1、2.2.2用样本的数字特征估计总用样本的数字特征估计总体的数字特征体的数字特征一、众数、中位数、平均数【问题思考】1.填空:(1)在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.(2)将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)如果有n个数x1,x2,x3,xn,那么 ,叫做这n个数的平均数.其中总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.2.在电视大奖赛中,计算评委打分的平均值时,为什么要去掉一个最高分和一个最低分?提示平均数与样本的每一个数据都有关,所以任意一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
2、,平均数虽然能反映更多的关于样本数据的信息,但它受数据中极端值的影响较大,会使它在估计总体时的可靠性降低.3.平均数、中位数、众数有何区别与联系?提示平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的.计算平均数时全部数据都参加运算,因此,用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好.但是它也有缺点,主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的,会受到数据中那些极端值影响.因此,有时在计算平均数时,先剔除个别缺乏代表性的特殊值,所得到的结果可能会更具有代表性.中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响,用中位数来反映一组数据中各数据大小的一般水平并不很精确.但中位数计算简单,
3、与平均数相比,中位数不受数据中极端值的影响.从这个意义出发,它可以作为数据平均指标的代表值.众数并没有通常意义上的“平均”的含义.但众数在数据中出现的次数最多,说明该数值在数据中最具有代表性.众数不会受到数据中极端值的影响,但并不是每一组数据都是具有众数的.对于分组数据而言,众数常常依赖于分组的情况,分组数改变时,众数可能就有较大的变化,稳定性较差.同时众数也可能是不唯一的.4.做一做:已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A.平均数中位数众数B.平均数中位数众数C.中位数众数平均数D.众数=中位数=平均数答案:D二、样本方差、样
4、本标准差【问题思考】1.填空:数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.我们知道,样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地,设样本的元素为x1,x2,xn,样本的平均数为 ,定义其中s2表示样本方差,s表示样本标准差.2.在解决实际问题时,一般采用方差还是标准差?提示因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能放大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.3.做一做:已知一组数据4,6,5,8,7,6,则这组数据的平均数为.答案:6思考辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)
5、一组数据的众数有且只有一个.()(2)方差与标准差只是一个数字,没有单位.()(3)标准差、方差的取值范围是0,+).()(4)若数据x1,x2,x3,xn的平均数为x,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为mx+a,方差为ms2.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三【例1】某工厂人员及工资构成如下表:(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数.(2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?思路分析本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点,以及适用对象.探究一探究二探究三解:(1)由题中表格可知:众数为1 200,中位数为1 220,平
6、均数为(2 200+1 2506+1 2205+1 20010+490)23=1 230(元/周).(2)虽然平均数为1 230元/周,但从题中表格中所列出的数据可见,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平.反思感悟反思感悟1.众数体现数据中最大集中点,但无法客观地反映总体特点.2.中位数是样本数据所有点的频率和的等分线,它不受少数几个极端值的影响.3.平均数与样本的每一个数据有关,它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息,但是平均数受数据中极端值的影响较大.探究一探究二探究三变式训练变式训练1在一次歌手大奖赛中,6位评委先给每位歌手打分,再去
7、掉一个最高分和一个最低分,剩余分数的平均数作为该歌手的最终成绩,已知6位评委给某位歌手的打分是:9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数.解:该歌手的得分为 (9.5+9.4+9.6+9.5)=9.5,9.5在这组数据中出现2次,出现次数最多,故6位评委打分的众数是9.5.将这组数据按从小到大的顺序排列,最中间的两个数都是9.5,故6位评委评分的中位数是9.5.探究一探究二探究三【例2】(1)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.(2)甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测
8、量,数据为:甲:9910098100100103乙:9910010299100100分别计算两组数据的平均数及方差.根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟反思感悟1.计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数 .(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:xi-(i=1,2,3,n).(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,n)的平方.(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差.(5)算出(4)中方差的算术平方根,即为样本标准差.2.标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(
9、方差)较小,数据的离散程度较小.(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.探究一探究二探究三在例2(2)中,若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10,那么所得新数据的平均数及方差分别是多少?解:甲的数据为99+10,100+10,98+10,100+10,100+10,103+10,平均数为100+10=110,探究一探究二探究三【例3】如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为()A.11 B.11.5 C.12 D.12.5探究一探究二探究三解析:中位数是把频率分布直方图分成两个面积相
10、等部分的平行于纵轴的直线横坐标.设中位数为a,则x=a将频率分布直方图分成两个面积相等部分,则有0.30+(a-10)0.1=0.5,所以a=12.答案:C探究一探究二探究三反思感悟反思感悟1.众数在样本频率分布直方图中,众数就是最高矩形的中点的横坐标.2.中位数在样本中,有50%的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值.3.平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标的和.探究一探究二探究三变式训练变式训练2某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面
11、的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h答案:B123451.下列说法正确的是()A.样本中所有个体的总和是总体B.方差的平方根叫做标准差C.样本平均数与总体平均数相等D.在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数答案:D123452.一组数据的方差是s2,将这组数据中每一个数据都乘2,得到一组新数据的方差是()解析:设一组数据x1,x2,xn,将每一个数都乘n后,则平均数变为原来的n倍,方差为原来的n2倍.答案:C123453.一组数据的每一个数据都减去80,得一组新数据.若求得新数据的平均数是
12、1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是()A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6答案:A123454.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为(从小到大的顺序).解析:不妨设x1x2x3x4,由题意知,x1+x2+x3+x4=8,x2+x3=4,所以x1+x4=4.因为标准差为1,所以(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4,所以2(x1-2)2+2(x2-2)2=4,所以(x1-2)2+(x2-2)2=2.又x1,x2N+,且x1x2,所以当x1=1
13、时,得x2=1或x2=3(舍),此时x4=3,x3=3.答案:1,1,3,3123455.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下表.(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(单位:m/s)数据的平均数、中位数、极差、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.12345解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙总体得分情况比甲好.(2)利用科学计算器:;s甲=3.96,s乙=3.56;甲
14、的中位数是33,极差是11,乙的中位数是33.5,极差是9.综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较为合适.dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y
15、9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihix
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