1、第 18 课时特殊三角形考点一等腰三角形课前双基巩固考点聚焦定义 有 相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 性质 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形,有 条对称轴 定理 1 等腰三角形的两个底角相等(简称 )定理 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的高重合(简称三线合一)判定(1)在ABC中,AB=AC?ABC是等腰三角形(定义);(2)在ABC中,B=C?ABC是等腰三角形 两边1等边对等角中线考点二等边三角形课前双基巩固定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形 性质(1)等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于
2、;(2)等边三角形是轴对称图形,有 条对称轴 判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 相等603考点三直角三角形课前双基巩固定义 有一个角等于 的三角形叫做直角三角形 性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)在直角三角形中,30 角所对的直角边等于 ;(3)直角三角形斜边上的中线等于 判定(1)如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 拓展 (1)SRtABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)RtABC的内切圆半径r=a+b
3、-c2,外接圆半径 R=c2,即外接圆半径等于斜边的一半 90斜边的一半斜边的一半考点四勾股定理及其逆定理课前双基巩固勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a,b,斜边为 c,那么 勾股定理的逆 定理 逆定理 如果三角形的三边 a,b,c 满足 ,那么这个三角形是直角三角形 用途 (1)判断某三角形是不是直角三角形;(2)证明两条线段垂直;(3)解决生活中的实际问题 勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数 a2+b2=c2 a2+b2=c2 课前双基巩固对点演练题组一必会题1.已知等腰三角形的一个底角的度数为70,则另外两个内角的度数分别是 ()A.55,55 B.70,
4、40 C.55,55 或 70,40 D.以上都不对 2.若等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm,则它的周长为 ()A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm 或 20 cm BC课前双基巩固3.下列四组线段中,能构成直角三角形的是 ()A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5 4.如图 18-1,线段 AC的垂直平分线交线段 AB于点 D,A=50,则BDC=()A.50 B.100 C.120 D.130 5.在 RtABC中,已知C=90,A=30,BC=2,则 AC=.图18-1DB2
5、 3 课前双基巩固题组二易错题6.某等腰三角形的三边长分别为 x,3,2x-1,则该三角形的周长为 .【失分点】求解等腰三角形的有关问题忘记分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;“三线合一”与腰上的高、中线混淆;等腰三角形或等边三角形的判定方法选择有误.答案 11 或 8 解析 当 x=3 时,此时 2x-1=5,3+35,能组成三角形,此时三角形的周长为 3+3+5=11;当 x=2x-1时,此时 x=1,1+13,能组成三角形,此时三角形的周长为 3+3+2=8.综上,三角形的周长为 11 或 8.课前双基巩固7.如图 18-2 所示,在ABC中,AB=AC,BDAC,垂足为 D,A=4
6、0,则DBC=.图 18-2 答案 20 解析 在ABC中,AB=AC,A=40,ABC=ACB=(180-40)2=70.又BDAC,DBC=90-ACB=90-70=20.课前双基巩固8.如图 18-3,ABC中,ACB=90,B=30,AD平分CAB,DEAB于点 E,连接 CE交AD于点H,则图中的等腰三角形有 个.图 18-3 答案 4 解析 ACB=90,B=30,BAC=60,AD是角平分线,CAD=BAD=30,AD=BD.ABD是等腰三角形.AD是角平分线,ACB=90,DEAB,CD=ED,AC=AE,CDE,ACE是等腰三角形.又CEB也是等腰三角形,显然图中有 4 个等
7、腰三角形.高频考向探究探究一与等腰三角形有关的计算例 1 (1)2018宿迁 若实数 m,n满足等式|m-2|+?-4=0,且m,n恰好是等腰三角形 ABC的两条边的边长,则ABC的周长是()A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B 解析|m-2|+?-4=0,m-2=0,n-4=0,解得 m=2,n=4.当 m=2 作腰时,三边为 2,2,4,不符合三边关系定理;当 n=4 作腰时,三边为 2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.课前双基巩固例 1(2)2018成都 等腰三角形的一个底角为 50,则它的顶角的度数为 .80方法模型 在等腰三角形中进行边或角的计算时,往往要分
8、类讨论:当等腰三角形的边不确定时,要利用三边关系确定腰或底;当等腰三角形的角不确定时,要利用三角形的内角和来确定顶角和底角.高频考向探究拓考向拓考向1.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,那么它的底边长为()A.4或6B.4C.6D.5答案A解析 此题分为两种情况:6是等腰三角形的底边或6是等腰三角形的腰.然后进一步根据三角形的三边关系分析能否构成三角形.当腰为6时,则底边为4,此时三边满足三角形三边关系;当底边为6时,则另两边长为5,5,此时三边满足三角形三边关系.故选A.高频考向探究2.如果等腰三角形的一个外角为140,那么底角为()A.40B.60C.70D.40或70答案 D解析 题
9、目没有明确此外角的位置,要分这个外角的邻补角是顶角和底角两种情况讨论.外角为140,与它相邻的内角是180-140=40.(1)当40是顶角时,底角是(180-40)2=70;(2)当40是底角时,底角是40.故选D.高频考向探究3.2018绍兴 数学课上,张老师举了下面的例题:例 1 等腰三角形 ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35)例 2 等腰三角形 ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40 或 70或 100)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式 等腰三角形 ABC中,A=80,求B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得
10、到B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索 x 的取值范围.解:(1)当A为顶角时,B=50,当A为底角时,若B为顶角,则B=20,若B为底角,则B=80,B=50 或 20 或 80.高频考向探究3.2018绍兴 数学课上,张老师举了下面的例题:例 1 等腰三角形 ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35)例 2 等腰三角形 ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40 或70 或 100)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式 等腰三角形 ABC中,A=80,求B的度数.(2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得到B
11、的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索 x的取值范围.(2)分两种情况:当 90 x180 时,A只能为顶角,B的度数只有一个.当 0 x90 时,若A为顶角,则B=180-?2,若A为底角,则B=x 或B=(180-2x),当180-?2180-2x且180-?2x且 180-2xx,即 x60 时,B有三个不同的度数.综上,当 0 x 90 且 x60 时,B有三个不同的度数.高频考向探究探究二等腰三角形的性质与判定 6年3考例 22017北京 如图 18-4,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交 AC于点 D.求证:A
12、D=BC.图 18-4 证明:AB=AC,A=36,ABC=C=12(180-A)=12(180-36)=72.又BD平分ABC,ABD=DBC=12ABC=12 72=36,BDC=A+ABD=36+36=72,C=BDC,A=ABD,AD=BD=BC,即 AD=BC.高频考向探究方法模型 等腰三角形是轴对称图形,它的定义既可以作为性质,又可以作为判定方法.要证明一个三角形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有:(1)通过等角对等边得到两边相等;(2)通过三角形全等得到两边相等;(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等.高频考向探究明考向明考向1.2017河北 10 题 如图
13、 18-5,码头 A在码头 B的正西方向,甲、乙两船分别从 A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东 35,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是()A.北偏东 55 B.北偏西 55 C.北偏东 35 D.北偏西 35 D图18-5高频考向探究2.2013河北 8 题 如图 18-6,一艘海轮位于灯塔 P的南偏东70 方向的 M处,它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于灯塔 P的北偏东 40 的 N处,则 N处与灯塔P的距离为()A.40 海里 B.60 海里 C.70 海里 D.80 海里 答案D 解析 由题意知,MN=2 40=80(海里).M=70
14、,N=40,NPM=180-M-N=180-70-40=70,NPM=M,NP=MN=80 海里.故选 D.图18-6高频考向探究3.2014河北 23(2)题 如图 18-7,在ABC中,AB=AC,BAC=40,将ABC绕点 A按逆时针方向旋转 100 得到ADE,连接 BD,CE交于点 F.求ACE的度数.图 18-7 解:ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE,AC=AE,CAE=100,ACE=12(180-CAE)=12(180-100)=40.高频考向探究探究三等边三角形的性质与判定 6年1次单独考,1次涉及例 3 如图 18-8,O是等边三角形 ABC内的一点,AOB=1
15、10,BOC=.将BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD.(1)求证:COD是等边三角形;(2)当=150 时,试判断AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当 为多少度时,AOD是等腰三角形?图18-8解:(1)证明:ADC是由BOC旋转所得,BOCADC,OC=CD.又OCD=60,COD是等边三角形.高频考向探究例 3 如图 18-8,O是等边三角形 ABC内的一点,AOB=110,BOC=.将BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD.(2)当=150 时,试判断AOD的形状,并说明理由;图18-8(2)AOD是直角三角形.理由:COD是等边三角形,COD
16、=CDO=60.AOB+BOC+COD+AOD=360 且AOB=110,BOC=150,AOD=40.由(1)知ADC=BOC=150,ADO=ADC-CDO=150-60=90,AOD是直角三角形.高频考向探究例 3 如图 18-8,O是等边三角形 ABC内的一点,AOB=110,BOC=.将BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD.(3)探究:当 为多少度时,AOD是等腰三角形?图18-8(3)AOD=360-AOB-BOC-COD=360-110-60=190-,ADO=ADC-CDO=-60,OAD=180-ADO-AOD=180-(-60)-(190-)=50.若A
17、DO=AOD,则-60=190-,解得=125;若ADO=OAD,则-60=50,解得=110;若OAD=AOD,则 50=190-,解得=140.当=125 或 110 或 140 时,AOD是等腰三角形.高频考向探究明考向明考向2016河北 16 题 如图 18-9,AOB=120,OP平分AOB,且 OP=2.若点 M,N分别在 OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的 PMN有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.3 个以上 图18-9高频考向探究答案D 解析 如图,在 OA,OB上截取 OE=OF=OP,作MPN=60.OP平分AOB,EOP=POF=60,OP=O
18、E=OF,OPE,OPF是等边三角形,EP=OP,EPO=OEP=PON=MPN=60,EPM=OPN,在PEM和PON中,?=?,?=?,?=?,PEMPON,PM=PN,MPN=60,PNM是等边三角形,只要MPN=60,PNM就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D.高频考向探究探究四直角三角形的性质【方法指导】熟知并掌握直角三角形的性质,尤其是直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.若题目中出现含有30 角的直角三角形,要想到30 角所对的直角边等于斜边的一半.高频考向探究例 4 在等腰三角形 ABC中,ADBC交直线 BC于点
19、D,若 AD=12BC,则ABC的顶角的度数为 .答案30 或 90 或 150 解析 分两种情况:(1)BC为腰;(2)BC为底.(1)当 BC为腰时,设 BC=AC.ADBC于点 D,AD=12BC,AD=12AC,ACD=30.如图,若 AD在ABC内部,则顶角C=30.如图,若 AD在ABC外部,则顶角ACB=180-30=150.(2)当 BC为底时,如图,ADBC于点 D,AD=12BC,AD=BD=CD,B=BAD,C=CAD,BAD+CAD=12 180=90,顶角BAC=90,综上所述,等腰三角形 ABC的顶角度数为 30 或 90 或 150.高频考向探究明考向2016河北
20、 19 题节选 如图 18-10,已知AOB=7,一条光线从点A发出后射向 OB边.若光线与 OB边垂直,则光线沿原路返回到点 A,此时A=90-7=83.当A83 时,光线射到 OB边上的点 A1后,经 OB反射到线段 AO上的点 A2,易知1=2.若A1A2AO,光线又会沿A2A1A原路返回到点A,此时A=.图 18-10 答案76 解析 A1A2AO,AOB=7,1=2=90-7=83,AA1A2=180-83-83=14,A=90-AA1A2=76.高频考向探究探究五勾股定理及其逆定理的应用例 5(1)2018大连模拟 如图 18-11,将ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边
21、长均为1),点 A,B,C 恰好在网格图中的格点上,那么ABC中 BC边上的高是 ()A.102 B.104 C.105 D.5 答案 A 解析 根据图形可得:AB=AC=12+22=5,BC=12+32=10,得出BAC=90.设ABC中 BC边上的高是 x,则 ACAB=BCx,即 5 5=10 x,解得 x=102.故选 A.图18-11高频考向探究例 5(2)2017十堰 如图 18-12,已知圆柱的底面直径 BC=6,高 AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从点 C 爬到点 A,然后再沿另一面爬回点 C,则小虫爬行的最短路程为 ()A.3 2 B.3 5 C.6 5 D.6 2 答案 D
22、解析 要求最短路程,首先要把圆柱的侧面展开,展开图如图所示,点 A,C的最短距离为线段 AC的长.在RtADC中,ADC=90,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=3,AC=3 2,从点 C 爬到点 A,然后再沿另一面爬回点 C,则小虫爬行 的最短路程为 2AC=6 2.图18-12高频考向探究方法模型 在直角三角形中求边的长度时,勾股定理是最常用的方法之一,若已知两边求一边,直接利用勾股定理即可;若已知一边求其他两边,需指明三边之间存在的另一个数量关系,然后利用勾股定理求值或构建方程求解.证明一个三角形为直角三角形,可以证明一个内角等于90,也可以利用勾股定理的逆定理进行证明.高频考向
23、探究拓考向2018荆门 如图18-13,在RtABC中,ACB=90,BAC=30,E为 AB边的中点,以 BE为边作等边三角形 BDE,连接 AD,CD.(1)求证:ADECDB;(2)若 BC=3,在 AC边上找一点 H,使得 BH+EH最小,并求出这个最小值.图 18-13 解:(1)证明:在 RtABC中,BAC=30,E 为 AB边的中点,BC=EA,ABC=60.DEB为等边三角形,DB=DE,DEB=DBE=60,DEA=120,DBC=120,DEA=DBC,ADECDB.高频考向探究2018荆门 如图 18-13,在 RtABC中,ACB=90,BAC=30,E为 AB边的中点,以 BE为边作等边三角形 BDE,连接 AD,CD.(2)若 BC=3,在 AC边上找一点 H,使得 BH+EH最小,并求出这个最小值.图 18-13 高频考向探究(2)如图,作点 E关于直线 AC的对称点 E,连接 BE 交 AC于点 H.则点 H即为符合条件的点.由作图可知:EH+BH=BE,AE=AE,EAC=BAC=30,EAE=60,EAE 为等边三角形,EE=EA=12AB,AEB=90.在 RtABC中,BAC=30,BC=3,AB=2 3,AE=AE=3,BE=?2-?2=(2 3)2-(3)2=3,BH+EH的最小值为 3.
