1、2学习动力学目的(1)解决实际工程问题 (2)为后续课程奠定基础 (1)质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和大小尺寸忽略不计。3 动力学的基本模型 (2)质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联系的系统。不变质点系：质点间距离保持不变的质点系。如刚体。可变质点系：质点间距离可以改变的质点系。如流体等。2.2.已知力求运动已知力求运动(正问题正问题)1.已知运动求力已知运动求力(逆问题逆问题)PaF1F2地球地球动力学主要研究两类基本问题WFa19-2 19-2 质点运动的微分方程质点运动的微分方程一、矢量式一、矢量式yFtym22ddFtrmtvmam22dddd二、直角坐标式二、直角坐
2、标式三、自然轴系式三、自然轴系式;dddd22Ftsmtvmma;n2nFvmma;0bbFmaxyzmFarSABM+_nb FaxFtxm22ddzFtzm22dd四、两类问题四、两类问题1、已知运动，求力（微分问题）、已知运动，求力（微分问题）已知已知 trr tvv taaF求求是一个微分过程是一个微分过程2、已知力，求运动（积分问题），、已知力，求运动（积分问题），还要已知初始条件还要已知初始条件（1）力是常力）力是常力常矢量F例如：重力例如：重力xFxm mFxx txxxtmFx0dd0mFtxxddtmFxxx0 x（2）力是位置的函数）力是位置的函数 rFF例如：弹簧力例如：
3、弹簧力 xFxm x mxFx xxxtxxxtxxdddddddd（分离变量法）（分离变量法）xxxxxxFmxx00d1d xmxx2202（3）力是速度的函数）力是速度的函数 vFF例如：空气阻力例如：空气阻力 x xFxm mxFx ttxxmxFx00dt1d（4）力是时间的函数）力是时间的函数 tFF tFxmx x mtFxx ttxxxttFmx00d1d例如：周期力例如：周期力 txx0说明：以上积分的分离形式并不是惟一的，具体如何分离，要与所求问题相对应.1、取研究对象画受力图、取研究对象画受力图 2、确定坐标系、确定坐标系 3、建立微分方程、建立微分方程 4、求解、求解求
4、解动力学问题的步骤：求解动力学问题的步骤：例例1 1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑物块以加速度物块以加速度a2滑下滑下,试求：楔块的加速度试求：楔块的加速度a1值。值。解解：ABa1a2Aar=a2FNPae=a1yxx:mA(a1cos+a2)=mAgsin xyy:mAa1sin=FN-mAgcos a1=(gsin -a2)/cos讨论讨论：2.2.a1gtan,3 3.a1=g tan,a2=gsin -a1cosa20,物块相对下降。物块相对下降。a2=0,物块相对不动。物块相对不动。例例2 2 中国古时有一位千户将自制
5、火箭绑在所坐的椅子上，点燃火中国古时有一位千户将自制火箭绑在所坐的椅子上，点燃火箭后试图飞离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才可将这位箭后试图飞离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才可将这位千户飞离地球。千户飞离地球。解解:FxR0已知地心引力已知地心引力 F=-m/x2，按初始条件按初始条件 x=R 时时 F=mg 可求得可求得 =R2g，则则 F=-mgR2/x2。建立微分方程建立微分方程:22xgRmxm-22xgRx-由由:22ddddxgRxxtx-xxgRxxdd22-xxgRxxxRvvdd220-)11()(212202RxgRvv-xgRgRvv2202)2(-1.v20
6、2gR，飞离飞离.km/s2.1120gRv第二宇宙速度第二宇宙速度(R=6370km)例例3 3 一人在高为一人在高为h的悬崖边以的悬崖边以v0的速度平抛一块石子，的速度平抛一块石子，当空气阻力当空气阻力F=-kmv时时,试求：石子的运动方程。试求：石子的运动方程。解：解：v0 xymg建立微分方程建立微分方程:mgykmmgFymy-xkmFxmx-xkx-tkxxdd-ktxxx-0|ln)(dd0ktekvxkt-ktevx-0)1(0ktekvx-gyky-ktgykyk-dktgyky-0|)ln(ktgegyk-)1(2ktekgtkghy-tkegyktd)1(d-x y yF
7、xF例例4 4 圆圆柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳，应柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳，应使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速n n。解解:n沿法向沿法向建立建立质点运动微分方程质点运动微分方程:cosN2PFRvmman代入后代入后:30nRRv)cos(30NPFmRRn当当 FN=0cos30Rgn Rgn30当当 最高位置最高位置=0PNFFumg s例例5：质量为质量为 m 长为长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。试求绳作用在小
8、球上的力试求绳作用在小球上的力F(),并分析小球的运动。并分析小球的运动。解：解：F niFam:n:cossin2mgFmlmgml-运动微运动微分方程分方程积分上式可得：积分上式可得：lummgF2)2cos3(-分析小球的运动分析小球的运动（1）微幅摆动）微幅摆动0singl sin02)sin(tA0,luA运动特点：运动特点：等时性等时性（周期与初始条件无关）（周期与初始条件无关）lg2初始条件：初始条件：lu00,0 0 lg 微分方程的通解微分方程的通解确定积分常数确定积分常数（2）大幅摆动）大幅摆动0sin2 大幅摆动不具有等时性大幅摆动不具有等时性rad)(s)(t例例6:质
9、点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 fd，圆柱半径为圆柱半径为 r=1m。（。（1）建立质点的运动微分方程；（建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。）分析其运动。ro 解：解：取质点为研究对象取质点为研究对象NFFmgma:n)2(sin)1(cosN2dFmgmrFmgmr-NddFfF 由（由（2）式解得：）式解得：sin2NmgmrF代入（代入（1）式得：）式得：)sin(cos2dmgmrfmgmr-mgFNFn数值方法给出质点位数值方法给出质点位置、速度和切向加速置、速度和切向加速度随时间的变化规律度随时间的变化规律rgmo rad/s,0,rad000 t(s)1.0sf)()()(ttt 精品课件精品课件！精品课件精品课件！yxovmg思考题思考题:给出垂直上抛物体给出垂直上抛物体上升时上升时的运动微分方程。的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比设空气阻力的大小与速度的平方成正比oyxvmg2:Aycmgym-2:Bycmgym-2:Cycmgym-2:Dycmgym
