1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 四、四、数列极限与函数极限的性质数列极限与函数极限的性质 第一节极限的概念（续）极限的概念（续）目录 上页 下页 返回 结束 ab1、唯一性、唯一性证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有定理：如果数列定理：如果数列xn收敛，则极限唯一。收敛，则极限唯一。使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设,2abnbx从而2banx（1）数列极限的唯一性）数列极限的唯一性目录 上页 下页 返回 结束 （2）函数极限的唯一
2、性）函数极限的唯一性.22abnabax2banx22abnabbx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式2banx定理：如果定理：如果 存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。0lim()xxf x证明略目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明数列),2,1()1(1nxnn是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取,21则存在 N,2121axan但因nx交替取值 1 与1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.nx目录 上页 下页
3、返回 结束 2.有界性有界性证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.aaxn)(,1axn有定理：如果数列定理：如果数列xn收敛，则收敛，则xn有界。有界。（1 1）收敛数列的有界性）收敛数列的有界性目录 上页 下页 返回 结束 说明:1.此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.数列2.无界的数列一定是发散的.（2 2）函数极限的局部有界性）函数极限的局部有界性()Af xA00 xxx当 时，成立，即满足局部有界性0lim()xxf xAAAOAx0 xy)(xfy
4、目录 上页 下页 返回 结束 例如1lim0 xxOxya(,)a 函数在 上是有界的，即 .110 xa目录 上页 下页 返回 结束 3.保号性保号性定理定理 若,limaxnn且,0a,时当Nn 有 .0nx)0()0(证证:对 a 0,取,2a,时当Nn axn2anx02aaax2a2aO,NN则,NN则（1）数列极限的）数列极限的 保号性保号性目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若数列从某项起,0nx,limaxnn且0a则)0(.)0(（2）函数极限的）函数极限的 局部保号性局部保号性利用反证法证明，证明略定理定理 若,)(lim0Axfxx且 A 0,),(0时使当xUx.0
5、)(xf)0)(xf则存在(A 0),(0 xUAA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1 1AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时,有.2)(Axf23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU,),(0 xU),(0 xUx分析分析:推论推论2 2 如果在x0 的某个去心邻域 内满足 0(,)U x()0,f x 并且 ，那么A0.0lim()xxf xA()0,f x A0.目录 上页 下页 返回 结束*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证
6、:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnx目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1nxnn;1lim12kkx1lim2kkx发散!则原数列一定发散.说明说明:目录 上页 下页 返回 结束*归结原则归结原则定理定理0lim()xxf x0lim()lim().nnxxf xf x例如：1limsinnn1lim0nn0limsin0 xx=0的数列，并且满足 ，那么相应的函数值列目
7、录 上页 下页 返回 结束*定理定理.设 ，Axfxx)(lim0:nx)(,0nnxfxx 有定义,)(0nxxn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)(Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义,且,)(0nxxn对上述 ,Nn 时,有,00 xxn于是当Nn 时.)(Axfn故Axfnn)(lim.)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N0 xO目录 上页 下页 返回 结束 例例 证明xx1sinlim0不存在.证证:取两个趋于 0 的数列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在.),2,1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限、函数极限的唯一性。第五节 2.收敛数列的有界性，函数极限的局部有界性。3.保号性。4.收敛数列与子列的关系，归结原则。
