1、2022-12-8优化方案优化方案2021数学一轮数学一轮课件：立体几何中的向课件：立体几何中的向量方法量方法2014高考导航高考导航考纲展示考纲展示备考指南备考指南1.理解直线的方向向量与平面的法理解直线的方向向量与平面的法向量向量2.能用向量语言表述直线与直线、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理面位置关系的一些定理(包括三垂包括三垂线定理线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的直线与平
2、面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用体几何问题中的应用.从高考内容上来看从高考内容上来看,利用向量法求空间利用向量法求空间角的大小是命题的角的大小是命题的热点，题型多为解热点，题型多为解答题，难度中档答题，难度中档.着着重考查学生建立空重考查学生建立空间坐标系及空间向间坐标系及空间向量坐标运算的能力量坐标运算的能力.本节目录本节目录教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基基础梳理基础梳理非零非零思考探究思考探究直
3、线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？提示：提示：不唯一凡是在直线不唯一凡是在直线l上的非零向量或与上的非零向量或与l平行的非平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量零向量都可以作为平面的法向量cosn1，n2或或cosn1，n2课前热身课前热身1若平面若平面，的法向量分别为的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则，则()A BC，相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正确以上均不正确答案：答案：C2已知平面已知平面内有一点内有一点M(1，1,2
4、)，平面，平面的一个法向量的一个法向量为为n(6，3,6)，则下列点，则下列点P中，在平面中，在平面内的是内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)3若直线若直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的法向量的夹角等于的法向量的夹角等于120，则直线则直线l与平面与平面所成的角等于所成的角等于()A120 B60C30 D60或或30解析：选解析：选C.由题意得直线由题意得直线l与平面与平面的法向量所在直线的夹角的法向量所在直线的夹角为为60，直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为906030.4从空间一点从空间一点P向二面角向二面角l的两个面的两个面，
5、分别作垂线分别作垂线PE，PF，垂足分别为，垂足分别为E,F,若二面角若二面角l的大小为的大小为60，则则EPF的大小为的大小为_解析：解析：EPF实质就是二面角的两个面的法向量的夹角，它实质就是二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补与二面角的平面角相等或互补答案：答案：60或或120考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1【答案】【答案】90例例2【方法感悟】【方法感悟】(1)利用向量法证明空间的平行或垂直问题，利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽
6、可能多的顶点在坐标轴上坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上(2)用向量法证线面平行时，还可以使用证明直线的一个方向用向量法证线面平行时，还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线向量与平面内的某一向量是共线(平行平行)向量，也可以证明直线向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法较简单的解法例例3例例4【题后感悟】【题后感悟】求二面角最常用的方法：求二面角最常用的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平
7、面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角际图形判断所求角是锐角还是钝角(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小跟踪训练跟踪训练4(2012高考广东卷高考广东卷)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，PA平面平面ABCD，点，点E在线段在线段PC上，上，PC平平面面BDE.(1)证明：证明：BD平
8、面平面PAC；(2)若若PA1，AD2，求二面角，求二面角BPCA的正切值的正切值考点考点5求空间距离求空间距离 在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E为为BB1的的中点，则点中点，则点C1到平面到平面A1ED的距离是的距离是_例例5【答案】【答案】11用向量知识证明立体几何问题的基本思路：一种是用用向量知识证明立体几何问题的基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
9、量与空间向量的联系，用空间向量(或坐标或坐标)表示问题中所表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题根据运算结果的几何意义来解释相关问题2若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算.(1)求两异面直线求两异面直线a，b的夹角的夹角须求出它们的方向向量须求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos|cosa，b|.(2)求直线求直线l
10、与平面与平面所成的角所成的角可先求出平面可先求出平面的法向量的法向量n与直线与直线l的方向向量的方向向量a的夹角，则的夹角，则sin|cosn，a|.(3)求二面角求二面角l的大小的大小可先求出两个平面的法向量可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则所成的角，则n1，n2或或n1，n2名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例规范解答规范解答 用空间向量求空间角用空间向量求空间角1234抓关键促规范抓关键促规范 合理建系，正确写出坐标是解答此题的前提合理建系，正确写出坐标是解答此题的前提 正确求出法向量是重要的得分点正确求出法向量是重要的得分点 利用公式求出两法向量夹角的余弦值是求二面角利用公
11、式求出两法向量夹角的余弦值是求二面角大小的关键大小的关键 易忽略易忽略h的范围的范围1234【方法提炼】【方法提炼】利用向量法求两异面直线利用向量法求两异面直线a，b的夹角的夹角，须，须求出它们的方向向量求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos|cosa，b|；求二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面的法向量，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则所成的角，则n1，n2或或n1，n2本题易错点本题易错点是：是：(1)建系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，致使建系不建系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，致使建系不规范；规范；(2)易将所求空间角误认为是向量的夹角，故要注意角易将所求空间角误认为是向量的夹角，故要注意角的概念和图形特征进行转化的概念和图形特征进行转化知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关
