1、2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系13、线性系统的时域分析3.1 3.1 典型输入信号与时域性能指标典型输入信号与时域性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.4 3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.53.5 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系2本章学习要点 了解典型输入信号和时域性能指标了解典型输入信号和时域性能指标 掌握一阶系统的时域分析方法掌握一阶系
2、统的时域分析方法 掌握二阶系统的时域分析方法掌握二阶系统的时域分析方法 了解高阶系统的主导极点及其时域分了解高阶系统的主导极点及其时域分析方法析方法 掌握反馈系统的稳态误差及其误差补掌握反馈系统的稳态误差及其误差补偿的方法偿的方法2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系3引言-时域分析在控制理论中的地位和作用系统数学模型系统数学模型G(s)时间域时间域复数域复数域频率域频率域系统的系统的性能指标性能指标系统的校正、综合系统的校正、综合时域分析是三大分析方法之一，在时域中研究问题，时域分析是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的
3、响应形式。其特点：重点讨论过渡过程的响应形式。其特点：1).直观、精确。直观、精确。2).比较烦琐。比较烦琐。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系43.1 典型输入信号与时域性能指标1）系统的响应过程）系统的响应过程瞬态响应：瞬态响应：系统系统在某一输入信号作用下在某一输入信号作用下，其输出量，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。瞬态响应也称为从初始状态到稳定状态的响应过程。瞬态响应也称为过渡过程。过渡过程。稳态响应：稳态响应：当当某一信号输入某一信号输入时，系统在时间趋于无时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态。穷大时
4、的输出状态。稳态也称为静态。控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下控制系统的动态性能，可以通过在输入信号作用下系统的过渡过程来评价。系统的过渡过程来评价。系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。还与外加输入信号的形式有关。许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。有两个问题：有两个问题：2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系53.1 典型输入信号与时域性能指标 分析瞬态响应时，需要选择分析瞬态响应时，需要选择典型输入信号典
5、型输入信号，这有，这有如下好处：如下好处：分析处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、分析处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、综合系统；综合系统；典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；基础；便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。阶跃函数阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数斜坡函数斜坡函数单位斜坡函数单位斜坡函数抛物线函数抛物线函数单位抛物线函数单位抛物线函数脉冲函数脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数正弦函数正弦函数2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动
6、化系北京科技大学自动化学院自动化系63.1 时域响应与典型输入信号（1）阶跃函数）阶跃函数2）常用的典型输入信号）常用的典型输入信号000)(tAttuA=1时，称为单位阶跃函数，记为时，称为单位阶跃函数，记为1(t)。拉氏变换为：拉氏变换为：L ；一般情况为：一般情况为：st1)(1 sAsu)(2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系73.1 典型输入信号与时域性能指标（2）斜坡函数）斜坡函数（3）抛物线函数）抛物线函数32)(00021)(sAsuttAttu20(00()Attu ttAu ss ）2022年12月7日11时14分北京
7、科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系83.1 典型输入信号与时域性能指标（4）单位脉冲函数）单位脉冲函数(t)1(）tL22)();sin(SAsutAtu）（5）正弦函数）正弦函数2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系93.1 典型输入信号与时域性能指标3）时域性能指标）时域性能指标 时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。的暂态响应为依据。动态过程：动态过程：系统输出量从初始状态到最终状态的系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
8、响应过程。稳态响应：稳态响应：表征系统输出量最终跟踪或复现理想表征系统输出量最终跟踪或复现理想输出的程度。输出的程度。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系103.1 典型输入信号与时域性能指标动态性能动态性能上升时间上升时间tr延迟时间延迟时间td峰值时间峰值时间tp调节时间调节时间ts超调量超调量%振荡次数振荡次数N2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系113.1 典型输入信号与时域性能指标上升时间上升时间tr：响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h()所所需的时
9、间，称为上升时间。若响应曲线无振荡的系统，需的时间，称为上升时间。若响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%上升到上升到90%所需的时间。所需的时间。延迟时间延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。间。峰值时间峰值时间tp:响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰达到第一个峰值所需的时间。值所需的时间。调节时间调节时间ts:在稳态值在稳态值h()附近取一误差带，通常取附近取一误差带，通常取响应曲线响应曲线开始进入并开始进入并保持保持在误差带内所需的最小时间，在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。称为调
10、节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。所需的时间越短。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系123.1 3.1 典型输入信号与时域性能指标超调量超调量%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即之比。即 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。振荡次数振荡次数N：在调节时间以内，响应
11、曲线穿越其稳态值在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。次数的一半。tr,tp和和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而表示控制系统反映输入信号的快速性，而%和和N反映系统动态过程的平稳性。其中反映系统动态过程的平稳性。其中ts和和%是最是最重要的两个动态性能的指标。重要的两个动态性能的指标。%100)()()(%hhthp2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系13h(t)tA时间时间tr上上 升升超调量超调量%=AB100%峰值时间峰值时间tpBh(t)t调节时间调节时间ts动态性能指标定义动态性能指标定义1 1h(t)t时间时
12、间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系14h(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义动态性能指标定义2 22022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系15h(t)ttstptrAB动态性能指标定义动态性能指标定义3 3%=BA100%2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系163.13.1 典型输入信号与时域性能指标稳态性能指标：
13、稳态性能指标：稳态误差稳态误差(steady-state errorsteady-state error)e ess ss：指响应的稳态值：指响应的稳态值与期望值之差。与期望值之差。稳态误差稳态误差ess是系统控制精度或抗扰动能力的一种是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。度量。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系173.23.2 一阶系统的时域分析开环传函为：开环传函为：凡以一阶微分方程凡以一阶微分方程作为运动方程的控作为运动方程的控制系统，称为一阶制系统，称为一阶系统。系统。一阶系统在控制工一阶系统在控制工程中应用广泛，如程中应用广泛
14、，如加热炉、单容水箱加热炉、单容水箱等等 。)()()(tutydttdyT闭环传函为：闭环传函为：微分方程为：微分方程为：T为系统的时间常数，为系统的时间常数，1/T为开环增益为开环增益.1()1sTs TssG1)(2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系183.23.2 一阶系统的时域分析1）单位阶跃响应）单位阶跃响应对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：)(tu(t)11()U ss 单位阶跃输入单位阶跃输入 的像函数为的像函数为则系统输出量的拉氏变换为：则系统输出量的拉氏变换为：111()()(
15、)11TY ss U sTsssTs )(1)1()(tetyTt2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系193.2 一阶系统的时域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993)(tyT 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统的单位阶跃响应曲线斜率斜率1/T2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系203.23.2 一阶系统的时域分析2）单位斜坡响应）单位斜坡响应当输入信号当
16、输入信号 时，时，系统输出量的拉系统输出量的拉氏变换为：氏变换为：)(1)(tttu21()U ss 222111()()()11TTY ss U sTssssTs 对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：)(1)()(tTeTttyTt2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系213.23.2 一阶系统的时域分析2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系223.23.2 一阶系统的时域分析 当当u(t)=(t)时，系统的输出响应为该系统的脉冲响时，系统的输出
17、响应为该系统的脉冲响应。因为应。因为L(t)=1，一阶系统脉冲响应的拉氏变换为：，一阶系统脉冲响应的拉氏变换为：3）单位脉冲响应）单位脉冲响应11()()()111TY ss U sTssT )(11)(teTtyTt对应单位脉冲响应为：对应单位脉冲响应为：2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系233.23.2 一阶系统的时域分析2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系243.23.2 一阶系统的时域分析)(tu)(1 t)(11teTt)(1)1(teTtTt)(t)(11teTTt22
18、1t)(1)1(2122teTTttTt)(tyt 若输入函数成导若输入函数成导数关系，则响应函数数关系，则响应函数成导数关系，由于阶成导数关系，由于阶跃响应的暂态特性较跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代直观，且又有一定代表性，因此今后表性，因此今后以单以单位阶跃响应分析暂态位阶跃响应分析暂态特性特性。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系25一阶系统时域分析一阶系统时域分析 无零点的一阶系统无零点的一阶系统 (s)=Ts+1k,T时间常数时间常数(画图时取画图时取k=1,T=0.5)单单位位脉脉冲冲响响应应k(t)=T1e-Ttk(0)
19、=T1K(0)=T单位阶跃响应单位阶跃响应h(t)=1-e-t/Th(0)=1/Th(T)=0.632h()h(3T)=0.95h()h(2T)=0.865h()h(4T)=0.982h()单位斜坡响应单位斜坡响应c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)=(t)r(t)=1(t)r(t)=t 问问1、3个图各如何求个图各如何求T？2、调节时间、调节时间ts=？3、r(t)=at时，时，ess=？4、求导关系？、求导关系？k(0)=-1/T22022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系263.23.2 一阶系统的时域分析几点说明和结论：几点说明和
20、结论：1。根据动态性能指标的定义，根据动态性能指标的定义，的暂态指标为：的暂态指标为：ts=3T(5%)ts=4T(2%)2。如果把复现和跟踪输入信号为理想输出如果把复现和跟踪输入信号为理想输出那么，那么，对脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为对脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为0，而对单位斜波输入的稳态误差为，而对单位斜波输入的稳态误差为T。3。观察输入信号和对应的输出信号可知，输入函观察输入信号和对应的输出信号可知，输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系。由于阶跃响数成导数关系，则响应函数成导数关系。由于阶跃响应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，因此今后应的暂态特性较直观，且又有一定代表性，
21、因此今后以单位阶跃响应分析暂态特性。以单位阶跃响应分析暂态特性。11Ts11Ts2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系273.23.2 一阶系统的时域分析 一阶系统的结构图如图所示，若一阶系统的结构图如图所示，若k kt t=0.1,=0.1,试求系统的调节时间试求系统的调节时间t ts s，如果要求，如果要求t ts s 0.1 0.1秒。试求秒。试求反馈系数应取多大？反馈系数应取多大？100/sktR(s)C(s)例例3.2.12022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系283.2 3.2
22、 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数解解3.0 tk故故,1.001.033,1.0 tsskTtt秒秒如果要求如果要求3.03 sTt秒，秒，因此调节时间为因此调节时间为1.0 T秒秒显然时间常数显然时间常数,1.0 tk时时当当11.010)(ss101.0/11001/100)(tttkskksss2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系293.23.2 一阶系统的时域分析思考题和选做题：思考题和选做题：（1）当一阶对象的模型为）当一阶对象的模型为 时，分别求其输出时，分别求其输出响应所得的结果是否
23、符合前面的证明和结论？试着响应所得的结果是否符合前面的证明和结论？试着解释为什么有这样的结果？解释为什么有这样的结果？（2）当输入信号为）当输入信号为 时，时，的输出响应是的输出响应是什么？能否根据这个结果利用上面思考题直接写出什么？能否根据这个结果利用上面思考题直接写出 对对 的输出响应？的输出响应？1Tsk11Ts1sk221)(ttuttR221)(2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系303.33.3 二阶系统的时域分析1）典型的二阶系统）典型的二阶系统动态结构动态结构图图系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：特征方程：特征方
24、程：特征根：特征根：0222nnss122,1nns系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：n:无阻尼自然无阻尼自然振荡角频率振荡角频率:阻尼系数或阻阻尼系数或阻尼比尼比2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系313.33.3 二阶系统的时域分析当当0 1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态过阻尼状态（如图如图c）。）。当当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为应作等幅振荡，称为无阻尼状态无阻尼状态（如图如图d）。）。当当
25、-1 0时，此时系统特征方程具有一对正实部的时，此时系统特征方程具有一对正实部的共轭复根。系统动态过程共轭复根。系统动态过程振荡发散振荡发散，称为，称为负欠阻尼状负欠阻尼状态态。（如图如图e）当当-1时，特征方程具有两个不相等的正实根，系时，特征方程具有两个不相等的正实根，系统动态过程统动态过程单调发散单调发散，称为，称为负过阻尼状态负过阻尼状态。（如图如图f）21,21nns 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系323.3 3.3 二阶系统的时域分析2）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应（1）欠阻尼情况（）欠阻尼情况（01）
26、2221211)1(1)1(TsTsnn闭环极点为：闭环极点为：输出的拉氏变换为：输出的拉氏变换为：121221121211()()()11()()1111111()()11TTY ss U ssssTTTTsssTTTT 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系373.3 3.3 二阶系统的时域分析 系统响应含有两系统响应含有两个单调衰减的指数项，个单调衰减的指数项，它们的代数和决不会它们的代数和决不会超过稳态值超过稳态值1，因而，因而过阻尼二阶系统的单过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡位阶跃响应是非振荡的。的。拉氏反变换得：拉氏反变换得
27、：1/1/1)(211221TTeTTetyTtTtt()y t响应曲线响应曲线2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系383.33.3 二阶系统的时域分析0无因次时间无因次时间2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系393.3 3.3 二阶系统的时域分析（4）无阻尼情况（）无阻尼情况（=0）系统为不衰减的振系统为不衰减的振荡，其振荡频率为荡，其振荡频率为n，系统属，系统属临界稳临界稳定系统定系统。2222211)(nnnssssssYt()yt响应曲线响应曲线2022年12月7日11时14
28、分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系403.33.3 二阶系统的时域分析（5）负过阻尼情况（）负过阻尼情况（-1）)(limtyt响应曲线响应曲线2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系413.33.3 二阶系统的时域分析（6）负欠阻尼情况（）负欠阻尼情况（-10时不管系统的暂态过程如何变化，系统输出时不管系统的暂态过程如何变化，系统输出都会稳定在值都会稳定在值1上。上。3）当）当=0时系统的输出响应，既没有稳定在一个值上时系统的输出响应，既没有稳定在一个值上也没有发散，而是在也没有发散，而是在0 2中周期变化。中周
29、期变化。不稳定系统不稳定系统稳定系统稳定系统临界稳定临界稳定2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系473.33.3 二阶系统的时域分析进一步系统的稳定性与系统的特征有什么联系：进一步系统的稳定性与系统的特征有什么联系：1）负阻尼情况下：）负阻尼情况下：0时：不管系统是欠阻尼还是过阻尼，系统的时：不管系统是欠阻尼还是过阻尼，系统的极点都有负实部。极点都有负实部。3）当）当=0时：系统的极点是纯虚的，实部为零。时：系统的极点是纯虚的，实部为零。思考和疑问：能否将上面的总结作为判断系统稳定思考和疑问：能否将上面的总结作为判断系统稳定性的结论？性的
30、结论？2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系48j0-nd=n1-2s1,2=-nj1-2nn103.33.3 二阶系统的时域分析3）二阶系统（欠阻尼）动态性能分析。）二阶系统（欠阻尼）动态性能分析。阻尼振荡频率阻尼振荡频率自然振荡频率自然振荡频率21()1sin()1ntdy tet 阻尼角阻尼角2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系493.33.3 二阶系统的时域分析上升时间上升时间t tr r：由定义知：由定义知：t tr r为输出响应第一次到达稳态值所需时为输出响应第一次到达稳态
31、值所需时间，所以应取间，所以应取n=1n=1。21rdnt 当当n n一定时，一定时，越小，越小，t tr r越小越小当当一定时，一定时，n n越大，越大，t tr r越小越小2sin()01n rtd ret ,0,0112rntwe(0,1,2,)d rtnn2()1,1sin()11n rw trd rey tt 则则2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系50sin1cos1)(2ttetyddtn3.33.3 二阶系统的时域分析峰值时间峰值时间t tp p22()(cossin)1(sincos)1nntnddtddddy tett
32、dtett 22222()cossin111sincos1nnnnttnnddttnndddy tetetdtetet 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系513.33.3 二阶系统的时域分析222()sin1sin1nnttndnddy tetetdt 2222()(1)sinsin011nnttnnndddy tetetdt ),2,1,0(,0sinnnttpdpd当当n n一定时，一定时，越小，越小，t tp p越小；当越小；当一定时，一定时，n n越越大，大，t tp p越小。越小。t tp p为输出响应达到第一个峰值所对应的时
33、间所以应取为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1n=1。于是。于是2,1dppdntt 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系522()1sin()1n ptpey t 超调量%3.33.3 二阶系统的时域分析2sin()sin1 21/21)(1etytpnp21()()%100%100%()py tyey 1)(y2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系53%与与的关系曲线的关系曲线增大，增大，%减小，通常减小，通常为了获得良好的平稳性和为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比
34、快速性，阻尼比取在取在0.4-0.80.4-0.8之间之间,相应的超调相应的超调量量25%-2.5%25%-2.5%。超调量是阻尼比超调量是阻尼比的函的函数，与自然振荡频率数，与自然振荡频率n的的大小无关。大小无关。3.33.3 二阶系统的时域分析21%100%e 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系542sin()1nw tdet 3.3 二阶系统的时域分析根据定义：根据定义：()()(),()sy tyytt 21()1sin(),1ntdy tet 将：代入有：22121sin(1)1ntnettg 21211()1dntgy 振荡
35、项（振荡项（1）衰减项衰减项调节时间调节时间ts ts2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系5521snte)1sin(2snt21snte3.33.3 二阶系统的时域分析当当=0.68（5%误差带）或误差带）或=0.76（2%误带），调节时误带），调节时间间ts最短。所以最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的通常的控制系统都设计成欠阻尼的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定带之内所需时间来确定t ts s。当。当=0.8=0.8时时,常把常把去掉。写成 即 2
36、ln1snt 可近似表示为：可近似表示为：2213ln13.5(5%)14ln14.5(2%)snnsnntt 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系563.33.3 二阶系统的时域分析调调节节时时间间ts取取sinsin项为项为1 1，则，则n3.521/1)(tnety由此解出由此解出nst)1ln(22022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系57调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图值的微小变化可引起调节时间值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。显著的变化。3.3 二
37、阶系统的时域分析2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系583.3 二阶系统的时域分析为了使用上的方便，人们作出了为了使用上的方便，人们作出了nts与与的关系曲的关系曲线，如下图所示：线，如下图所示：在设计系统时在设计系统时,通常由要求的最通常由要求的最大超调量决定大超调量决定,而而调节时间调节时间ts则由无则由无阻尼振荡频率阻尼振荡频率n来决定。来决定。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系593.33.3 二阶系统的时域分析阻尼比小：峰值时间短，调整时间长，超调量大。阻尼比小：峰值时间
38、短，调整时间长，超调量大。阻尼比大：峰值时间长。阻尼比大：峰值时间长。希希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程上阻尼比一般取工程上阻尼比一般取0.40.40.80.8。阻尼比为。阻尼比为0.7070.707称称为最佳阻尼比为最佳阻尼比.rdt 21%100%e 21Pdnt 2ln(1)3.5snnt 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系605()(34.5)AKG ss s 3.33.3 二阶系统的时域分析 设系统的输入量为单位阶跃函数设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器试计算放大器增
39、益增益K KA A=200=200时时,系统输出响应的动态性能指标。当系统输出响应的动态性能指标。当K KA A增大到增大到15001500时或减小到时或减小到K KA A=13.5,=13.5,这时系统的动这时系统的动态性能指标如何态性能指标如何?已知单位负反馈系统的开环传递函数为：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:2()5()1()34.55kAkAGsKsGsssK例例3.3.13.3.12022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系61221000200,()1000,234.534.510
40、0034.531.6(/),0.5452AnnnnKsss 弧弧度度 秒秒3.33.3 二阶系统的时域分析则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可可以求得以求得:20.12()1pnt 秒秒2ln(0.05 1)0.183()snt 秒秒2/1%100%13%e（1 1）20.08()1rnt 秒秒2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系621500,86.2(/);0.20.037(),0.174(),%52.7%AnpsKtt弧度 秒秒秒1.2),/(22.8,5.13秒弧度时nAK3.33
41、.3 二阶系统的时域分析由此可见由此可见,K,KA A越大越大,越小越小,n n越大越大,t,tp p越小越小,%越大越大,而而调节时间调节时间t ts s无多大变化。无多大变化。系统工作在过阻尼状态系统工作在过阻尼状态,峰值时间峰值时间,超调量不存在超调量不存在,而调而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数节时间可将二阶系统近似为大时间常数T T的一阶系统的一阶系统来估计来估计:（2 2）（3 3）1/1/1)(211221TTeTTetyTtTt2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系63稳性。稳性。为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控
42、制或速为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。度反馈控制，即对系统加入校正环节。调节时间比前两种调节时间比前两种K KA A大得多大得多,虽然响应无超调虽然响应无超调,但过渡过程缓慢但过渡过程缓慢,曲线如下：曲线如下：3.33.3 二阶系统的时域分析K KA A增大，增大，t tp p减小，减小，t tr r减小，可以提减小，可以提高响应的快速性，高响应的快速性，但超调量也随之但超调量也随之增加，仅靠调节增加，仅靠调节放大器的增益，放大器的增益，即比例调节，难即比例调节，难以兼顾系统的快以兼顾系统的快速性和平速性和平2022年12月7日11时14分北京科
43、技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系64 如图所示的系统，施加如图所示的系统，施加8.9N8.9N阶跃力后，阶跃力后，记录时间响应如图，试求该系统的质量记录时间响应如图，试求该系统的质量MM、弹性刚度、弹性刚度 K K 和粘性阻尼系数和粘性阻尼系数D的数值。的数值。质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 系统阶跃响应曲线系统阶跃响应曲线3.33.3 二阶系统的时域分析例例3.3.23.3.22022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系653.33.3 二阶系统的时域分析解解210.0029%100%0.03e6.0解得解得 )/(
44、96.16.012122sradtpn根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：)()()()(tyMtyDtkytfi 222222111)()(nnnisskMksMDsMkkkDsMssFsY2()()()iMsDsk Y sF s进行拉氏变换，并整理得：进行拉氏变换，并整理得：2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系663.33.3 二阶系统的时域分析22118.9()()iY sF sMsDskMsDsks8.9297(/)0.03kN m)(3.7796.129722kgkMn)/(8.1813.7796.16.022smNMDn由终值
45、定理得（系统稳定）：由终值定理得（系统稳定）：)(03.09.89.81lim)(lim)(200mkskDsMssssYyss2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系673.33.3 二阶系统的时域分析4）二阶系统（过阻尼）动态性能分析。）二阶系统（过阻尼）动态性能分析。当当1时，系统没有时，系统没有%，故也没有故也没有tp，但有：，但有：211.5rnt 1时的特征多项式时的特征多项式113,(5%)4,(2%)sTtT )1)(1(22122TsTsssnn若若T T1 14545T T2 2，则：，则：若若=1(=1(T T1 1=T
46、=T2 2),),t ts s=4.75=4.75T T1 12022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系683.33.3 二阶系统的时域分析具有一个附加零点的闭环二阶系统为具有一个附加零点的闭环二阶系统为 22222212(2)nnnnnnsszsssz ss 22222211122nnZnnnnsYsssszsssss zsYsY sY sz 5）带有零点的二阶系统响应）带有零点的二阶系统响应111()()L()()()zy ty tsY sy ty tzz 1z2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化
47、学院自动化系693.33.3 二阶系统的时域分析j021nnnzl21arctannnz21arctan2221()(1)nnlzpz2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系703.33.3 二阶系统的时域分析 221cossinsincos11sin1nntddtdltzltzee 22221()()()11sinsincos1111sincos1nnnzttdndddtnnddyty ty tzeetttzzelttzll 21()1sin()1ntdy tet 2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自
48、动化学院自动化系713.33.3 二阶系统的时域分析 22220sincos01111npnpzpnd pdd pn pdytdtttllttzztgttgee 峰值时间峰值时间zppddtt；。2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系723.33.3 二阶系统的时域分析超调量超调量超调有增加的趋势超调有增加的趋势。表示零点与极点距离虚轴表示零点与极点距离虚轴 的距离比；零点离虚轴越近，超调量越大。的距离比；零点离虚轴越近，超调量越大。调节时间调节时间 调节时间增加或减小，取决于调节时间增加或减小，取决于l/zl/z比值的大小比值的大小 22
49、211%12100%py tyrreeyz zrn14lnsnltz2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系733.33.3 二阶系统的时域分析j02022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系743.3 3.3 二阶系统的时域分析 下图表示引入了一个比例微分控制的二阶下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统系统,系统输出量同时受偏差信号系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号和偏差信号微分微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。统性能的影响。)(te)
50、(te)(te1-+sTd)(tu)(ty)2(2nnss)(te)(te 例例3.3.33.3.32022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系753.3 3.3 二阶系统的时域分析系统开环传递函数系统开环传递函数2(1)(1)(),(2)2(1)2nddnnnT sk T sG skss ss2222222(1)(1)()()1()22ndndnndndnnT sT sG ssG sssT sss 闭环传递函数闭环传递函数:nddT21等效阻尼比：等效阻尼比：2022年12月7日11时14分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自
