1、5 5 三角形内角和定理三角形内角和定理学习目标学习目标?1、自主说出外角的定义，并能用外角解决实际问题；?2、探索并证明外角的两个定理推论，并能运用它们解决相关问题，发展学生的演绎推理能力；?3、会添加适当的辅助线解决实际问题.内角三兄弟之争内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于180
2、180.你还记得这个结论的探索过程你还记得这个结论的探索过程吗吗?112ABD23C(1)(1)如图如图,当时我们是把当时我们是把A移到移到了了1 1的位置的位置,B移到了移到了2 2的位的位置置.如果不实际移动如果不实际移动 A和和B,那么你还有其它方法可以达到同那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗样的效果吗?(2)(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流与同伴交流.三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形三个内角
3、的和等于 180180.已知:如图,ABC.求证:A+B+C=180.证明:作BC的延长线CD,过点C作CEAB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?1=A(两直线平行,内错角相等),2=B(两直线平行,同位角相等).又1+2+3=180(平角的定义),A+B+ACB=180(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQBC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的
4、想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQBC,则ABC1=B(两直线平行,内错角相等),2=C(两直线平行,内错角相等),又1+2+3=1800(平角的定义),BAC+B+C=1800(等量代换).PQ231根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM试一试三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180.ABC中,A+B+C=180.A+B+C=180的几种变形:?A=180(B+C).?B=180(A+C).?C=180(A+B).?A+B=180 C.?B+C=1
5、80 A.?A+C=180 B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC观察下面一组图形中1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:1.1的顶点在三角形的一个顶点上;2.1的一条边是三角形的一条边;3.1的另一条边是三角形的某条边的延长线.想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角.ABDEFC外角ABDEFC外角987654321BCA归纳归
6、纳：1、每一个三角形都有个外角;2、每一个顶点相对应的外角都有个;4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.3、这6个外角中有3个外角相等.探究探究:你能用推理的方法来论证ACD=B+A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！DABCDACD+ACB=180又A+B+ACB=180A+B=ACD解：ABCACD=180 ACBA+B=180 ACB（邻补角的定义）（三角形内角和180 ）方法一:1（作CE/BA）由平行线的性质把两个内角转换可得AE方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下.CBD三角形的一个外角等
7、于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACBACD=A+BACDAACD B结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?三角形外角的性质：三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角不相邻的两个内角的和.B+C=CAD性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.CAD B，CAD CABCD证明：EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)B=C(已知)B=EAC(等式性质)ACDBE例1 已知:如图在ABC中,AD平分外角EAC,B=C.求证：ADBC.21 AD平分EAC(已知)D
8、AE=EAC(角平分线的定义)21DAE=B(等量代换)ADBC(同位角相等,两直线平行)这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实.例例2 2 已知：如图已知：如图,在在ABC中中,1,1是它的一是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证求证:1 2.:1 2.证明：1是ABC 的一个外角(已知)1 3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)3是CDE 的一个外角(外角定义)3 2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)1 2(不等式的性质)CABF1345ED2跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角
9、形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定C2.如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于()A.120B.115C.110D.105FEDCBAB3.如图，把ACB沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，DAE与1,2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（）A.A=1+2 B.2A=1+2C.3A=21+2 D.3A=2（1+2）BDAACE12B 4.如图所示,1=_.140 80 1120 5.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_ _.30或756.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_.DCBA1207.已知：如图，在ABC中，外角DCA=1
10、00,A=45.求：B和ACB的大小.ABCD解:DCA是ABC的一个外角(已知),B=DCA-A=100-45=55又 DCA+BCA=180(平角=180).ACB=80(等式的性质).10045(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:A+B+C+D+E的度数.解:1是 BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.1=B+D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又A+1+2=180(三角形内角和定理).又
11、2是EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E=180(等式性质).拔尖自助餐拔尖自助餐1.(1)如图(甲)，在五角星图形中，求 A+B+C+D+E 的度数.(2)把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)相等，也可凑到一个三角形中.当堂检测当堂检测ABC 中,若A B C,则ABC 是（）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰 一个三角形至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角BB证明：1+4=1802+5=1803+6=180 1+2+3+4+5+6=31
12、80=540又又 4+5+6=180(三角形内角和定理三角形内角和定理)1+2+3=540-180=3603.3.已知：已知：1 1，2 2，3 3是是ABC 的三个外角的三个外角求证：求证：1+2+3=3601+2+3=360.CAB3126454.在ABC中,A=80,B=C,求C的度数.解：在ABC中,A+B+C=180，A=80B+C=100B=CB=C=50ABC5.已知三角形三个内角的度数之比为 1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x,3x,5x.列出方程x+3x+5x=180 x=20答：三个内角度数分别为 20,60,100.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180.ABC中,A+B+C=180.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.小小结结
