1、5-6 5-6 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能一、一、静电场力所作的功：静电场力所作的功：点电荷的静电场力作的功与路径形状无关，点电荷的静电场力作的功与路径形状无关，仅与试仅与试探探 电荷及路径的初、末位置有关。电荷及路径的初、末位置有关。0dddWFlq ElrrQqd4200 dbabaWW lEqdcos0 barrrrQqd14200 )11(400barrQq rEqd0 设设 Q 为激发电场的场源电荷，试探为激发电场的场源电荷，试探电荷电荷 q0 沿一路径从沿一路径从 a 运动到运动到 b。rEld0qQabarbrrd 推广：推广：任意带电体的静电场力作的功与路径
2、形状无关，任意带电体的静电场力作的功与路径形状无关，仅与试探电荷及路径的初、末位置有关。仅与试探电荷及路径的初、末位置有关。静电场力为保守力。静电场力为保守力。二、静电场的环路定理：二、静电场的环路定理：00LWq Ed l 静电场力是保守力静电场力是保守力1L2Lba0q 静电场的环路定理静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分（环流）恒为零。分（环流）恒为零。0d LlE1200ddaL bbL aWqElqEl221dddbL aaL baL bElElEl 1）静电场的环路定理反映了静电场的性质）静电场的环路定理反映了静电场的
3、性质 无旋场无旋场。2）静电场的环路定理和高斯定理共同反映静电场的性质。）静电场的环路定理和高斯定理共同反映静电场的性质。0d:d:0无旋场无旋场静电场是有源静电场是有源无旋场无旋场环路定理环路定理有源场有源场高斯定理高斯定理LSlEqSE说明说明三、电势差、电势三、电势差、电势:在静电场中在静电场中，可以引入电势能（，可以引入电势能（W）。）。静电场力所作的功等于电荷电势能的改变量。静电场力所作的功等于电荷电势能的改变量。0dABpApBpBpAABWqElEE(EE)若选若选 B 点为电势能零点，则点为电势能零点，则 00BPAAABEqE d lqE d l 试探电荷试探电荷q o 在电
4、场中某一点的静电势能在电场中某一点的静电势能在数值上等于在数值上等于把试探电荷把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。由该点移到零势能点静电力所作的功。2）静电势能的大小是相对的）静电势能的大小是相对的;1）静电势能是属于系统的）静电势能是属于系统的;1、电势能、电势能 说明说明rrQqlEqWaraad4d2000是势能零点。是势能零点。点点00,d0plEqWPPP电势能是相对的，若选电势能是相对的，若选 P0 点电势能为零点电势能为零,则有则有 例例：q0 在在 Q 的场中的场中a 点的电势能点的电势能(选选无穷远无穷远处为零电势能点处为零电势能点)若若电荷分布在有限范围内，
5、习惯取无穷远处电势能为零电荷分布在有限范围内，习惯取无穷远处电势能为零，则有，则有:pplEqWd0arQq004 arrQq1)1(4002 2、电势、电势差、电势、电势差 ：（1）、定义：）、定义：00dpPAaaEVElq 等于单位正电荷沿任意路径从该点移动到零电势等于单位正电荷沿任意路径从该点移动到零电势 点静电场力所作的功。点静电场力所作的功。若电荷分布在若电荷分布在有限范围内有限范围内，则可取，则可取无穷远处无穷远处电势为零电势为零:0daaaWVElq 电势的物理意义：电势的物理意义：等于单位正电荷在该点所具有的电势能等于单位正电荷在该点所具有的电势能。电势是描述电场性质的物理量
6、，与试验电荷无关。电势是描述电场性质的物理量，与试验电荷无关。电势是空间场点的标量函数。电势是空间场点的标量函数。说明说明ddppababUElEl bppalElEdddbababaUVVEl ababUVV（2）、电势差：）、电势差：0abababWWWq V 1、电势是相对的，与零点的选择有关。、电势是相对的，与零点的选择有关。电势差是绝对的，与零点的选择无关。电势差是绝对的，与零点的选择无关。2、电势、电势、电势差、功、电势能的关系：电势差、功、电势能的关系：将单位正电荷从将单位正电荷从a 点移到点移到b 点静电场力作的功。点静电场力作的功。物理意义：物理意义：0aaWq V 说明说明
7、四、电势叠加原理四、电势叠加原理：ddprrVElEr 1、点电荷的电势、点电荷的电势：rqrrqr0204d4 2、电势叠加原理、电势叠加原理-点电荷系的电势点电荷系的电势:dpPVEl 12nVVV lEEEnpd)(21 1014niPpiiiiqVVr 即：即：04qVr 代数和代数和 ！proq说明说明3、连续分布的带电体的电势：、连续分布的带电体的电势：01dd4qVr 01d4qVr 01d4VVr 01d4SVr 01d4lVr 三种典型的电荷分布情况三种典型的电荷分布情况：4、电势的计算方法：、电势的计算方法：1）由定义来求）由定义来求:(电场分布已知或容易得到电场分布已知或
8、容易得到)dABA BVElV 2）叠加法）叠加法:(电荷分布已知电荷分布已知)01d4qVr （空间积分）（空间积分）（带电体积分）（带电体积分）例题例题1 1 带电圆环中心轴线上的电势分布。电量为带电圆环中心轴线上的电势分布。电量为q,q,半径为半径为R R解解 1)叠加法，取微元：叠加法，取微元：dq01dd4pqVr 01d4pqVqr 2204xRq rq041 2)定义法定义法:0dpppVEl plEdxxRqxxd)(42/3220 xxRq2/1220)(142204xRq oRp xxzyqdr特例特例:若若x=0，04pqVR 得得：0 E而而2204pqVRx 由由场强
9、分布场强分布电势分布电势分布qoRp xx例题例题2 2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q Q，球面半径为，球面半径为R R。解解 由高斯定理得：由高斯定理得：0 内内E2041rQE 外外1）对球内的一点）对球内的一点P，其电势为其电势为:ddppVElEr RRrrrQr20d4d0 2）对球外的）对球外的P 点，其电势为：点，其电势为：rQ04 20d4rQVrr RQ04 RppQrr02aaVE dldr 解解:若取无穷远处为电势零点，沿垂直若取无穷远处为电势零点，沿垂直带电平面的路径积分，则带电平面的路径积分，则l d0aVE dl 若取无穷
10、远处为电势零点，沿平行若取无穷远处为电势零点，沿平行带电平面的路径积分，则带电平面的路径积分，则l d例题例题3一均匀带电的无限大平板一均匀带电的无限大平板,面电荷密度为面电荷密度为。求平面外一点。求平面外一点 a的电势的电势.02Ea上述结果不合理并且相互矛盾。其原因是：逻辑上的矛盾。上述结果不合理并且相互矛盾。其原因是：逻辑上的矛盾。电荷分布在无限空间时，一般取有限远处为电势参考点。电荷分布在无限空间时，一般取有限远处为电势参考点。四、电势参考点选取原则：四、电势参考点选取原则：使电场中各点的电势有确定的有限值的使电场中各点的电势有确定的有限值的前提下，能使电势的解析式最简单的参考点是最恰
11、当的参考点。前提下，能使电势的解析式最简单的参考点是最恰当的参考点。确定最恰当参考点的方法：确定最恰当参考点的方法：0022VE dlCdxCxC 当当：0V 时令时令0C则则0 x势函数的解析式为：势函数的解析式为：02Vx 若取若取 处的点处的点(即平面处即平面处)为零电势点，则距平面为零电势点，则距平面 处处的电势为的电势为:这是势函数最简单的解析式。所以这是势函数最简单的解析式。所以 处是最恰当的参考点。处是最恰当的参考点。0 x0 xx02Vx 结论：确定最恰当参考点的方法是：作不定积分，通过令结论：确定最恰当参考点的方法是：作不定积分，通过令0V 取积分常数等于零可得到最恰当的参考
12、点和最简单的势取积分常数等于零可得到最恰当的参考点和最简单的势函数。函数。iE02xdx例题例题4一均匀带电的无限大平面，面电荷密度为一均匀带电的无限大平面，面电荷密度为。求平面外一。求平面外一 点点a 的电势的电势.解解:令令V=0、C=0，则可以得到，则可以得到 r=0 处为处为零电势点。零电势点。0daarVEr rard200 002arr ar02 讨论：讨论：若若为正，则场中电势为负值。为正，则场中电势为负值。00dd22rVErrC 首先确定零电势点的位置，作不定积分首先确定零电势点的位置，作不定积分故距平面故距平面ra 处的电势为处的电势为:rUUr若若为负，则场中电势为正值。
13、为负，则场中电势为正值。例题例题5 5 有一无限长均匀带电直线（线电荷密度为有一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）。求直线外一）。求直线外一点点P P 处的电势。处的电势。rrE20 解解 由高斯定理得直线外的电场强度为由高斯定理得直线外的电场强度为:作不定积分作不定积分:dVEl Cr ln20 rrd20 若选取若选取C =0，可计算出可计算出r=1 处处 的的 B 点电势为零，即选点电势为零，即选取取 B 点为零势点，则点为零势点，则 P 点电势为：点电势为：100dln22prVrrr 结果表明结果表明:当当r=1m 时，时，V=0;当当r 1m 时，时，V 0;当当r 0。Ur1 证
14、明：设证明：设A A、B B 是等势面上的两点，则有是等势面上的两点，则有:0ABABWq(VV)而而0BBABAAWqE dlqE cosd l AB A、等势面与电场线正交。、等势面与电场线正交。2、等势面的三条性质、等势面的三条性质 1、等势面：、等势面：电势相等的点在空间连成的曲面电势相等的点在空间连成的曲面(或平面或平面)。五、场强与电势的关系：五、场强与电势的关系：3、场强与电势的微分关系：、场强与电势的微分关系：B、等势面密处场强大，稀疏处场强小。、等势面密处场强大，稀疏处场强小。C、电场线的方向指向电势减小的方向。、电场线的方向指向电势减小的方向。电场中任意两个相邻等势面之间的
15、电势差都相等。电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等。将单位正电荷由点将单位正电荷由点A移到点移到点B，电，电场力所作的功为：场力所作的功为：ddABldVVVElE lcosE d l EVdVV ldBA ddlElV ddlVEl 都不为零都不为零其中其中lEqd,2,0cos 故故在任何静电场中，电场线与等势面正交。在任何静电场中，电场线与等势面正交。电场中某点的电场强度沿某一方向的分量，等于电势电场中某点的电场强度沿某一方向的分量，等于电势 沿该方向的空间变化率的负值沿该方向的空间变化率的负值.等势面密处场强大，稀疏处场强小。等势面密处场强大，稀疏处场强小。电场线的方向指向电势降
16、落的的方向。电场线的方向指向电势降落的的方向。电场强度的方向为电势空间变化率最大的方向。电场强度的方向为电势空间变化率最大的方向。xyzVVVE,E,Exyz )(zkyjxi EV 在静电场中，场强等于该点电势梯度的负值。在静电场中，场强等于该点电势梯度的负值。求场强的三种方法求场强的三种方法:1、由电荷分布及叠加原理计算。、由电荷分布及叠加原理计算。2、由高斯定理计算。、由高斯定理计算。3、场强与电势梯度的关系。、场强与电势梯度的关系。EVdVV ldBA 在在P处的处的 电势为电势为:2201dd4qVxy 220d2yxyy2200d2Ry yVxy Ryx02202|)|(2220
17、xRx 由场强和电势的关系：由场强和电势的关系：22012xVxEExxR POxR 例题例题6一均匀带电圆板，半径为一均匀带电圆板，半径为R，已知面电荷密度。求圆板轴，已知面电荷密度。求圆板轴 线上的电势和场强分布。线上的电势和场强分布。yyqd2d解解 选坐标系如图。取半径为选坐标系如图。取半径为y,宽为宽为dy 的圆环，带电量为：的圆环，带电量为：xdyy22yx 静电场的环路定理静电场的环路定理:0d LlE静电场力做功与电势能增量的关系静电场力做功与电势能增量的关系:PWE 电势能的定义电势能的定义:0pPAAEqE d l 电势的定义电势的定义:电势的计算电势的计算:2、由叠加原理求。、由叠加原理求。04dqVr 00dpAAAWVElq 求。求。由定义式由定义式、1dVEl 基本要求 1、掌握描述静电场的两个物理量电场强度和电势的概念。E是矢量，V是标量 2、理解高斯定理和静电场环路定理是静电场的两个重要定理。表明静电场是有源场和保守场。3、掌握求电场的三种方法 4、掌握求电势的方法 5、了解电偶极子概念。
