1、一、平面曲线的切线与法线一、平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程设平面曲线的方程.0),(yxF)(xfy :切线方程切线方程)(000 xxxfyy :法线方程法线方程)()(1000 xxxfyy 而而,)(yxFFxf 所以所以:切线切线:法线法线0)(,()(,(000000 yyyxFxxyxFyx0)(,()(,(000000 yyyxFxxyxFxy设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()(tzztyytxxozyx二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M(1)
2、式中的三个函数均在式中的三个函数均在0tt 处可导处可导.0)()()(202020 tztytx且且考察考察割线割线趋近于趋近于极限位置极限位置切线切线的过程的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以,t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tztytxT 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的
3、平面.0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例1 1 求曲线求曲线:tuuduex0cos，tysin2 tcos,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，,2,1,0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez ,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()(zyyzxx,),(000处处在在zyxM,1)()(00000zzzyyyzxxx .0)()()(00000 zzy
4、yzyxxzx法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF,0),(),(0 MyxGF),(),(zyzx ),(),(0000zyzx 使得使得且且 dzdx,),(),(),(),(yxGFyzGF dzdy),(),(),(),(yxGFzxGF 切线方程为切线方程为,000000MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy,100000zzdzdyyydzdxx
5、xMM :即即例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1,2,1(处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1,0,1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0 zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(00
6、0tztytxT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(:tzztyytxx 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx(Tangent Plane)通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000
7、000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量(Normal vector)即即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量.(Normal Line)特殊地：特殊地：空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF
8、 令令 若若、表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的是锐角，则法向量的方向方向余弦余弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4,1,2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解,1),(22 yxyxf)4,1,2()4,1,2(1,2,2 yxn,1,2,4 切平面方程为切平面方程为
9、,0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0,2,1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解,32),(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx,042 yx.001221 zyx例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的
10、切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）四、小结四、小结作业作业习题集习题集 15.11;2；4；5;10;11;12.
