1、第一章第一章 集合集合 1.4 集合的运算集合的运算1.1 集合的含义与常用的数集集合的含义与常用的数集 1.2 集合的表示方法集合的表示方法1.3 集合之间的关系集合之间的关系1.5 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集 根据下面的例子向同学们介绍你原来就读的根据下面的例子向同学们介绍你原来就读的学校，你的兴趣、爱好及现在班级同学的情学校，你的兴趣、爱好及现在班级同学的情况。况。l“我就读于第二十中学我就读于第二十中学”l“我喜欢打篮球、画画我喜欢打篮球、画画”l“我现在的班级是高一（我现在的班级是高一（1）班，全班共）班，全班共40人，其中男
2、生人，其中男生23人，女生人，女生17人。人。”1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集1.集合与元素集合与元素 一般地，某些指定的对象集中在一起就一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个成为一个集合集合，也简称集，通常用大写字，也简称集，通常用大写字母母A、B、C表示表示.把具有某种属性的一些把具有某种属性的一些确定的对象叫做集合中的元素，通常用小确定的对象叫做集合中的元素，通常用小写字母写字母a、b、c表示；表示；BAab1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集2.集合和元素的关系集合和元素的关系 如果如果a是集合是集合A的元素，记作的元素，记作aA，读作，读作a属属于于
3、A；如果如果b不是集合不是集合B的元素，记作的元素，记作b B，读作，读作b不属于不属于B；AaBb 1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集l例：例：l“中国古代的四大发明中国古代的四大发明”构成一个集合，构成一个集合，该集合的元素就是指南针、造纸术、活字该集合的元素就是指南针、造纸术、活字印刷术、火药。印刷术、火药。“math”中的字母构成一个集合，该集合中的字母构成一个集合，该集合的元素就是的元素就是m,a,t,h这这4个字母。个字母。“小于小于5的正整数的正整数”构成一个集合，该集合构成一个集合，该集合的元素就是的元素就是1，2，3，4这这4个数。个数。1.1 集合的含义和常用
4、数集集合的含义和常用数集（1）确定性：集合中元素必须是确定的，不确定）确定性：集合中元素必须是确定的，不确定的对象不能构成集合，如：的对象不能构成集合，如：“高三（高三（1）班个子）班个子较高的同学较高的同学”就不能构成集合。就不能构成集合。（2）互异性：集合中任何两个元素都是不同的）互异性：集合中任何两个元素都是不同的 对对 象，如：象，如：“boss”中的字母构成集合中只有中的字母构成集合中只有b，o，s这这3个，而不能写出两个个，而不能写出两个s。（3）无序性：同一集合中的元素之间无顺序。）无序性：同一集合中的元素之间无顺序。1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集4.常用的数集
5、常用的数集l一般地，我们约定用一些大写英文字母，一般地，我们约定用一些大写英文字母，表示常用的一些数的集合（简称数集）。表示常用的一些数的集合（简称数集）。l自然数集，记作自然数集，记作N；正整数集，记作；正整数集，记作N+或或N*；整数集，记作；整数集，记作Z；有理数集，记作；有理数集，记作Q；实数集，记作实数集，记作R。1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集l练习一练习一判断下列语句能否确定一个集合判断下列语句能否确定一个集合（1）小于）小于8的自然数；的自然数；（2）本班个子高的同学；）本班个子高的同学；（3）参加）参加2008年奥运会的中国代表团成员年奥运会的中国代表团成员（
6、4）与）与1接近的实数的全体接近的实数的全体（5）中国足球男队的队员）中国足球男队的队员 1.1 集合的含义和常用数集集合的含义和常用数集l练习二练习二判断下面关系是否正确判断下面关系是否正确（1）0 Z （2）1/2Q（3）0 N+（4）-8 Z1.1 复习复习1、集合的含义、集合的含义 一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个一个集合集合。2、集合中元素的特征（、集合中元素的特征（1）确定性（）确定性（2）互异）互异性（性（3）无序性）无序性3、常用数集、常用数集 自然数集自然数集N，正整数集，正整数集N+或或N*，整数集，整数集Z，有，有理数集理数
7、集Q，实数集，实数集R.1.2 集合的表示方法集合的表示方法1.集合的几种表示方法集合的几种表示方法（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于并置于“”内，如内，如1，2，3，4。用这种方法。用这种方法表示集合，元素之间需用逗号分隔，列举时与表示集合，元素之间需用逗号分隔，列举时与元素顺序无关。元素顺序无关。（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质）描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成表示出来，写成x|P（x）的形式（其中的形式（其中x为集为集合中的代表元素，合中的代表元素，P（x）为元素）为元素x具有的性质。具有的性质。如如x|x1，x
8、R1.2 集合的表示方法集合的表示方法l例例2：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合（1）x|x是大于是大于2小于小于12的偶数的偶数（2）x|x2=4解解：（：（1）4，6，8，10 （2）2，-21.2 集合的表示方法集合的表示方法l例例3：用描述法表示下列集合：用描述法表示下列集合（1）昆明市）昆明市（2）不小于）不小于2的全体实数的集合的全体实数的集合解：解：（1）x|x是中华人民共和国云南省省会是中华人民共和国云南省省会；（2）x|x2，xR;1.2 复习复习集合共有三种集合共有三种表示方法表示方法（1）列举法）列举法（2）描述法）描述法（3）图示法（文恩图法）图示法（文恩图法
9、）1.3 集合之间的关系集合之间的关系l1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集l1.3.2 集合的相等集合的相等1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集观察观察A，B集合之间有怎样的关系？集合之间有怎样的关系？（1）A=-1，1，B=-1，0，1，2；（2）A=N，B=R；（3）A=x|x为云南人为云南人，B=x|x为中国人为中国人。很容易由上面几个例子看出集合很容易由上面几个例子看出集合A中的任何一个中的任何一个元素都是集合元素都是集合B的元素，集合的元素，集合A，B的关系可以用的关系可以用子集的概念来表述。子集的概念来表述。1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集
10、1.子集子集 对于两个集合对于两个集合A与与B，如果集合，如果集合A的任何一的任何一个元素都是集合个元素都是集合B的元素，那么集合的元素，那么集合A叫集叫集合合B的的子集子集，记作：，记作：A B（或（或 B A），），读作读作A包含于包含于B（或（或B包含包含A）。）。BA如果集合如果集合A不是集合不是集合B的子集，记作：的子集，记作：A B，读作：，读作：A不包含于不包含于B。1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集l2.空集空集 我们把不包含任何元素的集合叫我们把不包含任何元素的集合叫空集空集，记，记作：作：我们规定：空集是任何一个集合的子集，我们规定：空集是任何一个集合的子集，
11、即即 A1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集3.真子集真子集 对于两个集合对于两个集合A、B，如果，如果A包含于包含于B，且，且B中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于A，则称集合，则称集合A是集合是集合B的的真子集真子集，记作：，记作：A B（或（或B A），读作：），读作：A真包含于真包含于B（或（或B真包含真包含A）。）。如：如：A=a，b B=a，b，c 1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集l由子集和真子集的定义可知：由子集和真子集的定义可知：对于集合对于集合A，B，C，若，若A B，B C，则，则 A C 对于对于A，B，C，若，若A B，B C，则，则
12、 A C1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集l例例1：说出集合说出集合A=a，b的所有子集与真子集。的所有子集与真子集。解：集合解：集合A的所有子集是：的所有子集是：，a，b，a，b 上述集合除了上述集合除了a，b，剩下的都是，剩下的都是A的真的真 子集。子集。1.3.1 子集，空集，真子集子集，空集，真子集l例例2：说出下列各组的三个集合中，哪两个集合说出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间有包含关系？之间有包含关系？（1）S=-2，-1，0，1，2，A=-1，1 B=-2，2；（2）S=R，A=x|x0，xR。解：在（解：在（1）与（）与（2）中，都有）中，都有A S，B S1
13、.3.1 复习复习1、子集、子集 对于两个集合对于两个集合A与与B，如果集合，如果集合A的任何一个元素的任何一个元素都是集合都是集合B的元素，那么集合的元素，那么集合A叫集合叫集合B的的子集子集，记作：记作：A B（或（或 B A），读作），读作A包含于包含于B（或（或B包含包含A）。）。2、空集、空集 我们把不包含任何元素的集合叫我们把不包含任何元素的集合叫空集空集，记作：，记作：3、真子集、真子集 对于两个集合对于两个集合A、B，如果，如果A包含于包含于B，且，且B中至中至少有一个元素不属于少有一个元素不属于A，则称集合，则称集合A是集合是集合B的的真真子集子集，记作：，记作：A B（或（
14、或B A），读作：），读作：A真包真包含于含于B（或（或B真包含真包含A）。）。1.3.2 集合的相等集合的相等 对于两个集合对于两个集合A与与B，如果，如果A B，且且B A，则称集合，则称集合A与与B相等相等，记作，记作A=Bl例如：例如：A=x|x2=4，B=2，-2 A和和B就是两个相等的集合。就是两个相等的集合。1.3.2 集合的相等集合的相等l例例1：说出下面两个集合的关系：说出下面两个集合的关系 （1）A=1，3，5，7，B=3，7；（2）C=x|x2=1，D=-1，1；（3）E=偶数偶数，F=整数整数。解：（解：（1）B A （2）C =D （3）E F 1.4 集合的运算集合
15、的运算l1.4.1 交集交集l1.4.2 并集并集l1.4.3 补集补集 1.4.1 交集交集1、观察下列两组集合并用图示法表示出来观察下列两组集合并用图示法表示出来（1）A=x|x为会打篮球的同学为会打篮球的同学，B=x|x为为会打排球的同学会打排球的同学，C=x|x为既会打篮球又为既会打篮球又会打排球的同学会打排球的同学；（2）A=-2，-1，0，1，2，B=-2，-1，3 C=-1，-2。观察上述组合观察上述组合A,B,C都有怎样的关系？都有怎样的关系？1.4.1 交集交集l很容易看出集合很容易看出集合C中的元素既在集合中的元素既在集合A中，中，又在集合又在集合B中。中。ABC 1.4.
16、1 交集交集2、交集的概念、交集的概念 一般的，由所有属于集合一般的，由所有属于集合A又属于集合又属于集合B的的元素所组成的集合，叫做集合元素所组成的集合，叫做集合A与集合与集合B的的交集交集，记作，记作AB，读作，读作“A交交B”。ABAB1.4.1 交集交集ABABAB=相交相交不相交不相交BAAB=A AA=A AB=BA A =1.4.1 交集交集3、交集的性质、交集的性质对于任意两个集合都有对于任意两个集合都有（1）AB=BA（2）AA=A（3）A =A=（4）如果）如果A B，则，则AB=A 1.4.1 交集交集例例1：已知：已知A=1，2，3，4,B=3，4，5,求求AB。解：解
17、：AB=1，2，3，4 3，4，5=3，41，253，4 1.4.1 交集交集练习练习1、已知、已知A=1，3，4，B=3，4，5，6，求，求 AB。解：解：AB=1，3，43，4，5，6=3，41.4.1 交集交集练习练习4 已知已知A=a，b，c，d，B=b，d，m，n，求求AB。解：解：AB=a，b，c，d b，d，m，n=b，d1.4.2 并集并集 观察下列集合观察下列集合A，B，C有怎样的关系？有怎样的关系？A=2，4，6，B=4，8，12，C=2，4，6，8，12 容易看出来，集合容易看出来，集合C中的元素是由集合中的元素是由集合A和和集合集合B中的元素合并在一起构成的中的元素合并
18、在一起构成的1.4.2 并集并集l定义：定义：一般的，对于两个给定集合一般的，对于两个给定集合A，B，把它们，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与与B的并集，记作的并集，记作AB，读作，读作“A并并B”。ABAB1.4.2 并集并集l对于任何两个集合都有对于任何两个集合都有 （1）AB=BA；（2）AA=A；（3）A =A=A。若若A B，则，则AB=B；若；若A B，则，则AB=A1.4.2 并集并集l例例1：已知：已知：A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，求，求AB。解：解：AB=1，2，3，4 3，4，5，6，7 =1，2，3，4，5
19、，6，71.4.2 并集并集l例例2：已知已知N=自然数自然数，Z=整数整数，求，求NZ。解：解：NZ=自然数自然数 整数整数=整数整数1.4.3 补集补集 观察下列各组中的三个集合，它们之间有观察下列各组中的三个集合，它们之间有什么关系？什么关系？（1）S=-2，-1，1，2，A=-1，1，B=-2，2；（2）S=R，A=x|x0，xR，B=x|x0，xR。1.4.3 补集补集l设有两个集合设有两个集合A，S，由，由S中不属于中不属于A的所有的所有元素组成的集合，成为元素组成的集合，成为S的子集的子集A的补集，的补集，记作记作CsA（读作（读作“A在在S中的补集中的补集”）即）即 CsA=x
20、|xS且且x A。如图：深色部分为。如图：深色部分为A在在S中的补集。中的补集。AS1.4.3 补集补集l如果集合如果集合S中包含我们所要研究的各个集合，中包含我们所要研究的各个集合，这时这时S可以看做一个全集，通常记作可以看做一个全集，通常记作U。例。例如，在研究实数时，常把实数集如，在研究实数时，常把实数集R作为全集。作为全集。由补集的定义可知，对于任意集合由补集的定义可知，对于任意集合A，有：，有：l A CuA=Ul A CuA=l Cu(CuA)=A1.4.3 补集补集l例例1 已知已知U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，5，求，求CuA，A CuA，A CuA。解：解：CuA=
21、3，4，6，A CuA=，A CuA=U。1.4.3 补集补集l例例2 已知已知U=实数实数，Q=有理数有理数，求，求CuQ。解：解：CuQ=无理数无理数。1.4.3 补集补集l例例3 已知已知U=R，A=x|x5，是，是x3的既不充分也不必要条的既不充分也不必要条件。件。1.5 充分条件与必要条件充分条件与必要条件A B A是是B的的什么条件什么条件 B是是A的的什么条件什么条件 y是有理数是有理数 y是实数是实数 X5 X3 m、n是奇数是奇数 m+n是偶数是偶数 ab ab xA且且xB xA B ab0 a0(x+1)(y-2)=0 x=-1且且y=2 1.5 充分条件与必要条件充分条
22、件与必要条件A B A是是B的的什么条件什么条件 B是是A的的什么条件什么条件 y是有理数是有理数 y是实数是实数 充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分X5 X3 必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要m、n是奇数是奇数 m+n是偶数是偶数 充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分ab ab 不充分不必要不充分不必要 不必要不充分不必要不充分xA且且xB xA B 充要充要充要充要ab0 a0 充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分(x+1)(y-2)=0 x=-1且且y=2 必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要1.5 充分条件与必要条件充分条件与必要条件l例例1：已知已知A是是B的充分条件，的充分条件，C是是D的必要条件，的必要条件，A是是C的充要条件，求的充要条件，求B与与D的关系。的关系。解：根据已知条件可知，解：根据已知条件可知，A B，D C，A C D C A B 所以所以D B 即即D是是B的充分条件，的充分条件，B是是D的必要条件的必要条件。
