1、进进 入入 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.1.函数的单调性函数的单调性（1）一般地，设函数）一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果在某个区间内可导，如果 0,则则f(x)为为 ；如果；如果 0，则，则 f(x)为为 .（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法）求可导函数单调区间的一般步骤和方法:确定函数确定函数f(x)的定义区间的定义区间;求求 ，令，令 ，解此方程，求出它在定义，解此方程，求出它在定义 区间内的一切实根区间内的一切实根;增函数增函数 减函数减函数 0 0(x)(x)f f(x)(x)f f(x)(x)f f(x)(x)f f名师伴你行把函数把函数f(x)
2、的间断点（即的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间的定义区间分成若干个小区间;确定确定f(x)在各小开区间内的符号，根据在各小开区间内的符号，根据 判定判定函数函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性在每个相应小开区间内的增减性.2.2.可导函数的极值可导函数的极值(1)极值的概念极值的概念一般地，设函数一般地，设函数f(x)在点在点x0附近有定义附近有定义,如果对如果对x0附近的所附近的所有的点，都有有的点，都有f(x)f
3、(x0)，则称，则称f(x0)为函数的为函数的一个一个 ，称，称x0为为 .的符号的符号(x)(x)f f极大极大(小小)值值 极大（小）值点极大（小）值点 名师伴你行返回目录返回目录（2）求可导函数）求可导函数f(x)的极值的步骤的极值的步骤:求导数求导数 ；求方程求方程 =0的根；的根；检查检查 在方程在方程 =0的根的左右的值的符号，如果的根的左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在在这个根处取得这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数侧附近为正，那么函数f(x
4、)在这个根处取得在这个根处取得 .极大值极大值 极小值极小值 (x)(x)f f(x)(x)f f(x)(x)f f(x)(x)f f名师伴你行返回目录返回目录.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值（）设（）设y=f(x)是定义在区间是定义在区间a,b上的函数，上的函数，y=f(x)在（在（a,b）内有导数，求函数）内有导数，求函数y=f(x)在在a,b上的最大上的最大值与最小值，可分两步进行值与最小值，可分两步进行:求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;将将f(x)的各极值与的各极值与 比较，其中最大的一个比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值是最大值，最小的一个是最小值
5、.（）若函数（）若函数f(x)在在a,b上单调递增，则上单调递增，则 f(a)为函数为函数的的 ，f(b)为函数的为函数的 ；若函数；若函数 f(a)在在a,b上单调递减，则上单调递减，则f(a)为函数的为函数的 ，f(b)为为函数的函数的 .f(a),f(b)最小值最小值 最大值最大值 最大值最大值 最小值最小值 名师伴你行返回目录返回目录 考点一考点一 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 【例【例1】已知已知aR,求函数求函数f(x)=x2eax的单调区间的单调区间.【分析【分析】求求f(x)的导数，令的导数，令f(x)0即可求增区间；令即可求增区间；令0,求求 减区间，但解题过程中要注
6、意讨论参数减区间，但解题过程中要注意讨论参数a的范的范围围.(x)(x)f f名师伴你行返回目录返回目录【解析【解析】函数函数f(x)的导数的导数:=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax(1)当当a=0时时,若若x0,则则f(x)0,则则f(x)0.所以当所以当a=0时时,函数函数f(x)在区间在区间(-,0)内为减函数内为减函数,在区间在区间(0,+)内为增函数内为增函数.(2)当当a0时时,由由2x+ax20,解得解得x0;由由2x+ax20,解得解得-x0时时,函数函数f(x)在区间（在区间（-,-）内为增函数）内为增函数,在在区间（区间（-,0）内为减函数）内为减函数,在区
7、间在区间(0,+)内为增函数内为增函数.(x)(x)f fa a2 2a a2 2a a2 2a a2 2名师伴你行返回目录返回目录(3)当当a0,解得解得0 x-;由由2x+ax20,解得解得x-.所以当所以当a0,即即a4时，方程时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根有两个不同的实根x1,x2，不妨设不妨设x1x2,于是于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表：从而有下表：x x (-,x(-,x1 1)x x1 1 (x(x1 1,x,x2 2)x x2 2(x(x2 2,+),+)f(xf(x)+0 0-0 0+f(xf(x)f(xf(x1 1)为为
8、极大值极大值f(xf(x2 2)为为极小值极小值 即此时即此时f(x)有两个极值点有两个极值点.名师伴你行返回目录返回目录（2）当）当=0即即a=0或或a=4时，方程时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有有两个相同的实根两个相同的实根x1=x2.于是于是f(x)=ex(x-x1)2,故当故当x0；当；当xx1时，时，f(x)0，因此，因此 f(x)无极值无极值.（3）当）当0即即0a0,f(x)=ex x2+(a+2)x+(2a+1)0,故故f(x)为增函数，此时为增函数，此时 f(x)无极无极值值.因此当因此当a4或或a0时，时，f(x)有有2个极值点，当个极值点，当0a4时，时，f
9、(x)无极值点无极值点.【评析【评析】f(x)=0是函数在是函数在x=x0处取得极值的必要条件处取得极值的必要条件.要注意总结求极值的步骤和方法要注意总结求极值的步骤和方法.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练设函数设函数f(x)=ln(x+a)+x2.（1）若当）若当x=-1时，时，f(x)取得极值，求取得极值，求a的值，并讨论的值，并讨论f(x)的单调性；的单调性；（2）若）若f(x)存在极值，求存在极值，求a的取值范围，并证明所有极的取值范围，并证明所有极值之和大于值之和大于 .2 2e elnln名师伴你行返回目录返回目录(1)f(x)=,依题意，有依题意，有f(-1)=0,故
10、故a=.则则f(x)的定义域为（的定义域为（,+）.当当 x0;当当-1x 时，时，f(x)时，时，f(x)0.从而从而f(x)分别在区间（分别在区间（,-1）,（,+）上单调递增，）上单调递增，在区间（在区间（-1,）上单调递减）上单调递减.2x2xa ax x1 12 23 3.2 23 3x x1 1)1 1)(x x(2 2x x2 23 3x x1 13 3x x2 2x x(x x)f f2 2 从从而而2 23 32 23 32 21 12 21 12 23 32 21 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录(2)f(x)的定义域为（的定义域为（-a,+）,方程方程2x2+2a
11、x+1=0的判别式的判别式=4a2-8.若若0,即即-a0,故故f(x)无极值无极值.若若=0,则则a=或或-.若若a=,x(-,+),当当x=时，时，f(x)=0;当当x（-,-）（-,+）时，）时，f(x)0，所以，所以f(x)无极值无极值.若若a=-,x(,+),f(x)=0,f(x)也无极也无极值值.若若0,即即a 或或a-,.a ax x1 12ax2ax2x2x(x)(x)f f2 22 22 22 22 22 22 2.2 2x x1)1)-x x2 2(x)(x)f f2 2(2 22 22 22 22 22 22 22 2x x1)1)-x x2 22 2(2 22 22 2
12、2 2名师伴你行返回目录返回目录 则则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根有两个不同的实根 当当a-时，时，x1-a,x2 时，时，x1-a,x2-a,f(x)在在f(x)的定义域内有两的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知个不同的零点，由极值判别方法知f(x)在在x=x1,x=x2处取处取得极值得极值.综上，综上，f(x)存在极值时，存在极值时，a的取值范围为的取值范围为(,+).所以所以f(x)的极值之和为的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+ln(x2+a)+=ln +a2-11-ln2=ln .2 22 2-a aa a-x x,2 22 2-a a-a a-x
13、 x2 22 22 21 12 22 22 22 21 1x x2 22 2x x2 212 2e e名师伴你行返回目录返回目录 考点三考点三 函数的最值与导数函数的最值与导数 【例【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100 km处开处开始骑自行车以每小时始骑自行车以每小时20 km的速度向正西方向前进的速度向正西方向前进.与此同与此同时，乙以每小时时，乙以每小时10 km的速度向其正北方向跑步前进的速度向其正北方向跑步前进.问经问经过多少时间甲、乙相距最近？过多少时间甲、乙相距最近？【分析【分析】引入变量，建引入变量，建立目标函数，用导数法立目标函数，用导
14、数法求最值求最值.名师伴你行返回目录返回目录【解析【解析】设经过设经过x小时甲、乙相距小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位，此时甲到达位置置A，乙到达位置，乙到达位置B.故故问题转化为在问题转化为在x0时，求时，求f(x)的最小值点的最小值点.令令f(x)=0得得x=4.在区间在区间(0,4)内内,f(x)0，函数，函数f(x)单调递增单调递增.故故x=4为其极小值点，也是最小值点为其极小值点，也是最小值点.所以当所以当x=4（小时）时，甲、乙两人相距最近为（小时）时，甲、乙两人相距最近为20 km.20 x)20 x)-(100(100(10 x)(10 x)f(x)f(x)2 22 2
15、.4 4)1 10 00 00 0(x x2 20 0 x x)-(1 10 00 0(1 10 0 x x)2 21 12 20 0 x x)(-2 20 0)-2 2(1 10 00 01 10 01 10 0 x x2 22 20 0 x x)-(1 10 00 0(1 10 0 x x)1 12 21 1(x x)f f2 22 22 22 2 5 5 名师伴你行返回目录返回目录【评析【评析】（1）注意到）注意到f(x)0，因而只要求出，因而只要求出f(x)2的最小值点的最小值点即可即可.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间
16、上函数只有一点使得间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧且在两侧f(x)的符号各异，的符号各异，一般称为单峰问题一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，此时该点就是极值点，也是最值点，也是最值点.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一经测算，一个桥墩的工程费用为个桥墩的工程费用为256万元，距离为万元，距离为x米的相邻两墩之米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（间的桥面工程费用为（2+）x 万元万元.假设桥墩
17、等距离假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工记余下工程的费用为程的费用为y万元万元.（1）试写出）试写出y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）当）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？最小？x x名师伴你行返回目录返回目录（1）设需新建）设需新建n个桥墩，则（个桥墩，则（n+1）x=m，即即 ，所以所以y=f（x）=256n+（n+1）（）（2+）x=256（）+（2+）x=+m +2m-256.1 1-x xm mn n x x1 1-x xm mx xm mx xx x256m2
18、56mx x名师伴你行返回目录返回目录（2）由（）由（1）知，）知，f(x)令令f(x)=0,得得 =512，所以，所以x=64.当当0 x64时，时，f（x）0，f（x）在区间（）在区间（0，64）内为减函数；当内为减函数；当64x640时，时，f(x)0,f(x)在区间在区间（64，640）内为增函数，所以）内为增函数，所以f（x）在）在x=64处取得最处取得最小值，此时小值，此时n=-1=-1=9.故需新建故需新建9个桥墩才能使个桥墩才能使y最小最小.512).512).(x(x2x2xm mmxmx2 21 1x x256m256m-2 23 32 22 21 12 22 23 3x
19、xx xm m6464640640名师伴你行返回目录返回目录 1.利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面:(1)是是 递增的充分条件而非必要条件递增的充分条件而非必要条件(也是如此也是如此);(2)求单调区间时求单调区间时,首先要确定定义域首先要确定定义域,然后根据然后根据 (或或 )解出定义域内相应的解出定义域内相应的x的范围的范围;(3)在证明不等式时在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域首先要构造函数和确定定义域,其次其次要运用求导的方法来证明要运用求导的方法来证明.(4)在求函数的单调区间时在求函数的单调区间时,几个单调增几个单调增
20、(减减)区间一般不要区间一般不要取并集取并集,还要分开写还要分开写,用用“和和”或或“,”连接连接,但不能用但不能用“或或”,要注意与的区别要注意与的区别.名师伴你行返回目录返回目录 0)x(f )x(f0)x(f 0)x(f 0)x(f 2.求函数的极值可分以下几条：（求函数的极值可分以下几条：（1）求出可能的点，即）求出可能的点，即f(x)=0的解的解x0与不可导点；（与不可导点；（2）用确定极值的方法确定）用确定极值的方法确定极值；（极值；（3）在）在a,b上的最值的求法：将上的最值的求法：将(a,b)内的极内的极值与值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当小值；当f(x)在在(a,b)内有一个可能的点时内有一个可能的点时，若在这一点，若在这一点处的处的f(x)有极大有极大（小）值，则可以确定（小）值，则可以确定f(x)在该点处取到在该点处取到最大（小）值最大（小）值.返回目录返回目录 名师伴你行
