1、1 平面点集与多元函数2 2 二元函数的极限3 3 二元函数的连续第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数P(,)|(,)Ex yx yP满足条件坐标平面上满足某种条件 的点的集合，称为平面点集，并记作 全平面和半平面2R以点 X0=(x0,y0)为中心,以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.即),(0X)()(|),(2020yyxxyx记 (X0,)=U(X0,)X0,称为 X0 的去心 邻域.如图),(0X记作X0X0U(X0,)(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和 (X0).|0 ,|0|),(00yyxxyx空心方邻域与集
2、方邻域00(,)|,|x yxxyy圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在存在邻域 U(X0,)E,则称 X0 为 E 的内点.E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为,122为单位圆盘的定义域比如DyxzD=(x,y)|x2+y2 1 如图Eintxyox2+y2=111D易知易知,圆内部的每一点都是圆内部的每一点都是 D 的内点的内点.但但圆周上的点不是圆周上的点不是 D 的内点的内点.x+y=0 xy0如图D又如 z=ln(x+y)的定义域 D=(x,y)|x+y 0易见,直线上方每一点都是D的内点.但直线上的点不是D的内点.in
3、t EDP)(PUEPU)(PE若存在点的某邻域使得则称是集合的外点设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若 X0的任何任何邻域 U(X0,)内既有属于 E 的点,又有不属于 E的点,则称 X0 为 E 的边界点.E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界.记作 E.如,例1中定义域 D 的边界是直线 x+y=0 上点的全体.例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2+y2=1上的点的全体.如图xyo11x2+y2=1Dx+y=0 xyoDE 的边界点可以是的边界点可以是 E 中的点中的点,也可以不是也可以不是 E 中的点中的点.设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E
4、的内点.即 E int E,则称 E 是一个开集.由于总有 int E E,因此,E int E E=int E故也可说,比如,例1中 D 是开集,(D=int D),而例2中 D 不是开集.规定,R2为开集.若E=int E,则称 E 是一个开集.xyoE又比如,E 如图若若 E 不包含边界不包含边界,则则 E 为开集为开集.若若 E 包含边界包含边界,则则 E 不是开集不是开集.非空平面点集非空平面点集 E 为开集的充要为开集的充要条件是条件是 E 中每一点都不是中每一点都不是 E 的边界点的边界点.即即 E 不含有不含有 E 的边界点的边界点.必要性必要性.设 E 为开集,X E,由开集
5、定义知 X 为 E 的内点.故 X 不是 E 的边界点.充分性充分性.若 E 中每一点都不是 E 的边界点.要证 E 为开集.X E,由于 X 不是 E 的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域 U(X,)内或者全是 E 中的点.或者全都不是 E 中的点,两者必居其一.由于X E,故后一情形不会发生.因此,U(X,)内必全是 E 中的点.故 X int E,即,E int E,所以 E 是开集.设 E 是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来,则称 E 为连通集.如图XYE 连通YXE 不连通从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的.E
6、中的点都可用折线连接.例1,2中的 D 都是连通集.如图x+y=0 xyoxyo11x2+y2=1设 E 是一平面点集.比如,例1中 D 是开区域.如图.E 从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域.若 E 是开域,记intEEEEE称为闭区域.如图.E 易见,例2中的 D 是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.易见,例1中 D 是无界集,它是无界开区域,而例2中 D 是有界集,它是有界闭区域.若存在 r 0,使 E U(O,r),则称 E 为有界集.否则称 E 为无界集.2E
7、R8.设设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点.若X0的任一任一邻域内总有无限多个点属于 E.则称 X0 是E 的一个聚点.从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即,在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.X0如图1.聚点定义也可叙述为:若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于异于 X0 的点.则称 X0 为 E 的 一个聚点.(自证).2.E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于E.3.E 的内点一定是 E 的聚点.4.若 E 是开区域.则 E 中每一点都是 E 的聚点.的聚点中每一点都是则为闭区域若EEEEE.的聚点从而是E即
8、,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点.但若 E 是开集,则 E 的边界点一定是 E 的聚点,自证.定义定义若存在若存在PEEPU),(0PE使得使得则称点则称点是是的孤立点的孤立点.孤立点必为界点孤立点必为界点.这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到 4 维以上的空间中去,但不再有几何意义.（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属
9、于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10|),(22 yxyx例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点点集的直径点集的直径两点的距离两点的距离),(21PP),(21PP221221)()(yyxx 21,sup21PPEdEPP|21xx|21yy|)()(2121221221yyxxyyxx（或）并有三角不等式并有三角不等式 2R1P2P3P121332(,)(,)(,)PPPPPP2SRS同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2 证明：对任何恒为闭集 0 xS0 xS0证明
10、 设为的任一聚点，要证.由聚点的定义，对任给，存在 00(;)yUxSyS0(;)(;)U yU x(;)U ySS0(;)U xSS0 xS0 xSS.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上既有的点，又有非的点，由的任意性，推知是的界点，即，这就证明了为闭集.二 2R中的完备性定理中的完备性定理 1 点列的极限 2nPR20PRNnN0(;)nPU P nP0P0limPPnn0,nPP n 设为平面点列，为一固定，存在正整数，使时，有,则称点列收敛于点,记作或 点.若对任给的正数得当),(nnnyxP),(000yxP(,)nnnPxy000(,)Pxy0 xxn0yy
11、n)(n设则0(,)nnP PnP0P0limPPnnlim0nn同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于 2 柯西收敛准则 nP0NNn p,nn pP P定理16.1（柯西准则）平面点列（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在,当时，对一切正整数,都有 nD2R,2,1,1nDDnn0lim,nnnndDdd,2,1,0nDPn定理16.2(闭域套定理)设是1)2)则存在唯一点 3 闭域套定理中的闭域列，满足：4 聚点原理 2RE E2R定理16.3（聚点原理）设为有界在中至少有一个聚点.无限点集，则 2RPnknP推论：有界无限点列必存在收敛子列 5 有限覆盖定理 2RD D
12、Dn,21DiniD1定理16.4（有限覆盖定理）设为有界闭域，为一开域族，它们覆盖（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖（即）三三 二元函数的定义二元函数的定义().yf x类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数),(),(DyxyxfzzW 点集点集 D-定义域，定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的两个要素函数的两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集
13、定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:xyzo22zxy2R例6 是定义在上的函数，值域是全体非负整数 若二
14、元函数的值域是有界集，则称该函数为有界函数；若值域是无界集，则称该函数为无界函数.n元函数 四n1(,)nxxnnnR1(,)nxxnRn1,nxx所有个有序数组的全体称为维向量空间，简称维空间，记作其中每个有序实数组称为中的一个点，个实数是这个点的坐标DnRRfD1(,)npxxfRyfDny12()(,)nf pf x xx设是的一个子集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过规律，在中有唯一的一个与此对应，则称是定义在上的一个元函数，它在的，并记此值为即 函数值是12()(,)nyf pf x xx小结作业：作业：P92 1,2，3,4,5,6,7.三三二元函数的定义二元函数的定义二 2R中的完备性定理中的完备性定理 n元函数 四
