1、1第一章第一章 流体力学基础流体力学基础流体运动的微分方程流体运动的微分方程西安建筑科技大学粉体工程研究所西安建筑科技大学粉体工程研究所李李 辉辉2EXIT质量传递质量传递连续性方程连续性方程动量传递动量传递纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程能量传递能量传递能量方程能量方程状态方程状态方程流体运流体运动微分动微分方程组方程组所有流体运动传递过程的通解所有流体运动传递过程的通解质量守恒定律质量守恒定律动量定理动量定理能量守恒定律能量守恒定律31.3 流体运动的微分方程流体运动的微分方程EXIT 质量守恒定律质量守恒定律连续性方程连续性方程 动量定理动量定理纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程 能量守
2、恒定律能量守恒定律能量方程能量方程 定解条件定解条件4EXIT 1.3.1 1.3.1 质量守恒定律质量守恒定律连续性方程连续性方程 质量质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。物质的总质量总是不变的。质量守恒质量守恒在易变形的流体中的体现在易变形的流体中的体现流动连续性流动连续性。18世纪，达朗贝尔推导世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程不可压缩流体微分形式连续性方程在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 单组分流体运动过程中质量守恒定律的
3、数学描述单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体流入控制体的质量速率的质量速率流出控制体流出控制体的质量速率的质量速率控制体内的控制体内的质量累计速率质量累计速率=AB5 时刻时刻A点流体密度为点流体密度为 ，速度，速度 沿沿x，y，z三坐三坐标轴的分量为标轴的分量为 EXIT 1.3.1 1.3.1 质量守恒定律质量守恒定律连续性方程连续性方程连续性方程的推导连续性方程的推导 边长为边长为dx，dy，dz 的控制体微元的控制体微元)(x,y,z,)(x,y,z,uzyx,u,uu单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质
4、量（即质量流量）x方向方向dydzux通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 dydzdxx)(uxxudxdydzx)(xu6EXITA：流入与流出微元控制体的质量速率：流入与流出微元控制体的质量速率之差之差x方向方向dxdydzx)(xuy方向方向z方向方向dxdydzy)(yudxdydzz)(zudxdydzz)(y)(x)(zyxuuuB：微元控制体内的质量累计速率：微元控制体内的质量累计速率 时刻时刻 dxdydz密度密度质量质量 d 时刻时刻 dxdydzdddxdydzddxdydzdxdydzd7EXITdxdydzz)(y)(x)(dx
5、dydzzyxuuu0uuuzyxz)(y)(x)(本方程适用于单组分流体的任意流动形态。本方程适用于单组分流体的任意流动形态。散度0ddivud8EXIT 1.3.2 1.3.2 动量定理动量定理纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程 对一对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和力总和。雷诺输运定理雷诺输运定理系统内物理量系统内物理量的变化率的变化率控制体内物理控制体内物理量的变化率量的变化率物理量通过控制体控物理量通过控制体控制面的净流出速率制面的净流出速率CA+=作用在控制体中流作用在控制体中流体的合外力体的合外力动量通量
6、通过控制体动量通量通过控制体控制面的净变化率控制面的净变化率控制体内流体动量控制体内流体动量对时间的变化率对时间的变化率=+B9EXITA:控制体内流体动量对时间的变化率控制体内流体动量对时间的变化率 时刻时刻A点流体密度为点流体密度为 ，速度，速度 沿沿x，y，z三坐三坐标轴的分量为标轴的分量为 边长为边长为dx，dy，dz 的控制体微元的控制体微元(x,y,z,)u(x,y,z,)zyx,u,uu 时刻时刻 d 时刻时刻 动动 量量dxdydzu(u)dxdydzudxdydz(udxdydz)10EXITB:动量通量的净变化率动量通量的净变化率ABCD面，面，时间内流入的动量时间内流入的
7、动量 xu udydzEFGH面，面，时间内流出的动量时间内流出的动量 xxu udydzu udydzdxx(xu u)dydzdxx时间经此两相对面元的动量净流出量为时间经此两相对面元的动量净流出量为 同理同理(yu u)dzdxdyy(zu u)dxdydzz11经全部控制面的经全部控制面的恒定流恒定流动量通量的净变化率为动量通量的净变化率为()xyzyxzxyzuuuuuudxdydzxyzuuuuuuuuuuuudxdydzxyzxyzuuuu dxdydzduudivu dxdydzddduuudivu dxdydzdduudivudddxdydzdd微元流体系统的动量变化率为：微
8、元流体系统的动量变化率为：d ud xd yd zdA+B(u)dxdydz+应用连续性方程应用连续性方程12C:作用在控制体中流体的合外力作用在控制体中流体的合外力作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力质量力：设质量力：设A点单位质量力为点单位质量力为 ，则微元上的质量力为，则微元上的质量力为bFdxdydzbF表面力：分别考虑六个面上的应力表面力：分别考虑六个面上的应力(图图a和和b）a.a.作用在微元上的应力作用在微元上的应力b.b.作用在微元作用在微元x x方向应力方向应力13作用于作用于ABCD、AEHD、AEFB面上的应力分别为面上的应力分
9、别为 作用于作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为面上的应力分别为.)(,)(,)(dzkPjPiPzkPjPiPdxPzPdykPjPiPykPjPiPdxPyPdxkPjPiPxkPjPiPdxPxPzzzyzxzzzyzxzzyzyyyxyzyyyxyyxzxyxxxzxyxxxx kPjPiPPPkPjPiPPPkPjPiPPPzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 14所有这六个面上的力在所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是轴上的投影分别是yxxxzxxyyyzyyzxzzzPPPdxdydz,xyzPPPdxdydz,xyzPPPdxdydz.xyz
10、dxdydzxyzyxzPPP作用在微元六面体作用在微元六面体上的全部表面力上的全部表面力作用在微元六作用在微元六面体上的力面体上的力=dxdydzbF+dxdydzxyzyxzPPP15根据动量定理根据动量定理b()xyzyxzPPPdudxdydzdxdydzdF约去约去 ，得，得dxdydzyxxxxzxyyxyyyzzyzzxzzPduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzbxbybzFFF运动方程的运动方程的微分形式微分形式将式将式1.54和和1.57带入化简可得动量方程带入化简可得动量方程16222yxxxxxz222222yyyyyxz222222z222uduuuuu
11、uPdxxyz3 xxyzduuuuuuuPdyxyz3 yxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyzyxzuuu3 zxyz或或2d1Pd3buFuu 纳维纳维斯托克斯（斯托克斯（NavierStokes）方程）方程 上式中粘性系上式中粘性系数为常数数为常数17N-S方程的化简方程的化简2d1Pd3buFuu 当流体不可压，当流体不可压，且无粘性：且无粘性：2d1Pd3buFuu 222xxxx222222yyyy222222z222duuuuPdxxyzduuuuPdyxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyz0dud 常数，0u当流体不可压：当流体不可压：EXIT 1
12、.3.3 能量守恒定律能量守恒定律能量方程能量方程 对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流体的能量增加值相等。体的能量增加值相等。对于任意选定的控制体对于任意选定的控制体 流体运动过程中能量守恒定律的数学描述流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：流入控制流入控制体的净能体的净能量速率量速率控制体对环控制体对环境的做功速境的做功速率率控制体内的控制体内的能量累计速率能量累计速率AD环境输入环境输入的热量速的热量速率率BC 时刻时刻A点流体密度为点流体密度为 ，速度，速度 ，沿，沿x，y，z三坐标轴的分量为三坐标轴的分量为 ，温
13、度为，温度为EXIT能量方程的推导能量方程的推导对于边长为对于边长为dx，dy，dz 的控制体微元，采的控制体微元，采用欧拉法推导用欧拉法推导(x,y,z,)u(x,y,z,)zyx,u,uu单位质量流体的能量为单位质量流体的能量为 ，则单位时间内通过左侧控制，则单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的能量面流入微元控制体的能量A项项.流入控制体净能量速率流入控制体净能量速率：x方向方向txE u dydz通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率 utxtx(E)E udx dydzxutx(E)dxdydzxT(x,y,z,)2/2tEe u utx(E)
14、dxdydzx同理可得其它两个方向的方程同理可得其它两个方向的方程x方向方向y方向方向z方向方向uty(E)dxdydzyutz(E)dxdydzz流入控制体的净能量速率，流入控制体的净能量速率，A项为项为uuutytxtz(E)(E)(E)dxdydzxyzut(E)dxdydzB项.热交换对于微元控制体，热量交换主要由对流和传导引起，忽略辐射x方向方向y方向方向z方向方向dxdydzxqx dxdydzyqy dxdydzzqz dxdydzzqyqxqzyx tqkn代傅立叶定律代傅立叶定律2tdxdydzk内热源所产生热量dxdydzq C项.外力对控制体所做功质量力做功xbxybyz
15、bzu Fu Fu FdxdydzdxdydzbFu表面力做功xxxxyyxzzP uP uP udxdydzx dxdydzuPuPuPyzyzyyyxyx dxdydzuPuPuPzzzzyzyxzx x方向方向y方向方向z方向方向xyzP uP uP u+dxdydzxyz0,0quD项.能量累计速率tEdxdydz将求得的将求得的ABCD四项代入方程化简得：四项代入方程化简得：2dePt-udqk 内能的增量 内热源获得的热量 热传导所获热量对外做功 耗散功 对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，能量方程可简化为：能量方程可简化为：2Pdtcktd
16、vPeCtct 1.3.4 1.3.4 定解条件定解条件由前面推导出来的连续性微分方程、动量微分方程、能量微分方程、流体状态方程和应力与应变率关系可得微分方程组yxxxxzxyxyyyzyyzzxzzz222yxzxxxxyxzyx222()()()0PduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzuuuudetttPPPPdxyzxxxyxzbxbybzuuuxyzFFFqkyzyyyzyxzzxzyzzuuPPyyyuuuPPPzzzP)u32zu(2PP)u32yu(2PP)u32xu(2PxuzuPPyuzuPPxuyuPPTfpzzzyyyxxxzxzxxzzxxzzyzyyz
17、zyyzyxyxxyyxxy )()()(),(连续性方程N-S方程能量方程压强切应力法向应力封闭可解封闭可解1.3.4 1.3.4 定解条件定解条件初始条件000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxxyyyzzzuux y zux y zuux y zux y zuux y zux y zPP x y zP x y zx y zx y ztt x y ztx y z开始时刻（0），各未知量的函数分布边界条件：固壁条件速度条件1 平壁0,ssuuu板2 多孔壁0,rssuuu温度条件1 固壁绝热2 固壁等温0stnwtt3 固体非稳态导热过程第一类边界条件wStt第二类边界条件fSStkh ttn第三类边界条件wSqtnk28EXIT小结小结质量守恒定律质量守恒定律连续性方程连续性方程动量定理动量定理纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程能量守恒定律能量守恒定律能量方程能量方程定解条件定解条件
