1、第第 3 章章 数字滤波器数字滤波器3.1 数字滤波器概述数字滤波器概述3.2 数字滤波器分析数字滤波器分析3.3 数字滤波器设计数字滤波器设计1第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.1 数字滤波器概述数字滤波器概述 数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。数字滤波器是一个数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时用有限精度算法实现的线性时不变离散系统不变离散系统，它实质就是一个运算过程，可以实现，它实质就是一个运算过程，可以实现各种变换和处理。它将输入的数
2、字信号各种变换和处理。它将输入的数字信号(序列序列)通过特通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线任何一个线性时不变系统都可以看作是数字滤波器性时不变系统都可以看作是数字滤波器。2第第3章章 数字滤波器数字滤波器 传统数字滤波器传统数字滤波器 应用：对模拟滤波器的功能进行模拟。应用：对模拟滤波器的功能进行模拟。功能：功能：频率选择频率选择。可用频域特性表示：可用频域特性表示：Y(ej)=H(ej)X(ej)只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择适当选择 H(ej)，使滤波后的结果，使滤波后
3、的结果 H(ej)X(ej)符合人符合人们的要求，即达到了滤波的目的。这就是传统数字滤们的要求，即达到了滤波的目的。这就是传统数字滤波器的基本滤波原理，又称传统滤波思想。波器的基本滤波原理，又称传统滤波思想。H(ej)X(ej)Y(ej)3第第3章章 数字滤波器数字滤波器 现代数字滤波器现代数字滤波器 数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器时，既可以在频域中进行时，既可以在频域中进行(如频率选择如频率选择)，也可以在，也可以在时域中进行。这使得许多非频域滤波算法产生
4、，将时域中进行。这使得许多非频域滤波算法产生，将滤波的概念从狭义的滤波的概念从狭义的频率选择与处理频率选择与处理功能扩展为功能扩展为任任何可实现的变换与处理何可实现的变换与处理，也因此产生了现代数字滤，也因此产生了现代数字滤波器。波器。4第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.1.1 数字滤波器分类数字滤波器分类 1.按频率响应幅度特性分类按频率响应幅度特性分类 按传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波按传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波器一样，根据其频率响应振幅的通带特性，分为器一样，根据其频率响应振幅的通带特性，分为低低通、高通、带通、带阻通、高通、带通、带阻4种类型。种类型。()()()
5、jjjH eH ee5第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性0低通0高通0带通0带阻6第第3章章 数字滤波器数字滤波器 显然，数字滤波器的频带限于显然，数字滤波器的频带限于|（即（即|f|1/(2T)）的范围，幅频特性从通带到止带的范围，幅频特性从通带到止带(阻带阻带)的交界点是其重要的交界点是其重要参数。参数。由于各种因素及误差的存在，实际的滤波器特性不由于各种因素及误差的存在，实际的滤波器特性不可能达到理想化的要求，具有误差容限。可能达到理想化的要求，具有误差容限。通带：通带：0p 阻带：阻带：s
6、过渡带：过渡带：p极点数目极点数目时，递推时，递推公式中必然出现输入的超前时刻值，从而导致实时不公式中必然出现输入的超前时刻值，从而导致实时不可实现性。可实现性。35第第3章章 数字滤波器数字滤波器(3)h(n)的求解可利用的求解可利用4种方法实现：种方法实现：a.对对H(z)求求Z反变换得反变换得h(n)；b.将将H(z)展开成展开成z-1多项式，利用多项式，利用Z变换定义，变换定义，(z-1)i项项系数即为系数即为h(i)；c.利用冲激响应利用冲激响应h(n)的概念，即令的概念，即令x(n)=(n)，利用递，利用递推公式求出推公式求出y(n)，则，则h(n)=y(n)；d.递推公式与卷积递
7、推公式与卷积y(n)=h(n)*x(n)均是对滤波器输入均是对滤波器输入输出关系的描述，用非递归递推公式与卷积表示式做输出关系的描述，用非递归递推公式与卷积表示式做比较确定出比较确定出h(n)。若求解出若求解出h(n)，滤波器的输出就可以用卷积实现，滤波器的输出就可以用卷积实现(用用FFT实现快速卷积实现快速卷积)，这是滤波器实现的一种途径。，这是滤波器实现的一种途径。36第第3章章 数字滤波器数字滤波器 y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(-1)x(n+1)+h(0)x(n)由于由于h(n)中含有中含有n0的序列值，所以该系统的序列值，所以该系统(滤波器滤波器)是是非因
8、果的，同样也说明其具有不可实现性。非因果的，同样也说明其具有不可实现性。增加增加(零点数零点数-极点数极点数)个原点上的极点，可将系统个原点上的极点，可将系统的的不可实现转化为可实现不可实现转化为可实现，且保持系统的幅频特性不，且保持系统的幅频特性不变，即变，即 其它，00 -1n 1)(nh)1()()(11)(1nxnxnyzzzzH37第第3章章 数字滤波器数字滤波器(4)软件可按递推公式实现，硬件可按结构图实现。软件可按递推公式实现，硬件可按结构图实现。Z-1y(n)x(n-1)x(n)x(n)x(n-1)y(n)z-138第第3章章 数字滤波器数字滤波器例例2：将例：将例1系统函数改
9、为系统函数改为解：解：(1)该滤波器为高通滤波器。该滤波器为高通滤波器。有有z=1处的零点，使高通性能得到改善处的零点，使高通性能得到改善(利用零、极点作用利用零、极点作用)。zzzH1)(略小于略小于1)图图2(a)Z平面零、极点结构图平面零、极点结构图2)(jeH2/(1-)图图2(b)幅频特性曲线幅频特性曲线39第第3章章 数字滤波器数字滤波器(2)为递归滤波器。递归实现有为递归滤波器。递归实现有累计误差累计误差。(3)将将H(z)展开为展开为z-1多项式，即多项式，即 为为IIR滤波器。滤波器。)1()()1()(1)()()(nxnxnynyzzzXzYzH0 01 )1()1(0
10、1)()1()1()1(1 )(1(1)1()(13221433221nnnnhzzzzzzzzzzzHnn40第第3章章 数字滤波器数字滤波器 也可将该也可将该递归滤波器转化为非递归形式递归滤波器转化为非递归形式，即，即 用非递归结构实现该滤波器时，必然出现截断误差，用非递归结构实现该滤波器时，必然出现截断误差，且所需要的存储量与计算量远大于递归型滤波器。且所需要的存储量与计算量远大于递归型滤波器。用用Z平面中非原点上的极点平面中非原点上的极点等效等效非递归结构中的诸多非递归结构中的诸多零点，使零点，使非递归滤波器可以转化为递归形式非递归滤波器可以转化为递归形式。(4)3()1()2()1(
11、)1()1()()(2nxnxnxnxny11111)(zzzzzHZ-1y(n)x(n-1)x(n)Z-1-1-x(n)y(n)z-1-1-41第第3章章 数字滤波器数字滤波器例例3：写出有：写出有10个等冲激响应系数的滑动平均滤波器的非递个等冲激响应系数的滑动平均滤波器的非递归与递归递推公式，并且归与递归递推公式，并且(1)画出它的阶跃响应，确定滤波器输出的过渡过程时间画出它的阶跃响应，确定滤波器输出的过渡过程时间(启启动瞬变宽度动瞬变宽度)；(2)画出它在画出它在 0f0)，则阶跃响应为，则阶跃响应为1)10()11(1)0()10(101)9()10(1)1()9(101)8()9(1
12、03)8()2(101)1()2(102)9()1(101)0()1(101)10()0(101)1()0(yyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyyx(n)n11 2 3 4y(n)n1/101 2 9144第第3章章 数字滤波器数字滤波器(2)平滑滤波器实质为低通滤波器平滑滤波器实质为低通滤波器，属于，属于FIR，可以用递，可以用递归型结构实现，也可以用非递归滤波器实现。归型结构实现，也可以用非递归滤波器实现。(a)零、零、极点分布图极点分布图 (b)幅频特性曲线幅频特性曲线ImzRez(a)0H(e j)05100.10.20.50.30.4(b)2 /10/245第第3章章 数字滤波
13、器数字滤波器例例4：系统函数为：系统函数为 式中式中r=0.990，0=100(弧度弧度/s)，T是采样间隔。是采样间隔。对频率分布于对频率分布于-400400(弧度弧度/s)范围内的信号以范围内的信号以500(样本样本/秒秒)采样后，用该滤波器对信号进行滤波，试求：采样后，用该滤波器对信号进行滤波，试求：(1)零、极点结构图及零、极点结构图及0/T范围内的幅频特性曲线；范围内的幅频特性曲线；(2)滤波器作用；滤波器作用；(3)包含一个复共轭极点对有什么好处？包含一个复共轭极点对有什么好处？(4)递推公式。递推公式。)()()(0000TjTjTjTjrezrezezezzH46第第3章章 数
14、字滤波器数字滤波器ImzRez(a)/5解解：(1)T=1/500(s)=2ms 0T=100/500=/5(弧度弧度)()=047第第3章章 数字滤波器数字滤波器(2)该滤波器称为该滤波器称为陷波器陷波器，它可以对某个特定频率分量进行，它可以对某个特定频率分量进行滤除。本系统滤除的频率分量为滤除。本系统滤除的频率分量为50Hz为电源干扰为电源干扰(工频干扰工频干扰)，所以该滤波器可以滤除电源，所以该滤波器可以滤除电源干扰。干扰。(3)极点作用：改善性能。极点作用：改善性能。(4)为递归结构。为递归结构。)(502100200Hzf)2()1()(cos2)()2()1()(cos2)()(c
15、os21)(cos2)(02020202nxnxTnxnyrnyTrnyrzTrzzTzzH100/T)(TjeH无极点情况无极点情况48第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3 数字滤波器设计数字滤波器设计 传统数字滤波器的设计依据是传统数字滤波器的设计依据是频率响应频率响应。从频率域。从频率域设计一个数字滤波器的一般方法是：设计一个数字滤波器的一般方法是：(1)在在Z平面内根据滤波器性能指标适当地选择一平面内根据滤波器性能指标适当地选择一组零、极点，构成组零、极点，构成H(z)；(2)根据根据H(z)确定其频率响应特性确定其频率响应特性H(ej)，分析，分析H(ej)与设计目标与设计目标Hd
16、(ej)的逼近程度；的逼近程度；(3)若若H(ej)与与Hd(ej)的误差在容限范围内，则的误差在容限范围内，则H(z)即为所设计系统，否则调整零、极点数目及位置，重即为所设计系统，否则调整零、极点数目及位置，重复上述操作。复上述操作。49第第3章章 数字滤波器数字滤波器 显然，在此设计中有效地选择一组零、极点十分显然，在此设计中有效地选择一组零、极点十分重要，它可以使我们尽快获得所需滤波器。但这项工重要，它可以使我们尽快获得所需滤波器。但这项工作的完成却较为困难，它需要许多先验知识或经验，作的完成却较为困难，它需要许多先验知识或经验，才能使我们做到有的放矢。才能使我们做到有的放矢。为了有效地
17、设计滤波器，已研究出针对为了有效地设计滤波器，已研究出针对IIR或或FIR滤波器的设计方法。滤波器的设计方法。3.3.1 IIR 滤波器设计滤波器设计3.3.2 FIR 滤波器设计滤波器设计3.3.3 最佳滤波器设计最佳滤波器设计50第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3.1 IIR 滤波器设计滤波器设计 设计设计IIR滤波器最常用的方法是将满足设计指标要求滤波器最常用的方法是将满足设计指标要求的的模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化。这样做有以下原因：。这样做有以下原因：(1)模拟滤波器设计技巧成熟，有用的成果多，有些模拟滤波器设计技巧成熟，有用的成果多，有些方法有较简单的现成设计公式，因此，容
18、易利用模拟滤方法有较简单的现成设计公式，因此，容易利用模拟滤波器研究出数字滤波器的设计方法，且容易获得简单的波器研究出数字滤波器的设计方法，且容易获得简单的实现方法；实现方法；(2)许多应用需要用数字滤波器模拟一个模拟滤波器。许多应用需要用数字滤波器模拟一个模拟滤波器。51第第3章章 数字滤波器数字滤波器 一些经典的模拟滤波器有：巴特沃斯一些经典的模拟滤波器有：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤滤波器、考尔波器、考尔(Cauer)滤波器、椭圆滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器等。滤波器等。在
19、模拟滤波器数字化过程中，从连续空间在模拟滤波器数字化过程中，从连续空间S平面映射平面映射到离散空间到离散空间Z平面，应满足平面，应满足2个性质：个性质：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的，即左半因果稳定的，即左半S平面的点平面的点(Res0)应映射到应映射到Z平面平面单位圆内单位圆内(|z|1)。如果所设计滤波器要求。如果所设计滤波器要求是最小相位的，则对于单位圆外的零点可以采用同样是最小相位的，则对于单位圆外的零点可以采用同样的方法重新确定零点位置。的方法重新确定零点位置。用新确定的零、极点再按上述方法重新设计，最用新确定的零
20、、极点再按上述方法重新设计，最终找出逼近设计目标的终找出逼近设计目标的H(z)。90第第3章章 数字滤波器数字滤波器 图图 6.6.2 例例 6.6.2 图图(a)要求的幅度特性要求的幅度特性 (b)k=1,2时的幅度特性时的幅度特性例例6.6.2 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图设计低通数字滤波器，其幅度特性如图6.6.2(a)所所示，截止频率示，截止频率s=0.1rad。91第第3章章 数字滤波器数字滤波器若使用的误差函数为若使用的误差函数为(6.6.12)则称为最小则称为最小p误差准则。使误差准则。使Ep最小，即可获得所需最小，即可获得所需H(z)。3.幅值平方函数设计法幅值平方函数设
21、计法 数字滤波器幅值平方函数表示为数字滤波器幅值平方函数表示为如果如果H(z)H(z-1)可以因式分解确定出零、极点，则可以因式分解确定出零、极点，则Z平面单平面单位圆内的极点及对称零点的一半即构成了位圆内的极点及对称零点的一半即构成了H(z)。由于因式分解并非总是可行，因此这种方法受到很大由于因式分解并非总是可行，因此这种方法受到很大限制。限制。1()()()iiiNpjjjPdiEW eH eHe|)pjezjzHzHeH)()()(1292第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3.2 FIR 滤波器设计滤波器设计 IIR数字滤波器设计方法能够较好地保留模拟滤数字滤波器设计方法能够较好地保留
22、模拟滤波器的优良特性，因而得到广泛应用。但这一特性波器的优良特性，因而得到广泛应用。但这一特性的获得是以相位的非线性为代价的。的获得是以相位的非线性为代价的。在许多应用中，如数据传输等波形传递系统中在许多应用中，如数据传输等波形传递系统中所需的滤波器，既要求有满意的幅频特性，又要具所需的滤波器，既要求有满意的幅频特性，又要具有线性相位特性。有线性相位特性。FIR即具有此独特的优点，它在设即具有此独特的优点，它在设计出任意幅频特性的同时，可以保证精确、严格的计出任意幅频特性的同时，可以保证精确、严格的线性相位特性。线性相位特性。93第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3.2.1 FIR数字滤波器
23、的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性3.3.2.2 窗函数法窗函数法3.3.2.3 频率采样法频率采样法3.3.2.4 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较94第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3.2.1 FIR数字滤波器的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性 1.线性相位条件线性相位条件 FIR数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h(n)为实序列且有为实序列且有限长限长(0nN-1)，其频率响应为，其频率响应为(7.1.1)(7.1.2)10()()()()()Njj nnjjgH eh n eH eHe 95第第3章章 数字滤波器数字滤波器 如果如果h(n)满足
24、偶对称条件，即满足偶对称条件，即 h(n)=h(N-n-1)0nN-1 (7.1.5)则它具有严格线性相位特性则它具有严格线性相位特性(称为第一类线性相位滤波称为第一类线性相位滤波器器)，其相位特性为，其相位特性为 ()=-,为常数为常数 (7.1.3)=(N-1)/2 此时有此时有p=q=常数，其中常数，其中 相延迟相延迟 群延迟群延迟 群延迟是滤波器平均时延的度量，为频率函数。群延迟是滤波器平均时延的度量，为频率函数。ddqp)()(96第第3章章 数字滤波器数字滤波器 如果如果h(n)满足奇对称条件，即满足奇对称条件，即 h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)则它具有线性相位特性则它
25、具有线性相位特性(称为第二类线性相位滤波器称为第二类线性相位滤波器)，其相位特性为其相位特性为 ()=0-,0是初始相位是初始相位 (7.1.4)0=/2 =(N-1)/2 此时相位为分段线性函数，滤波器具有恒定群延迟。此时相位为分段线性函数，滤波器具有恒定群延迟。说明信号通过该滤波器不仅有说明信号通过该滤波器不仅有(N-1)/2个采样周期的群个采样周期的群延迟，而且有延迟，而且有/2的相移。的相移。97第第3章章 数字滤波器数字滤波器证明：证明：(1)第一类线性相位条件第一类线性相位条件1010()()()(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz将将(7.1.5)式代入上式得式代入
26、上式得令令m=N-n-1，则有，则有11(1)(1)00(1)1()()()()()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7)98第第3章章 数字滤波器数字滤波器按照上式可以将按照上式可以将H(z)表示为表示为1(1)1(1)01111()222011()()()()221()2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 将将z=e j代入上式，得到：代入上式，得到：11()20101()()cos()21()()cos()21()(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照按照(7.1.2)式，幅度函数式，幅度
27、函数Hg()和相位函数分别为和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)99第第3章章 数字滤波器数字滤波器(2)第二类线性相位条件第二类线性相位条件110011(1)(1)00(1)1()()(1)()()()()()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10)令令m=N-n-1,则有则有 同样可以表示为同样可以表示为1(1)1(1)01111222011()()()()221()2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz n-100第第3章章 数字滤波器数字滤波器1120112201(
28、)()()sin()21()sin()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，幅度函数和相位函数分别为因此，幅度函数和相位函数分别为101()()sin()21()()22NgnNHh nnNQ(7.1.11)(7.1.12)2.线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点 1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇数奇数 101()()cos()2NgnNHh nnHg()以以(N-1)/2为中心，且偶对称，故幅度函数表示为为中心，且偶对称，故幅度函数表示为101第第3章章 数字滤波器数字滤波器令令m=(N-1)/2-n,则有则有(7
29、.1.13)1(0)()211()2(),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14)式中式中 由于由于(7.1.13)式中式中cos(n)项对项对=0,2皆为偶对称，因此皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对幅度特性的特点是对=0,2偶对称偶对称。(3)/20(1)/20(1)/2011()()2()cos()2211()()2()cos22()()cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnmm=1102第第3章章 数字滤波器数字滤波器2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数偶数 Hg()中相等的项合并成中相等的项合并成N/2项，即项，即 101201()()c
30、os()212()cos()2NgnNnNHh nnNh nn令令m=N/2-n,则有则有(7.1.15)(7.1.16)/21/211()2()cos()221()()cos()2()2(),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhnn 幅度特性的特点是对幅度特性的特点是对=奇对称，且奇对称，且=处零点使处零点使Hg()=0。103第第3章章 数字滤波器数字滤波器3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数奇数 101()()sin()2NgnNHh nn 令令m=(N-1)/2-n，则有，则有(1)/21()()sin11()2(),1,2,22NgnHc nnNNc nh
31、n n(7.1.17)(7.1.18)幅度特性幅度特性Hg()在在=0,2处为零，即处为零，即z=1处是零处是零点，且点，且Hg()对对=0,2呈奇对称。呈奇对称。104第第3章章 数字滤波器数字滤波器4)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数偶数 令令m=N/2-n,则有则有/21/211()2()sin()221()()sin()2()2(),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19)(7.1.20)1120011()()sin()2()sin)22NNgnnNNHh nnh nn(幅度特性幅度特性Hg()在在=0,2处为零，即处为零，即z=1处是零
32、点，且处是零点，且Hg()对对=0,2呈奇对称，对呈奇对称，对=呈偶对称。呈偶对称。105第第3章章 数字滤波器数字滤波器106第第3章章 数字滤波器数字滤波器奇对称奇对称 h(n)=-h(N-n-1)107第第3章章 数字滤波器数字滤波器 3.线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和式和(7.1.10)式，综合起来表示为：式，综合起来表示为：(1)1()()NH zzH z(7.1.21)图图7.1.1 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布滤波器零点分布 零点必须是互零点必须
33、是互为倒数的共轭对，为倒数的共轭对，确定其一，另外确定其一，另外3(或或1)个随之确定。个随之确定。108第第3章章 数字滤波器数字滤波器4.线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构 设设N为偶数，则有为偶数，则有11120021122(1)00()()()()()()(1)()(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令令m=N-n-1,则有则有(7.1.22)如果如果N为奇数，则将中间项为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，单独列出，(7.1.23)12(1)0(1)121(1)20()()()()
34、(1)2NnNnnNNnNnnH zh nzzNH zh nzzhz 21N21N21N109第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.1.2 第一类线性相位网络结构第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数110第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.1.3 第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)
35、h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111111第第3章章 数字滤波器数字滤波器 结论：结论：FIR线性相位特性说明，只要将线性相位特性说明，只要将h(n)设计成有限长设计成有限长对称结构，则由对称结构，则由h(n)确定的滤波器必然具有线性相位确定的滤波器必然具有线性相位特性。特性。从设计角度来看，线性相位特性的最大好处就是从设计角度来看，线性相位特性的最大好处就是可以简化可以简化FIR滤波器的设计。因为此时滤波器对输入滤波器的设计。因为此时滤波器对输入信号的所有频率分量呈现相同的纯时间延迟信号的所有频率分量呈现相同的纯时间延迟(该延迟等该延迟等于相频特性的斜率，即时常数于相频
36、特性的斜率，即时常数)，所以设计该类滤波器，所以设计该类滤波器时只需逼近期望的幅频特性即可。时只需逼近期望的幅频特性即可。112第第3章章 数字滤波器数字滤波器 5.FIR滤波器特点滤波器特点 由于由于h(n)有限，有限，FIR滤波器系统函数和递推公式表示为滤波器系统函数和递推公式表示为 系统函数由系统函数由(N-1)个零点及个零点及(N-1)个原点上的极点构成，故滤个原点上的极点构成，故滤波器特性完全由零点确定。滤波器输出只取决于输入，故波器特性完全由零点确定。滤波器输出只取决于输入，故结构为横向、非递归结构。可利用结构为横向、非递归结构。可利用FFT通过快速卷积确定滤通过快速卷积确定滤波器
37、输出，有时也可用递归结构实现波器输出，有时也可用递归结构实现FIR滤波器滤波器(更经济更经济)。由于零点对系统稳定性没有影响，所以由于零点对系统稳定性没有影响，所以FIR滤波器总是滤波器总是稳定的；又由于稳定的；又由于h(n)全部定义在正时间轴上，所以全部定义在正时间轴上，所以FIR滤波滤波器也总是因果的。器也总是因果的。10010)()()()()()()(NiNnnnnNnninxihnyznhznhznhzH113第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.3.2.2 窗函数法窗函数法 1.设计设计思想思想 设计设计FIR滤波器最直接最简单的方法就是将无限时宽冲滤波器最直接最简单的方法就是将无限
38、时宽冲激响应截短得到有限长度冲激响应。激响应截短得到有限长度冲激响应。窗函数法的设计依据是滤波器的理想频率响应窗函数法的设计依据是滤波器的理想频率响应Hd(ej)，由此可确定出与其对应的单位脉冲响应由此可确定出与其对应的单位脉冲响应hd(n)，即，即 由于由于Hd(ej)一般为分段恒定，且在通带与阻带边界上一般为分段恒定，且在通带与阻带边界上有突跳点，故有突跳点，故hd(n)一般具有无限时宽。一般具有无限时宽。()()1()()2jjddnjjnddHehn ehnHeedn114第第3章章 数字滤波器数字滤波器 为了构造长度为为了构造长度为N的线性相位滤波器，用的线性相位滤波器，用RN(n)
39、(矩形窗序列矩形窗序列)截取截取hd(n)，得，得 h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)再使再使h(n)对对(N-1)/2对称，这样即获得了数字滤波器，对称，这样即获得了数字滤波器，其系统函数为其系统函数为H(z)这就是用窗函数法设计这就是用窗函数法设计FIR滤波器的滤波器的基本思想基本思想。10()()NnnH zh n z115第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗116第第3章章 数字滤波器数字滤波器2.窗函数的影响窗函数的影响研究结果表明，这种加窗处理方法会产生研究结果表明，这种加窗处理方法会产生Gibbs现
40、象现象(振荡振荡)。对对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得式中式中Hd(ej)和和RN(ej)分别是分别是hd(n)和和RN(n)的傅里叶变换，即的傅里叶变换，即RN()称为矩形窗的幅度函数。称为矩形窗的幅度函数。(7.2.5)(1()()()2jjjdNH eHeRed)(111(1)200sin(/2()()()sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe)sin(/21(),sin(/2)2NNNR)117第第3章章 数字滤波器数字滤波器将将Hd(ej)写成写成()()jj addHeHeHd()为理想数字滤
41、波器的幅度特性，将为理想数字滤波器的幅度特性，将Hd(ej)和和RN(ej)代入代入(7.2.4)式，得式，得()1()()()21()()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 将将H(ej)也写成也写成()()1()()()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)118第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.2.2 矩形窗对理想低通矩形窗对理想低通 幅度特性的影响幅度特性的影响 119第第3章章 数字滤波器数字滤波器 由上述分析可知，对由上述分析可知，对hd(n)加矩形窗后，加矩形窗后，H()和理和理想想Hd()有以下差别：有以下差别：(1)在理想特性不连续点在理想特性
42、不连续点=c附近形成过渡带。过附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N。(2)窗函数的旁瓣使通带内增加了波动，最大的峰窗函数的旁瓣使通带内增加了波动，最大的峰值在值在c-2/N处；阻带内产生了余振，最大的负峰在处；阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。波动幅度取决于旁瓣与主瓣相对幅度，波处。波动幅度取决于旁瓣与主瓣相对幅度，波动数目取决于旁瓣数目。动数目取决于旁瓣数目。(3)增加窗函数的长度增加窗函数的长度N，只能减少其主瓣宽度，只能减少其主瓣宽度，而不能改变旁瓣与主瓣幅度的相对值，该值主要取决而不能改变旁瓣与主瓣幅度的相对值，该值
43、主要取决于窗函数的形状。于窗函数的形状。120第第3章章 数字滤波器数字滤波器 为了使为了使H(ej)尽可能逼近尽可能逼近Hd(ej)，需要从窗函数的，需要从窗函数的长度、形状加以适当选择。窗函数选择的一般原则为：长度、形状加以适当选择。窗函数选择的一般原则为：(1)具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度；具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度；(2)旁瓣幅度下降速率要大，以利于增加阻带衰减；旁瓣幅度下降速率要大，以利于增加阻带衰减；(3)主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带。主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带。选择平滑窗函数可以降低旁瓣幅度，减轻吉布斯现选择平滑窗函数可以降低旁瓣幅度，减轻吉布斯现
44、象，但付出的代价是加宽了主瓣，从而加宽了滤波器的象，但付出的代价是加宽了主瓣，从而加宽了滤波器的过渡带。过渡带。121第第3章章 数字滤波器数字滤波器3.常用的窗函数常用的窗函数 设设 h(n)=hd(n)w(n)式中式中w(n)表示窗函数。下面介绍几种常用的窗函数。表示窗函数。下面介绍几种常用的窗函数。(1)矩形窗矩形窗(Rectangle Window)wR(n)=RN(n)其频率响应为其频率响应为 主瓣宽度主瓣宽度4/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低13dB。1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee122第第3章章 数字滤波器数字滤波器(2)三角形窗三角形
45、窗(Bartlett Window)(7.2.8)其频率响应为其频率响应为主瓣宽度主瓣宽度8/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低26dB。1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9)21,0(1)12()212,(1)112BrnnNNnnNnNNBrw123第第3章章 数字滤波器数字滤波器(3)汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗22()0.5()0.25()()HnRRRWWWWNN当当 时，时，N-1N，1N能量更集中于主瓣，代价为主瓣宽度能量更集中于主瓣，代价为主瓣宽度8/N。1211222()0.51cos()()1()()()
46、2()()0.5()0.25()12()()1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeNw124第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.2.3 汉宁窗的幅度特性汉宁窗的幅度特性125第第3章章 数字滤波器数字滤波器(4)哈明哈明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数其频域函数WHm(ej)为为22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函数其幅度函数WHm()为为当当
47、N1时，可近似表示为时，可近似表示为22()0.54()0.23()0.23()BlRRRnWWWNNW2()0.540.46cos()()1HmNnnRnNw 主瓣能量约占主瓣能量约占99.96%，宽度，宽度8/N，第一旁瓣幅度比主，第一旁瓣幅度比主瓣低瓣低40dB。126第第3章章 数字滤波器数字滤波器(5)布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗(7.2.13)其频域函数为其频域函数为其幅度函数为其幅度函数为(7.2.14)24()0.420.5cos0.08cos()11BlNnnnRnNNw22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNN
48、BlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe4422()0.42()0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN)12(NWR旁瓣进一步抵消，阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗的旁瓣进一步抵消，阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗的3倍。倍。127第第3章章 数字滤波器数字滤波器图图7.2.4 常用窗函数常用窗函数128第第3章章 数字滤波器数字滤波器 图图7.2.5 常用窗函数的幅度特性常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗 129第第3章
49、章 数字滤波器数字滤波器 图图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗130第第3章章 数字滤波器数字滤波器(6)凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)002201()(),01()21(1)11()1()!2kkkInnNInNxIxk式中式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一般一般I0(x)取取1525项。项。
50、控制窗形状，控制窗形状，加大，主瓣加宽，加大，主瓣加宽，旁瓣减小，典型值为旁瓣减小，典型值为49。当。当=5.44时，窗函数接近时，窗函数接近哈明窗；哈明窗；=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为的幅度函数为(1)/21()(0)2()cosNkkknWnn(7.2.16)131第第3章章 数字滤波器数字滤波器 表表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 132第第3章章 数字滤波器数字滤波器表表7.2.2 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 133第第3章章 数字滤波器数字滤波器 窗函数法设计窗函数法设计F
