式子写成完全平方形式 02aaa例例2、把下列各式写成平方差的形式，、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；再在实数范围内分解因式；9)3(4a96)4(24 aa2223)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa化简化简:思考思考:.0162xx解解:040 xx 2216
9、(4)xxx4例例3 3、思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把二次可以把二次根式化简根式化简 aa 2若若x0呢？呢？33)1(2aa、例例4 4、化简化简:aaa3)3(3:原式解3396)2(2aaa、2333aaa解：原式把把a-3当做整体当做整体 化简形如化简形如 的二次根式，首先把的二次根式，首先把 写成写成|a|的形式，再根据已知条件中的形式，再根据已知条件中字母字母a 的取值范围，确定其结果的取值范围，确定其结果.方法小结方法小结 化简形如化简形如 的二次根式的方法的二次根式的方法:2a2a2a一定要注意一定要注意a的取值范围的取值范围例例5 5、判断下列各式中哪些是最简二次根、
10、判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？式，哪些不是？为什么？(字母为正数字母为正数)ba23)1(ab5.1)2(22)3(yx ba)4(思路启迪：思路启迪：根据最简二次根式的条件来判根据最简二次根式的条件来判断，不满足其中任意一个条件的，都不是断，不满足其中任意一个条件的，都不是最简二次根式最简二次根式 最简二次根式的最简二次根式的三个三个条件：条件：（1 1）被开方数中不含能开得尽方的因数或）被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式；因式；（2 2）被开方数不含分母；）被开方数不含分母；（3 3）分母中不含有根号）分母中不含有根号.54)1(23(2)4 ab2114)2(2
11、2(3)3yxx例例6 6、化简化简(字母为正数字母为正数)272)5(ba 3)6(baba)7(54)1(23(2)4 ab例例6 6、化简化简(字母为正数字母为正数)思路启迪：思路启迪：若被开方数是积的形式，把能开得尽若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因数或因式开出来因数或因式开出来54)1(6369babbab2)2(2324)2(ba解：解：2114)3(2223423462xyx32)4(2xxxyx33322xyx6
12、32114)3(xyx32)4(262232221142解法二：思路启迪：思路启迪：化去根号中的分母，可以将被开方数化去根号中的分母，可以将被开方数的分子和分母同乘以一个适当的数的分子和分母同乘以一个适当的数(或代数式或代数式)，从而使被开方数中的分母能够开的尽从而使被开方数中的分母能够开的尽,这样也就这样也就将二次根式进行化简了将二次根式进行化简了.272)5(33332332932ba 3)6(bababa3baba3272)5(ba 3)6(思路启迪：思路启迪：化去分母中的根号的关键是选择一个化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数适当的数(或代数式或代数式)，用这个数，用这个数(或代数
13、式或代数式)去乘去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号这个分式的分子和分母，可以使分母不含根号这个数数(或代数式或代数式)叫有理化因式。分母的有理化因式叫有理化因式。分母的有理化因式不是唯一的，应学会选择最简单的不是唯一的，应学会选择最简单的.)()(bababababababa)(bababa)(思路启迪：思路启迪：根据本题的特点，将分子分解因式，根据本题的特点，将分子分解因式，然后约分，这样化简运算简便然后约分，这样化简运算简便baba)7(ba 解、原式解、原式解法二解法二ba 方法小结方法小结 化二次根式为最简二次根式的一般步骤：化二次根式为最简二次根式的一般步骤：(1)(1)把根号
14、内能开得尽方的因数把根号内能开得尽方的因数(或因式或因式)移移到根号外；到根号外；(2)(2)化去根号内的分母化去根号内的分母(3)(3)化去分母中的根号化去分母中的根号(又称分母有理化又称分母有理化)1 1、计算、计算29)4(43)5(2(3)(12)2(2)(3)2)2)(6(x22)3221()2131()7(2222)11()7(43)8(2)2)(1(1 1、计算、计算 答案：答案：2)1(12)2(4)3(23)4(321)5(x4)6(1)7(9)8(2 2、把下列二次根化为最简二次根式、把下列二次根化为最简二次根式.800)1(81)3(533)4(4.0)2(243)5(1
15、21)6(220)1(241)3(1053)4(1051)2(42)5(12)6(3、化简下列各式：、化简下列各式：);0(250)1(3bba)31(961)2(2xxx 3113)3(22xxxaba 105)1(13)2(x2)3(4、若、若ab，则化简，则化简 的结果为（的结果为（）2()abA.A.a+b B.B.a-b C C.-a-b D.-D.-a+bD3、实数、实数 在数轴上的位置如图所示在数轴上的位置如图所示,化简化简:22(1)(2)_.pp1 1p5、实数、实数 在数轴上的位置如图所示在数轴上的位置如图所示,化简化简:p-1-12 21 10 0p 6、已知三角形的三边
16、长分别是、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，且且 ，那么，那么 等于（等于（）A、2a-b B、2c-b C、b-2a D、b-2cca 2)(bcaacD三、二次根式的运算三、二次根式的运算 乘除乘除1 1、二次根式的乘法法则、二次根式的乘法法则)0,0(baabba2 2、二次根式的除法法则、二次根式的除法法则)0,0(bababa 二次根式的除法可以先转化为乘法二次根式的除法可以先转化为乘法,然然后再按乘法法则进行运算后再按乘法法则进行运算.例例1：计算：计算(字母为正数字母为正数)(1)2 66 21(2)322(3)2418xx 222112(4)6 35aa bb1321642
17、2 6 6 212 3 424 34 66 312 3xx 246363655aa bb例例2 2、计算、计算21(1)133515335533533133(2)94824124214199614833348336 点评：点评：也可以用也可以用“除以一个数，等于乘以这个数除以一个数，等于乘以这个数的倒数的倒数”的法则进行计算的法则进行计算 在进行二次根式的加减运算时，首先在进行二次根式的加减运算时，首先要正确识别同类二次根式，关键是准确地要正确识别同类二次根式，关键是准确地化成最简二次根式，然后观察被开方数是化成最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，对于被开方数相同的最简二次根否相同，对于被
18、开方数相同的最简二次根式可以类似合并同类项的方法，即把根号式可以类似合并同类项的方法，即把根号外的因式相加减，根指数和被开方数都不外的因式相加减，根指数和被开方数都不变。变。三、二次根式的运算三、二次根式的运算 加减加减1 1、同类二次根式、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式同类二次根式.2 2、二次根式的加减、二次根式的加减（1 1）先化简，）先化简，（2 2）再合并）再合并.三、二次根式的运算三、二次根式的运算 加减加减化简化简例例、计算、计算(字母为正数
19、字母为正数)32411821182)1(222326)1(原式解、2213合并合并把同类二次根式看成把同类二次根式看成“同类项同类项”，按照合并同，按照合并同类项的方法进行合并类项的方法进行合并例例、计算、计算(字母为正数字母为正数)()(提高题）提高题）ababaabba222)2(点评：点评：在进行二次根式的加减运算时，应注意：在进行二次根式的加减运算时，应注意：1 1、根号外的系数因式需保留假分数的形式。根号外的系数因式需保留假分数的形式。2 2、化简后，、化简后，被开方数不相同的二次根式不能合并；反之，能合被开方数不相同的二次根式不能合并；反之，能合并，若合并后的系数为多项式，需添括号
20、。并，若合并后的系数为多项式，需添括号。ababaabba原式ababba)1()(1、混合运算的顺序：、混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与实数运算类二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的括号先算括号里面的三、二次根式的运算三、二次根式的运算混合运算混合运算2、对于二次根式混合运算，原来学过的所、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用例、例、计算计算6)5048)(1(650648.原式解310212把二次根式看成把二次根式看成“单
21、项式单项式”，它类似于单项式乘多项式它类似于单项式乘多项式)6227()2762)(2(22(7 2)2 6)解.原式（742498例、例、计算计算它类似于特殊的多项式它类似于特殊的多项式乘法，可利用平方差公式。乘法，可利用平方差公式。2)5423)(3(22(3 22 3 24 54 5 解.原式）（）80102418102498例、例、计算计算可利用完全平方公式。可利用完全平方公式。)532)(532)(4(222(35)解.原式1524)1528(4例、例、计算计算 （提高题）（提高题）这要利用平方差和这要利用平方差和完全平方两个公式。完全平方两个公式。(5)5 4806 27320 1
22、82例、例、计算计算它类似于多项式除以单项式它类似于多项式除以单项式5 48036 273解.原式5 166 9点评：点评：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，这样计算很方便这样计算很方便10 34 66例、例、计算计算它也类似于它也类似于多项式除以单项式多项式除以单项式(6)5 64 33 25 64 325 64 3.3 23 22解原式523633 一样的类型，不一样的解法，应学会选择。一样的类型，不一样的解法，应学会选择。点评：点评：有关二次根式的除法，通常是先写成分式有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过化去分母中的根号进行运算的
23、形式，然后通过化去分母中的根号进行运算1)109(200520092009(7)(310)(310)2009(310)(310)解.原式例、例、计算计算这里包含了二次根式的这里包含了二次根式的乘方、乘法和加减运算乘方、乘法和加减运算二次根式的混合运算，要注意：二次根式的混合运算，要注意：1 1、运算顺序；、运算顺序；2 2、灵活运用运算法则；、灵活运用运算法则；3 3、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；4 4、结果一定要化到最简。、结果一定要化到最简。方法小结方法小结 在二次根式混合运算中，如能结合题在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
24、性质，选择目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍恰当的解题途径，往往能事半功倍2165166106.01、)5.04313()31448(2、32281218323xxxxxx、计算：计算：4615532 23(51)2xx计算：计算：2110)32004(2224)1(2)31(0)12()13)(13)(2(11(3)15()325630361611(3)15()3223615156323 103232323 306 5()1aB1aCD0aA四、反思提升四、反思提升的取值范围是那么，、如果aaaaa1123D01a.11)1(到根号里面到根号里面中的根号外面的
25、因式移中的根号外面的因式移将将aa注意隐含条件注意隐含条件:a1.111)1(11)1(11)1(.01,0112aaaaaaaaa则四、反思提升四、反思提升解：解：思路启迪：思路启迪：要将根号外的因式移入根号内，要将根号外的因式移入根号内，根据根据 移入根号里面的必须是非负数，可以移入根号里面的必须是非负数，可以将将 a-1写成写成-(1-a)，将，将1-a平方后移入根号内，平方后移入根号内，“”仍留在根号外面仍留在根号外面2、22ab，20a，02b22(2)ab原式22(22)24设设a a、b b为实数为实数,且且|2-|2-a|+b-2=0|+b-2=0 22（1）求a-2 2a+2
26、+b 的值.12a0,b202ab20解：而四、反思提升四、反思提升11221若若a为底为底,b为腰为腰,此时底边上的高为此时底边上的高为2142721422222三角形的面积为三角形的面积为(2)(2)若满足上式的若满足上式的a,b,b为等腰三角形的两边为等腰三角形的两边,求这求这个等腰三角形的面积个等腰三角形的面积.设设a a、b b为实数为实数,且且|2-|2-a|+b-2=0|+b-2=0 22ab，解解:若若a为腰为腰,b,b为底为底,此时底边上的高为此时底边上的高为11472222三角形的面积为三角形的面积为2211（）22（1）求a-2 2a+2+b 的值.四、反思提升四、反思提
27、升注意隐含条件注意隐含条件:a、b同为负数同为负数.,1,3的值求已知baababba.311311.0,0,01,03ababbaabbababaabbaabba点评：点评：题目没有直接给出题目没有直接给出a和和b的取值范围，但它隐的取值范围，但它隐含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键掘隐含在题目中的条件是关键四、反思提升四、反思提升解解二二 次次 根根 式式概念概念性质性质运算运算加加 、减、乘、除、减、乘、除最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式二次根式二次根式3、4、2、1、baba0,0babaab02aaa aa20aa0aa,0(a)0b关键关键关键关键重点重点思想方法思想方法2、类比、类比类比整式运算学习二次根式的运算类比整式运算学习二次根式的运算3、转化、转化灵活运用二次根式的性质进行化简与灵活运用二次根式的性质进行化简与 运算运算1、分类、分类二次根式、最简二次根式、同类二次二次根式、最简二次根式、同类二次 根式的识别根式的识别
