1、20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1 1复习复习:平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为,0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx 故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000 xxyxFx 0)(00 xxxf )()(100 xxxf 在点在点有有有有因因 0)(),(000 yyyxF
2、x),(00yxFy)(0 xx 20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2 2)(000 xxxfyy 000)(1xxxfyy 000,/)(,1yyxxxf 000)(1yyxfxx 000,)(,1yyxxxf 0)(000 yyxfxx20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3 3一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位
3、置位置.TM空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4 41.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(,)(,)(:tztytx zzzyyyxxx 000,t 上述方程之分母同除以上述方程之分母同除以得得令令,0 t切线方程切线方程000zzyyxx ),(0000zyxMtt对应对应设设),(0000zzyyxxMttt 对应对应)(0t
4、)(0t )(0t TMM:的的方方程程割割线线MM 20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5 5)(00 xxt 此处要求此处要求)(,)(,)(000ttt 也是法平面的法向量也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量.)()(00yyt 0)(00 zzt 如个别为如个别为0,则理解为分子为则理解为分子为 0.M不全为不全为0,)(,)(,)(000tttTT因此得因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数若引进向量函数)(,)(,)()(ttttr,
5、则则 为为 r(t)的矢端曲线的矢端曲线,0t而在处的导向量处的导向量)(,)(,)()(0000ttttr就是该点的切向量就是该点的切向量.o)(trT20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数6 6zyxo例例1.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 kzRyRx ,sin,cos2 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.,2时时当当 切线方程切线方程 Rx法平面方程法平面方程xR 022 kzkxR 即即 002RykRzRxk 即即解解:由于由于,sin Rx 0Ry kkz2 ,cos R
6、y ,kz ),0(20kRM 对应的切向量为对应的切向量为0)(2 kzk 在在),0,(kRT,故故20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数7 72.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线 0),(0),(:zyxGzyxF当当0),(),(zyGFJ )()(xzxy xydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxMxyz,且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时时,可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),()
7、,(1,1)(,)(,100 xxT20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数8 8 000zzyyxx MzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的
8、应用 8_7 8_7方向导数方向导数9 90)()()()()()(000 MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF 法平面方程法平面方程0)(),(),(0 zzMyxGF20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1010例例2.求曲线求曲线0,6222 zyxzyx在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程切线方程610261 zyx解法解法1 令令,222z
9、yxGzyxF 则则即即 0202yzx切向量切向量;0),(),(MxzGFMzy1122 Mzy)(2 ;6 xyz6),(),(MyxGF)6,0,6(T20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1111法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6 zyx即即0 zxxxzzxyy dddd解法解法2.方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得1dddd xzxy1111ddzyxyxz 11ddzyxy 曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得11 zx,zyxz zyyx
10、)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,120222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1212切线方程切线方程121 zyx即即 0202yzx法平面方程法平面方程0)1()1()2(0)1(1 zyx即即0 zx点点 M(1,2,1)处的处的切向量切向量011)1,0,1(T20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1313解法解法3.3.0,6222 zyxzyxM(1,2,1)222,zyxzyxF zyxzyxFFFzyx
11、,/2,2,2,=(1,2,1)1,1,1,zyxGGG11112121 kjinnT 3,0,3 1,0,1/下面的解法相同。下面的解法相同。20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数14140),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点),(000zyxM0tt 设设对应点对应点 M,)(,)(,)(000ttt 切线方程为切线方程为)()()(000000tzztyytxx 不全为不全为0.则则 在在,)(,)(,)(:tztytx 且且
12、点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线MT下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.)(,)(,)(000tttT20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1515MT证证:在在 上上,)(,)(,)(:tztytx 0)(,)(,)(tttF ,0处求导处求导两边在两边在tt ,0Mtt对应点对应点注意注意)(0t 0),(000zyxFx),(000zyxFy)
13、,(000zyxFz)(0t )(0t 得得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令nT 切向量由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量n的平面上的平面上,从而切平面存在从而切平面存在.n20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1616)(),(0000 xxzyxFx 曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx )(),(0000yyzyxFy 0)(,(000
14、0 zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1717)(),(000 xxyxfx 曲面曲面时时,),(yxfz zyxfzyxF ),(),(则在点则在点),(zyx故当函数故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1 zF令令有有在点在点),(000zy
15、x 特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy 0zz,xxfF 切平面方程切平面方程20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1818 ,法向量法向量用用2211cosyxff 将将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向并假定法向量方向.为为锐锐角角则则 分别记为分别记为则则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff 向
16、上向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1919例例3.求球面求球面3632222 zyx在点在点(1,2,3)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解:3632),(222 zyxzyxF所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程)1(2x03694 zyx即即法线方程法线方程321 zyx)2(8y0)3(18z149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n20222022年年1212月月9
17、 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2020例例4.确定正数确定正数 使曲面使曲面 zyx222zyx 在点在点),(000zyxM解解:二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切,故故000000000zyxyzxxzy 0 x202020zyx 又点又点 M 在球面上在球面上,32202020azyx 故故于是有于是有000zyx 2a 相切相切.333a 与球面与球面,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有因此有20y20z220222022年年12
18、12月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数21211.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx 法平面方程法平面方程)(00 xxt 1)参数式情况参数式情况.)()()(:tztytx 空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结)(0t )(0t )(0t )()(00yyt 0)(00 zzt)(,)(,)(000tttT20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2222切线方程切线方程法平面方程
19、法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000 空间光滑曲线空间光滑曲线 0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量切向量2)一般式情况一般式情况.,),(),(MzyGF ,),(),(MxzGF MyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2323空间光滑曲面空间光滑曲面0),(:zyxF曲面曲面 在点在点法线方程法线方程),(0000
20、zyxFxxx),(0000zyxFyyy ),(0000zyxFzzz )(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx 1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2424空间光滑曲面空间光滑曲面),(:yxfz )(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzy
21、x 切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff 2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff 法向量法向量)1,(yxffn20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2525思考与练习思考与练习1.如果平面如果平面01633 zyx 与椭球面与椭球面相切相切,提示提示:设切点为设切点为,),(000zyxM则则223yx .求求000226zyx 3301633000 zyx 16
22、3202020 zyx2 162 z(二法向量平行二法向量平行)(切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2626证明证明 曲面曲面)(xyfxz 上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点,),(000zyxM则通过此则通过此 0zz)(0 xxxzM )(0yyyzM 2.设设 f(u)可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为点的切平面为20222022年
23、年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数27273.求曲线求曲线 0453203222zyxxzyx在点在点(1,1,1)的切线的切线解解:点点(1,1,1)处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线由此得切线:1191161 zyx法平面法平面:0)1()1(9)1(16 zyx024916 zyx即即与法平面与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8
24、_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2828 4.证明曲面证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行与定直线平行,.),(可微可微其中其中vuF证证:曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立.的所有切平面恒的所有切平面恒(n,0nl),1,(nml 20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2929 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意
25、义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3030l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数若函数),(zyxf f 0lim则称则称lf lf ,)()()(222zyx ,cos x,cos y cos z为函数在点为函数在点 P 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf 在点在点 ),(zyxP处处沿方向沿方向 l(方向角为方向角为 ,)存在下列极限存在下列极限:P记作记作 20222022年年1212
26、月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3131,),(),(处处可可微微在在点点若若函函数数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在,flf 0lim coscoscoszfyfxflf .,的方向角的方向角为为其中其中l 证明证明:由函数由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf 且有且有)(o 在点在点 P 可微可微,得得P故故 coscoscoszfyfxf 20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D
27、8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3232对于二元函数对于二元函数,),(yxf为为,)的方向导数为的方向导数为方方处沿方向处沿方向在点在点(),(lyxP ),(),(lim0yxfyyxxflf cos),(cos),(yxfyxfyx ,)()(22yx )cos.,cos yxPlxyoxflf 特别特别:当当 l 与与 x 轴同向轴同向 有有时时,2,0 当当 l 与与 x 轴反向轴反向 有有时时,2,xflf l向角向角20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3
28、333例例1.求函数求函数 在点在点 P(1,1,1)沿向量沿向量zyxu2 3,1,2 l的方向导数的方向导数.,142cos Plu)1,1,1(146,141cos 143cos 1422 zyx1412 zx 1432yx解解:向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3434例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 x
29、oy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4,1(174cos120222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3535例例3.设设是曲面是曲面n在点在点 P(1,1,1)处处指向外侧的法向量指向外侧的法向量,解解:方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos 141cos 而而Pxu ,148 Pyu14 Pzu Pnu同理得同理得)1,3,2(2 632222 zyx方向方向的方向导数的方向导数.Pzyx)2,6,4(146 711 1143826141 Pyxzx22866 zyx
30、u2286 在点在点P 处沿处沿求函数求函数nn20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3636二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D
31、8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数37371.定义定义,fadrg即即fadrg同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxP yfxfjyfixff,grad称为函数称为函数 f(P)在点在点 P 处的梯度处的梯度 zfyfxf,kzfjyfixf 记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导
32、数3838函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线或等值线),面上的投面上的投在在曲线曲线xoyCzyxfz ),(CyxfL),(:*影影称为函数称为函数 f 的的等值线等值线.,不同时为零不同时为零设设yxff则则L*上点上点P 处的法向量为处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf)(321ccc设P同样同样,对应函数对应函数,),(zyxfu 有等值面有等值面(等量面等量面),),(Czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时,其上其上 点点P处的法向量为处的法向量为.gradPf,),(yxfz 对函数对函数指
33、向函数增大的方向指向函数增大的方向.20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数39393.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4040例例4.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点为点其中其中 证证:
34、xrf )()(rf yrf)()(gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)(rzrfzrf)()(0)(rrf jyrf )(kzrf )(xrrf )(222zyxx Pxozy,)(ryrf ixrf )(试证试证rxrf)(.)()(radg0rrfrf处矢径处矢径 r 的模的模,r20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4141三、物理意义三、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场(数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数可微函数)(Pf梯度场梯
35、度场)(gradPf(势势)如如:温度场温度场,电位场等电位场等如如:力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4242例例5.已知位于坐标原点的点电荷已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点在任意点),(4222zyxrrqu ),(zyxP试证试证证证:利用例利用例4的结果的结果 这说明场强这说明场强:处所产生的电位为处所产生的电位为垂直于等位面垂直于等位面,且指向电位减少的方向且指向电位减少的方向.
36、Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4343内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数三元函数),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l(方向角方向角),为为的方向导数为的方向导数为 coscoscoszfyfxflf 二元函数二元函数),(yxf在点在点),(yxP),的方向导数为的方向导数为 coscosyfxflf 沿方向沿方向 l(方向角为方向角为yfxf cos sin20222022
37、年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数44442.梯度梯度 三元函数三元函数),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为 zfyfxff,grad 二元函数二元函数),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx 3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微0gradlflf梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数45
38、45思考题思考题20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4646思考题解答思考题解答xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy|lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4747沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,)0,0(),(lim0)0
39、,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4848思考与练习思考与练习1.设函数设函数zyxzyxf2),(1)求函数在点求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在求函数在 M(1,1,1)处的梯度与处的梯度与(1)中切线方向中切线方向 的夹角的夹角 .2.P73 题题 162022202
40、2年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4949,),(2zyxzyxf zyxfff,1,1,11ln,2yyzyxzz 0,1,2 20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5050,),(2zyxzyxf 曲线曲线 12 32tztytx1.(1)在点在点)3,4,1(1dd,dd,dd ttztytx )1,1,1(coscoscos zyxMffflf266 解答提示解答提示:函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数lM(1,1,1
41、)处切线的方向向量处切线的方向向量 0,1,21,1,1 gradf20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5151)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad 1306 1306arccosMfgradl cos Mfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM 4204204202czbyax 2.P73 题题 165grad Mf20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导
42、数方向导数5252备用题备用题 1.函数函数)ln(222zyxu 在点在点)2,2,1(M处的梯度处的梯度 Mugrad)2,2,1(,grad zuyuxuuM解解:,222zyxr 令令则则 xu21rx2 注意注意 x,y,z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2 rzryrx)2,2,1(92 )2,2,1(92(考研题考研题)20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5353精品课件精品课件！20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5454精品课件精品课件！20222022年年1212月月9 9日星期五日星期五D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5555指向指向 B(3,2,2)方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A(1,0,1)处沿点处沿点Axd d2.函数函数)ln(22zyxu 提示提示:31,32,32则则cos,cos,cos Axu)1ln(x1x,21 yd d Ayu)11ln(2 y0 y,0(考研题考研题),)1,2,2(AB0ABl 2121 Azu coscoscoszuyuxulu 21
