1、第十六章 四边形 专题：专题：动手操作类问题动手操作类问题胡秋生胡秋生 动手操作类问题中的等积变换问题动手操作类问题中的等积变换问题 动手操作型试题主要包括：折纸与剪纸；图形动手操作型试题主要包括：折纸与剪纸；图形的分割与拼合；图形的平移、翻折与旋转变换；的分割与拼合；图形的平移、翻折与旋转变换；几何体的展开与叠合；点线的运动变化等问题；几何体的展开与叠合；点线的运动变化等问题；题型从单一的选择、填空，到猜想、论证、分题型从单一的选择、填空，到猜想、论证、分类讨论等综合题类讨论等综合题 本专题主要研究操作型问题中的本专题主要研究操作型问题中的等积变换问题等积变换问题.动手操作类问题中的等积变换
2、问题动手操作类问题中的等积变换问题 四巧板这个好玩的游戏，是建立在几个四巧板这个好玩的游戏，是建立在几个简单的几何图形和它们的组合基础之上的。简单的几何图形和它们的组合基础之上的。这些简单几何图形通过巧妙拼接，可以构这些简单几何图形通过巧妙拼接，可以构成许多不同的图案，这些图案虽然形状不成许多不同的图案，这些图案虽然形状不同，但是它们之间存在着一个等量关系：同，但是它们之间存在着一个等量关系：面积相等面积相等.1 1北京市北京市20062006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：挑战中考挑战中考22.22.请阅读下列材料：问题：现有5个边
3、长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形小东同学的做法是：设新正方形的边长为 依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，解得 由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形)0(xx52x5x1 1北京市北京市20062006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：挑战中考挑战中考请你参请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，
4、请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形说明：直接画出图形，不要求写分析过程说明：直接画出图形，不要求写分析过程1 1北京市北京市20062006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标卷）：挑战中考挑战中考类类比比2 220092009年北京市高级中等学校招生考试：年北京市高级中等学校招生考试：挑战中考挑战中考22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形他的做法是：按
5、图2所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点O旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG请你参考小明的做法解决下列问题：图1图2（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；2 220092009年北京市高级中等学校招生考试：年北京市高级中等学校招生考试：挑战中考挑战中考22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸
6、片绕AB的中点O旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG请你参考小明的做法解决下列问题：图1图2（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）2 220092009年北京市高级中等学校招生考试：年北京市高级中等学校招生考试：挑战中考挑战中考PNMQFEHGDABCCDBACDBA类类比比3 320102010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷年北京市西城区抽样测试初三数学试卷挑战中考挑战
7、中考22、在ABC中，BC=a，BC边上的高h=2a，沿图中线段DE、CF将ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示请你解决如下问题：已知：如图2，在ABC中，BC=a，BC边上的高 请你设计两种不同的分割方法，将ABC沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形,21ah 3 320102010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷年北京市西城区抽样测试初三数学试卷挑战中考挑战中考直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下法如下:挑战中考挑战
8、中考 中点 中点?挑战中考挑战中考 中点 中点 转转化化挑战中考挑战中考F图1ABCE DHG（2ba）挑战中考挑战中考图3FABCDE图4FABCDE图2FABC(E)D（2ba）（a2b2a）（ba）F图1ABCE DHG（2ba）类类比比其它类型其它类型(图甲图甲)(图乙图乙)图图 1图图 2其它类型其它类型其它类型其它类型15其它类型其它类型 41025其它类型其它类型其它类型其它类型当n=2时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是当n=3时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是当n=4时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是归纳规律：第n个四边形MNPQ与正方形ABCD的
9、面积比是51121225210413222179143221n1-n22?C?P?G?D?Q?H?M?N?F?B?E?A其它类型其它类型（2）还原正方形的方法还是根据面积不变原则先计算现在的面积是）还原正方形的方法还是根据面积不变原则先计算现在的面积是10，所以正，所以正方形边长应该是方形边长应该是 ，由，由 =应该是应该是13矩形的对角线。答案如下图矩形的对角线。答案如下图。10102231 D C B A小结小结小结小结类类比比割割补补转转化化全全等等实实验验动手：动手：操作：操作：折、剪、割、拼；折、剪、割、拼；平移、旋转、翻折；平移、旋转、翻折；动手操作类问题中动手操作类问题中的等积变换问题的等积变换问题
