1、9.1 概概 述述Introduction1.概述概述 结构矩阵分析结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的是采用矩阵方法分析结构力学问题的一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。矩阵位移法矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵是以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等进行分析，并用计算机解决各种杆系结构
2、受力、变形等的方法。的方法。手算怕繁、电算怕乱。手算怕繁、电算怕乱。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统位转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统位移法的基本未知量多一些。移法的基本未知量多一些。理论基础：位移法理论基础：位移法分析工具：矩阵分析工具：矩阵计算手段：计算机计算手段：计算机2.矩阵位移法的基本思路矩阵位移法的基本思路集合集合离散离散结构结构（有限）单元分析（有限）单元分析整体分析整体分析形成单元刚度矩阵；形成单元刚度矩阵；建立单元刚度方程。建立单元刚度方程。形成结构刚度
3、矩阵；形成结构刚度矩阵；建立结构刚度方程。建立结构刚度方程。单元杆端力、支座反力单元杆端力、支座反力结点位移分量结点位移分量矩阵形式的单元矩阵形式的单元转角位移方程转角位移方程（满足（满足物理关系）物理关系）矩阵形式的位移法矩阵形式的位移法基本方程基本方程（满足平衡条件、满足平衡条件、变形协调条件）变形协调条件）3.要解决的问题要解决的问题整体分析整体分析：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的组成规律和求解方法。组成规律和求解方法。编制程序编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称
4、为运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为程序设计。程序设计。离散化离散化：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码）和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码）单元分析单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力：研究单元的力学特性，建立单元杆端力和杆端位移的关系。和杆端位移的关系。9.2 单元分析单元分析Element analysis1.结构的离散化结构的离散化将一个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自将一个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自独立的单元，单元之间由结点连接，用此计算模型模拟独立的单元，单元之
5、间由结点连接，用此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。原结构的受力和变形特性。模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元的适当选取予以降低。的适当选取予以降低。主要工作：单元的划分；体系的数字化。主要工作：单元的划分；体系的数字化。单元应为单元应为等截面直杆等截面直杆，一根杆件可以划分为一个或，一根杆件可以划分为一个或几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。（1）结点编码、单元编码）结点编码、单元编码12345678910FPxyO 结构中一般的构造结点如杆结构中一般的构造结点如杆件的转折点、汇交点、支承
6、点、件的转折点、汇交点、支承点、变截面处应作为结点，而非构造变截面处应作为结点，而非构造结点，如集中荷载作用点也可以结点，如集中荷载作用点也可以作为结点处理。作为结点处理。整体坐标系（结构坐标系）：为研究结构整体平衡条件和变形协调整体坐标系（结构坐标系）：为研究结构整体平衡条件和变形协调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，以条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，以水平方向为水平方向为 x 轴。轴。结点编码的目的结点编码的目的：一是确定结构的空间位置和结构形状；二：一是确定结构的空间位置和结构形状；二是确定所计算结构总的未知数数目。是确定所计算结构总的未知数
7、数目。结点编码结点编码 对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。1 2 3 6 5 4 x y M,原则原则：相关结点相关结点（结点之间有（结点之间有杆件相连）的编码要尽可能的杆件相连）的编码要尽可能的接近。以减少总刚度矩阵的带接近。以减少总刚度矩阵的带宽，节约计算机存储空间。宽，节约计算机存储空间。汇交于结点的所有单元，
8、称为汇交于结点的所有单元，称为结点的结点的相关单元相关单元。单元编码的目的单元编码的目的：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的相应位置。相应位置。单元编码单元编码 单元编码方式对单元编码方式对计算结果没有影响。计算结果没有影响。对于大型结构一般按对于大型结构一般按照单元的类型进行编照单元的类型进行编码，同一类型的单元码，同一类型的单元连在一起编码。连在一起编码。123101112456789159481226103711结点结点编码编码练习：练习：12310111245678913（2）结点位移编码）结点位移编码结点位移的统一编码结点位移的统一编码 整体码
9、整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点位移，用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编码。这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编码。矩阵位移法基本未知量的确定：矩阵位移法基本未知量的确定：矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与单元如何矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序有关。划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序有关。按照结点编码顺序进行；按照结点编码顺序进行；同一结点按照同一结点按照 x y 顺序进行；顺序进行；平面梁每个结点只有两个独立的位移分量；平面梁每个结点只有两
10、个独立的位移分量；平面桁架每个结点只有平面桁架每个结点只有2个独立的位移分量；个独立的位移分量；平面刚架每个结点只有平面刚架每个结点只有3个独立的位移分量；个独立的位移分量；相同的结点位移应编成同一个号码。相同的结点位移应编成同一个号码。编码时要考虑以下因素：编码时要考虑以下因素：位移边界条件的处理位移边界条件的处理 根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理法和后处理法。同一结构采用后处理法或先处理法计算，基本未知法和后处理法。同一结构采用后处理法或先处理法计算，基本未知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不相同。量
11、的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不相同。后处理法是在形成结构原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。后处理法是在形成结构原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。对所有的结点位移分量按照结点编码进行自然数顺序编码，包括已对所有的结点位移分量按照结点编码进行自然数顺序编码，包括已知位移和未知位移分量。知位移和未知位移分量。先处理法是在形成结构总刚度方程之前，已引入了位移边界条先处理法是在形成结构总刚度方程之前，已引入了位移边界条件和特定的位移关系。件和特定的位移关系。仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序编仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序编码，而对那些已知的结点位移分量，编码均取为码，而对那些已
12、知的结点位移分量，编码均取为0。1（1,2）3（5,6）4（7,8）2（3,4）1（0,0）3（2,3）4（4,5）2（1,0）3 5 4(4,5,6)(7,8,9)1 2(1,2,3)(10,11,12)(13,14,15)3 5 4(1,0,2)(3,4,5)1 2(0,0,0)(0,6,0)(7,8,9)结构变形情况结构变形情况 同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全相同，但是结点形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全相同，但是结点位移分量的编码却不相同。不计直杆轴向变
13、形时，未知的结点位移位移分量的编码却不相同。不计直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数目要少一些。分量数目要少一些。3 5 4(1,0,2)(3,4,5)1 2(0,0,0)(0,6,0)(7,8,9)3 5 4(0,0,1)(0,0,2)1 2(0,0,0)(0,3,0)(4,0,5)练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点位移分量编码。位移分量编码。12310111245678913参考答案：参考答案：1(1,0,0)2(2,3,4)3(5,6,7)10(17,18,19)11(17,18,20)12(17,18,21)4(0,0,8)5(9,10,11)
14、6(9,10,12)7(13,14,15)8(13,14,16)9(0,0,0)13(22,23,24)杆端位移分量的编码杆端位移分量的编码 局部码局部码 i j；x y 轴力单元：轴力单元：14；一般单元：；一般单元：16。3(5,6,7)8(13,14,16)ije1(1,2,3)2(4,5,6)ij2.单元分析单元分析 建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。单元分析，形成的方程称单元刚度方程。不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形式，但总的思想不变。式，但总的思
15、想不变。按照单元的受力情况，可将单元分为按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元刚架单元和和桁架单元桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存在轴力。在轴力。x y e x y j i 局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所建立的坐标系。建立的坐标系。局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用表示。表示。的方向的方向以以 x 轴向轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个
16、结构中，各单元的局轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局部坐标系也不完全相同。部坐标系也不完全相同。（1）单元杆端力和杆端位移的表示方法）单元杆端力和杆端位移的表示方法ije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F4F1F2F3FejQjNjiQiNieejieMFFMFFFFFFFF654321FFF，ejjjiiieejievuvu654321符号规定：杆端力、杆端位移与局部符号规定：杆端力、杆端位移与局部坐标系正方向一致时为正坐标系正方向一致时为正（2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵11elEAk11lEAk4114elEAk14lEAk44ije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F
17、4F1F2F3F03121 kk06151 kk03424 kk06454 kkije5 3 6 1 2 4 6F5F4F1F2F3Fe12012k042k32212lEIk2326lEIk35212lEIk2626lEIkxyOe15015k045k32512lEIk2356lEIk35512lEIk2656lEIkije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F4F1F2F3Fe13013k043k2236lEIklEIk4332536lEIklEIk263e16016k046k2266lEIklEIk2362566lEIklEIk466ejjjiiieejQjNjiQiNivuvulEIlE
18、IlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF460260612061200000260460612061200000222323222323elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeFFFFFF654321462661261226466126126543212223232223230000000000000000 eeekF 局部坐标系下的单元刚度方程局部坐标系下的单元刚度方程 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵 ee
19、lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323（3）单元刚度矩阵的性质与特点单元刚度矩阵的性质与特点 eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 第第 j 列元素的物理意列元素的物理意义义：第：第 j 号杆端位移沿号杆端位移沿其正向发生单位位移，其
20、正向发生单位位移，而其它杆端位移均为而其它杆端位移均为 0 时，该单元全部杆端力时，该单元全部杆端力的大小。的大小。(1)(2)(3)(4)(5)(6)11u11v1112u12v12(1)(2)(3)(4)(5)(6)元素元素 kij 的的物理意义物理意义：单位杆端位移引起的杆单位杆端位移引起的杆端力。端力。eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 局部坐标系下的单元刚度局部坐标系下的单元刚度矩阵只与矩阵只与单元
21、本身的属性单元本身的属性，如单元长度、材料弹性模量、如单元长度、材料弹性模量、横截面面积、横截面惯性矩横截面面积、横截面惯性矩等有关等有关。单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是对称方对称方阵阵，这一点可由反力互等定，这一点可由反力互等定理得到证明。理得到证明。ejjjiijiiekkkkk eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 一般单元的单元刚度矩阵一般单元的单元刚度矩阵是是奇异矩阵奇异矩阵，不存在逆矩阵。，不存在逆矩
22、阵。因此，已知杆端位移可以确定因此，已知杆端位移可以确定杆端力，而已知杆端力则不能杆端力，而已知杆端力则不能确定杆端位移；梁单元的单元确定杆端位移；梁单元的单元刚度矩阵是非奇异的。刚度矩阵是非奇异的。单元刚度矩阵可以用子块单元刚度矩阵可以用子块形式表示：形式表示：（4）特殊单元）特殊单元不计轴向变形的刚架单元：不计轴向变形的刚架单元：eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIk46266126122646612612222323222323梁式单元：梁式单元：eelEIlEIlEIlEIk4224桁架单元：桁架单元：eelEAlEAlE
23、AlEAk eelEAlEAlEAlEAk0000000000003.坐标转换坐标转换（1）问题的提出）问题的提出xyOxyO？（2）坐标转换（刚架单元）坐标转换（刚架单元）x1 2 3 4 6 5 4 6 5 1 2 3 e12x sincos211 cossin212 33 1 321321 1 10000cossinsincosx1F2F3F4F6F5F4F6F5F1F2F3Fe12x sincos211FFF cossin212FFF 33FF 1 F 321321 1 10000FFFFFFFcossinsincos eeT212100 iiFF ii 1000000cossin00
24、00sincos0000001000000cossin0000sincoseT eeFTFFFFF212100单元单元 的坐标转换矩阵的坐标转换矩阵e T1TT-ITTT 坐标转换矩阵是一个正交矩阵坐标转换矩阵是一个正交矩阵（2）坐标转换（桁架单元）坐标转换（桁架单元）eT x1 2 3 4 4 1 2 3 e12x sincos211 sincos432 432121sincos0000sincos e sincos0000sincosT TkTkeeT eelEAlEAlEAlEAk（2）坐标转换（桁架单元）坐标转换（桁架单元）x1 2 3 4 4 1 2 3 e12x cossinsin
25、coscossinsincos-000000-00T TkTkeeT eelEAlEAlEAlEAk000000000000（3）整体坐标系下的单元刚度矩阵）整体坐标系下的单元刚度矩阵 eeFTF eeeTkFT eeekF eeekF eeT eeeTkTFTT11 TTT 1-eeTeeTkTk整体坐标系下的整体坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵整体坐标系下的整体坐标系下的单元刚度方程单元刚度方程 eeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaak6534216546532534214212称对lEIalEIlEAalEIalEIlEAalEIalEIlEAa4cos12sincos6sin
26、cos12sin6sin12cos623232532242321O90 eelEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIk406206000060126012206406000060126012222323222323 eeSSCCSSCSSCCSCClEAk222222称对sin,cosSC坐标转换例题坐标转换例题例：求整体坐标系下的单元刚度矩阵。其中例：求整体坐标系下的单元刚度矩阵。其中 l=2m，EA=1.2 106kN。ll124312单元单元 0 kN/m1111106511 k k 00000101000001011065单元单元 45 TkTk2T2 scsc scsc.00001111000010242645 111111111111111110242645.7070cos.c 7070sin.s 下一步做什么？下一步做什么？在建立单元刚度方程的基础上，要通过在建立单元刚度方程的基础上，要通过结点平衡得到结构的整体平衡方程结点平衡得到结构的整体平衡方程 整体整体分析。分析。谢谢 谢谢!2006.8
