1、1回回顾顾1、分离变量方法的应用、分离变量方法的应用稳定热传导问题稳定热传导问题2、有界弦的纯受迫振动问题、有界弦的纯受迫振动问题3、非零初始条件的处理、非零初始条件的处理4、非齐次边界条件问题、非齐次边界条件问题2非齐次边界条件的处理：022000,.0.,0,;0,.xx lttxxttxxxx lttttwg twh tva vwa wvvvxw xvxu x tv x tw x th tg tw x txg tlwx3 思考题思考题 非齐次泛定方程在非齐次边界条件和非零初始条件下的定解问题应该如何求解？4三维形式的直角坐标分离变量三维形式的直角坐标分离变量以三维空间三维空间中的热传导问
2、题为例，考虑齐次泛定方程：2222222uuuuatxyz考虑如下形式的解：,u x y z tV x y z T t代入方程可得：2,TtV x y za T tV x y z52()()00T ta T tVV这样得到如下两个微分方程：第二个微分方程可以进一步分离变量，令：VX x Y y Z z代入方程中整理可得：0XYZXYZ6000XXYYZZ分析易得：时间部分的解为：2a tT tCe 空间部分（满足边界条件要求）的解通常为正弦函数和余弦函数的组合。因此，三维热传导问题的完整解为：2,(,)()()()a tl m nlmnl m nu x y z tCeXx Yy Zz72300
3、00,(0,0,0,0)000(,)txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z例例8.5 8.5 求解下列定解问题：求解下列定解问题：8求解本征值问题可得：221222222232,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)llmmnnllXAx laammYBy mbbnnZCz ncc 1239相应地，2222123222lmnabc 这时，有：,sinsinsinlmnlmnl xm yn zVx y zCabc同时可求出 T：2222220222expk tlmnlmnTT eTktabc构造特解并叠加得到：222222
4、22,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc10代入初始条件可得：,1,0sinsinsin,lmnl m nl xm yn zu x y zCx y zabc故定解问题：230000,(0,0,0,0)000(,)txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z的解为：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc11 在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。一般而言，能否应用分离能否应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，
5、变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念。12例例 8.58.5 求解如下定解问题：22222222200,(0)0,xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）13正交曲线坐标系正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面定义的坐标系称为正交曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为：123123123,xx q q qyy q q qzz q q q22arctanxyyxzz例：柱坐标系cossinxyzz112233,qqx y z
6、qqx y zqqx y z1422222arctanarctanrxyzxyzyxsincossinsincosxryrzr球坐标系 其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标、椭球坐标等。0,0,02r 15正交曲线坐标系中的正交曲线坐标系中的Laplace算符算符16 一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace方程如何进行变量分离。方程如何进行变量分离。17柱坐标系的情况柱坐标系的情况181920球坐标系的情况球坐标系的情况2222222111sinsinsinuuuurrrrrr2122例例 8.58.5 求解如下定解问题：22222222200,(0)0,xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）23
