1、习题二解答习题二解答1.1.一射手击中目标的概率是一射手击中目标的概率是 ,43现在他连续射击现在他连续射击 直到击中目标为止，用直到击中目标为止，用 X表示首次击中目标时的表示首次击中目标时的射击射击次数，求次数，求X是偶数的概率。是偶数的概率。解解 1121)(kkkpqkXPp51112 qqqqp观测时，求观测值大于观测时，求观测值大于3 3的次数大于等于两次的概率。的次数大于等于两次的概率。X5,2X2.2.设设服从服从上的均匀分布，对上的均匀分布，对进行三次独立进行三次独立解解 观测值为观测值为,X设对事件设对事件 3 X的观测次数为的观测次数为,K则则)3(XPp )2(KP)3
2、1()32(223C 322535 )3()2(KPKP3)32(2720 3.3.一辆汽车需要通过多个有红绿灯的路口，设各一辆汽车需要通过多个有红绿灯的路口，设各 路口的红绿灯独立工作，且红灯和绿灯的显示时间路口的红绿灯独立工作，且红灯和绿灯的显示时间相同，用相同，用X表示首次遇到红灯时已经通过的路口数，表示首次遇到红灯时已经通过的路口数，X的概率分布。的概率分布。求求解解 每个路口遇到红灯的概率为每个路口遇到红灯的概率为,21X服从几何分布服从几何分布 )(kXP121 k2,1,0 k k)21(21)(kXPpk 服从参数为服从参数为的泊松分布，求的泊松分布，求 4.4.设设X0k的最
3、大值点的最大值点解解 1)()1(1)1()(0000kXPkXPkXPkXP 00001111kkkk10 k为整数时，为整数时，所以当所以当10 k 或或 当当不为整数时，不为整数时，和和是随机变量，则是随机变量，则XY5.5.设设（1 1）2,maxYXYXYX （2 2）2,minYXYXYX （3 3）YXYXYX ,min,max证明证明 （1 1）不妨设）不妨设 ,YX ,maxXYX 则则右右 XYXYX2左左（2 2）同（）同（1 1）可证之）可证之（3 3）显然）显然6.6.将一颗骰子投掷将一颗骰子投掷 nM次，用次，用表示掷得的最大表示掷得的最大m表示掷得的最小点数，表示
4、掷得的最小点数，计算计算点数，点数，（1 1）61),(kkmP （2 2）61),(kkMP（3 3）)4,2(MmP解（解（1 1）掷一颗骰子）掷一颗骰子次，次，每次都有每次都有6 6种可能，所以种可能，所以 nn6#若若,km 每次掷的骰子点数每次掷的骰子点数 ,k 在在6,1,kk中选，共有中选，共有 nk)16(点的点的 ，但还应减去不出现，但还应减去不出现 k情况，共有情况，共有nk)6(种，所以种，所以nnnkkkmP6)6()16()(（2 2）同理）同理 nnnkkkMP6)1()(（3 3）当）当 4,2 Mm时，点数只能为时，点数只能为2 2，3 3，4 4，共共n3种，
5、但应减除全为种，但应减除全为2 2和全为和全为4 4的，的，共共n22 种，种，所以所以nnnp61231 nnn)61()31(2)21(7.7.设设是表示寿命的非负随机变量，有连续的是表示寿命的非负随机变量，有连续的T),(xf引入引入 概率密度概率密度T的生存函数的生存函数 ),()(xXPxs ,)()()(tstft xdttexs0)()(失效函数失效函数证明证明证明证明)()(xXPxs xdttst)()(0 两边求导得两边求导得)()()(xsxxs xdttf)(dxxxsxds)()()(且且 1)0()0(XPs两边从两边从0 0到到x积分积分 xxs0)(ln xdt
6、txs0)()(ln xdttexs0)()(xdtt0)(8.8.某台机床加工的部件长度服从正态某台机床加工的部件长度服从正态 ),1036,10(6 N当部件的长度在当部件的长度在01.010 内为合格品，求一部件为内为合格品，求一部件为合格品的概率。合格品的概率。解解)01.01001.010(XPp 1)67.1(2905.0 19525.02 )01.010()01.010(FF)10601.0()10601.0(33 ),10(2 N01.010 9.9.机床加工部件长度服从正态分布机床加工部件长度服从正态分布的长度在的长度在内为合格品，要使该机床生产的内为合格品，要使该机床生产的
7、当部件当部件部件的合格率达到部件的合格率达到%,99应当如何控制机床的应当如何控制机床的?解解)01.01001.010(XPp)01.01001.0(XP99.01)01.0(2 995.0)01.0(00388.0 57.201.0 10.10.设车间有设车间有100100台型号相同的机床相互独立地工作台型号相同的机床相互独立地工作着，每台机床发生故障的概率是着，每台机床发生故障的概率是0.010.01，一台机床发生，一台机床发生 故障时需要一人维修，考虑两种配备维修工人的方法故障时需要一人维修，考虑两种配备维修工人的方法（1 1）5 5个工人每人负责个工人每人负责2020台机床台机床 （
8、2 2）3 3个工人同时负责个工人同时负责100100台机床台机床在以上两种情况下求机床发生故障时不能及时维修在以上两种情况下求机床发生故障时不能及时维修 的概率，比较哪种方案的效率更高？的概率，比较哪种方案的效率更高？解解 （1 1）2020台机床中发生故障机器个数台机床中发生故障机器个数 1 X（得不到维修）（得不到维修）的概率的概率 )0()1(1 XPXPp2019120)99.0()99.0)(01.0(1 C0169.0 机器出故障不能及时维修应为五组中至少有一组机器机器出故障不能及时维修应为五组中至少有一组机器 出故障得不到及时维修，即出故障得不到及时维修，即0817.0)016
9、9.01(151 p（2 2）三个人同时负责）三个人同时负责100100台，台，Y为为100100台中出故障台中出故障 的机器个数的机器个数)3(2 YPp)3()2()1(YPYPYP )0(1YP)3()2()1()0(1 PPPP 101.0100 1111!31!21!11!011 eeee所以方案（所以方案（2 2）优于方案（）优于方案（1 1）（服从二项，（服从二项，近似服从泊松）近似服从泊松）0189.0381 e11.11.收藏家在拍卖会上将参加对收藏家在拍卖会上将参加对5 5件艺术品的竞买，件艺术品的竞买，各拍品是否竞买成功是相互独立的，如果他成功购各拍品是否竞买成功是相互独
10、立的，如果他成功购买买每件艺术品的概率是每件艺术品的概率是0.10.1，计算，计算（1 1）成功竞买）成功竞买2 2件的概率件的概率 （2 2）至少成功竞买）至少成功竞买3 3件的概率件的概率 （3 3）至少成功竞买）至少成功竞买1 1件的概率件的概率解解 令令X为成功竞买的件数为成功竞买的件数（1 1）)2(XP（2 2）)3(XP54452335)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0(CC0086.0（3 3）)1(XP0729.0)9.0()1.0(3225 C4095.0)9.0(15 12.12.对一大批产品的验收方案如下：从中任取对一大批产品的验收方案如下：从中任取10
11、10 件检验，无次品就接受这批产品，次品超过件检验，无次品就接受这批产品，次品超过2 2件就件就 拒收；遇到其他情况用下述方案重新验收：从中抽拒收；遇到其他情况用下述方案重新验收：从中抽取取5 5件产品，这件产品，这5 5件中无次品就接受，有次品时拒收。件中无次品就接受，有次品时拒收。设产品的次品率是设产品的次品率是%,10计算计算 （1 1）第一次检验产品被接受的概率）第一次检验产品被接受的概率 （2 2）需要作第二次检验的概率）需要作第二次检验的概率（3 3）第二次检验产品才被接受的概率）第二次检验产品才被接受的概率 （4 4）产品被接受的概率）产品被接受的概率 NM解解 产品共产品共件，
12、次品件，次品件件X（1 1）从中取）从中取1010件，件，次品件数次品件数服从超几何分布服从超几何分布 )0(1XPp（2 2）)2()1()21(10102 XPXPXPp5811.0)1.0()9.0()1.0()9.0(282109110 CC)0(10 XP3487.0)9.0(10 （3 3）第二次从中取）第二次从中取5 5件，产品件数为件，产品件数为Y)21,0(3 XYPp)21()0(XPYP3431.05811.0)9.0(5 （4 4）692.0314 ppp13.13.一个房间有三扇完全相同的玻璃窗，其中只有一个房间有三扇完全相同的玻璃窗，其中只有 一扇是打开的，两只麻雀
13、飞入房间后试图飞出房间一扇是打开的，两只麻雀飞入房间后试图飞出房间 （1 1）第一只麻雀是无记忆的，求它飞出房间时）第一只麻雀是无记忆的，求它飞出房间时 试飞次数试飞次数X的分布的分布 （2 2）第二只麻雀是有记忆的，求它飞出房间时）第二只麻雀是有记忆的，求它飞出房间时 试飞次数试飞次数Y的分布的分布（3 3）计算）计算 )(),(YXPYXP 解解 (1)(1)每次独立，飞出概率为每次独立，飞出概率为 31，服从几何分布，服从几何分布 )(kXP（2 2）每次不独立）每次不独立 31)1(YP )2(YP )3(YP3,2,1,31)(kkYP离散型均匀分布离散型均匀分布,2,1,)32(3
14、11 kk312132 3112132 （3 3）)(YXP )2,1(YXP )3,1(YXP)3,2(YXP278319231313131 )(1)(YXPYXP )()(1YXPYXP 8138)3127431923131(2781 YX,21,14.14.设设独立，分别服从参数独立，分别服从参数的泊松分布，的泊松分布，nYX X下，求下，求的分布。的分布。在条件在条件解解)(nYXkXP )(),(nYXPnYXkXP njjnYjXPknYkXP1),(),(njjnjknkejnejeknek121212121)!(!)!(!njjnjknkjnjknk12121)!(!)!(!n
15、jjnjjnknkknCC02121 nknkknC)(2121 knkknC )()(212211 15.15.设设X有概率分布有概率分布 ,10.020.008.002.030.010.020.05321012pX 求求2XY 分布。分布。解解 10.020.028.012.030.0259410pYX)(xf16.16.设设概率密度为概率密度为，求下列随机变量的密度，求下列随机变量的密度（1 1）1 XY（2 2）XY （3 3）XYtan 解解 （1 1）xy1yx1 )(yfY)1(12yfy 0 y当当时，时，（2 2）xy当当0 y时，时，)(yfY)1()1(yyfyx )()
16、(yfyf （3 3）xytan,2,1,0 k)(yfY17.17.设电流设电流I服从服从8 8至至9 9安之间均匀分布，当电流通过安之间均匀分布，当电流通过2 2欧的电阻时，消耗的功率欧的电阻时，消耗的功率22IW W瓦，求瓦，求的密度。的密度。ykxarctan 211y)arctan(ykf k解解 其其它它0)9,8(1)(xxfI222222yxxyIW )9,8(x当当)162,128(y时，时，)22(42)(yfyyfIw y42 y81 18.18.设设X是随机变量，是随机变量，),(ln2 NX证明证明X有密度有密度 0,22)(lnexp)(22 xxxxf ，这时称，
17、这时称 X服从对数正态分布。服从对数正态分布。解解 令令 xyXYlnln 当当0 x时，有时，有 )(xfX2)(lnexp2122 xx xxfY1)(lnYX,),(),1(YpBXYXZ 19.19.设设独立，独立，求求的分布函数和概率密度。的分布函数和概率密度。解解 由全概公式由全概公式)()(zYXPzFZ )0()0(XzYXPXP)1()1(XzYXPXP)1()()1(zYpPzYPp)1()()1(zpFzFpYY而而),(Y所以所以 0001)(zzezFzY 1011)1()1(zzezFzY 所以所以 11)1)(1(10)1)(1(00)()1(zepepzepzz
18、FzzzZ 1)1(10)1(00)()1(zepepzepzzfzzzZ X,0,)1(2)(2 xxxf 20.20.设设有概率密度有概率密度求求XYln 的密度。的密度。解解 yex )(yfYy 求落点的横坐标的概率密度。求落点的横坐标的概率密度。21.21.设点随机的落在中心在原点，半径为设点随机的落在中心在原点，半径为R的圆上，的圆上，xyln)(yXyefe)1(22yyee ZOAx解解 设设是是连线与连线与轴的夹角，则轴的夹角，则 其它其它0)2,0(21)(zzfZ设落点设落点A的横坐标为的横坐标为,X则则,sin ZRX 值域值域),(RRD 当当)2,23()2,0(z
19、时，时，Rxzarcsin Rxzarcsin )23,2(z当当时，时，AoZX所以当所以当),(RRx 时，时，)(xfX2211212RxR 221xR ),0(,)(2 xcxxfX22.22.设设有概率密度有概率密度求求XYsin 的密度。的密度。解解 先求出先求出c值值 dxxf)(1 XYsinyxarcsin 当当)2,0(x时，时，当当),2 x时，时，yarcsin )(yfY2211)arcsin(2yy 2211arcsin2yy 212y )1,0(y202 cdxcx ,6,0 UXXYcos 23.23.设设求求的概率密度。的概率密度。解解 ),0 xyxarccos)3,2 x)2,xyxarccos2 yxarccos2 )4,3 xyxarccos4 )5,4 xyxarccos4 6,5 xyxarccos6 )(yfY211616y 211y )1,1(y ),(XXYcos 24.24.设设求求的概率密度。的概率密度。解解,2,1,0,arccos2 kykx 000)(xxexfxX 所以当所以当1,1 y时时
