1、Workbench Mechanical结构非线性第六章第六章超弹性超弹性超弹性章节综述超弹性章节综述本章包含以下内容:高弹体背景超弹性理论曲线拟合过程查看结果本章节描述的能力适用于ANSYS Structural及以上的 licenses.例外情况会根据需要说明A.A.高弹体背景高弹体背景高弹体是一种聚合物,具有如下性能高弹体包括天然和合成橡胶,它是非晶态的,由长的分子链组成分子链高度扭转、卷曲,且在未变形状态下取向任意在拉伸载荷作用下,这些分子链部分变得平直、不扭曲去除载荷后，这些分子链恢复最初的形态橡胶强化通过橡胶硫化过程中分子链间形成交联来实现(例如，可能的链结构数量减少).这不象金属
2、，例如，弹性行为是由于分子连接展开。(见第5章)Example of Rubber boot,o-rings/sealsUnextended chainExtended chainSchematic of single molecular chain.In network,these chains are randomly oriented and often have crosslinks.高弹体背景高弹体背景宏观上，橡胶行为呈现下列特征能承受大弹性(可恢复)变形，任何地方都可达100-700%。正如前面提及的，这是由于交联分子链拆开的原因.由于分子链的拉直引起变形,所以在外加应力作用下,体
3、积变化很小。因此,高弹体几乎不可压缩.它们的应力-应变关系是高度非线性的通常,拉伸状态下,材料先软化再硬化，而压缩时材料急剧硬化.FuTensionCompressionB.B.超弹性背景超弹性背景ANSYS中关于超弹性本构模型有一些关键假设材料响应是各向同性、等温和弹性的热膨胀是各向同性变形完全可恢复(保守的)材料是完全或几乎不可压缩的更复杂的真实橡胶行为理想化超弹性本构模型通过应变能密度函数来定义与塑性不同,超弹性不定义为速率公式 相反,总应力与总应变的关系由应变势能(W)来定义D:.延伸率定义延伸率定义为理解应变能密度函数的形式，一些定义是必要的:延伸率(或只是延伸)定义为上述为一个定义
4、橡胶试样单轴拉伸的延伸率的例子,式中eE 为工程应变。有三个主延伸率l1,l2,和 l3,它们用来度量变形，也用于定义应变势能。EoooLuLLLel1 .延伸率定义延伸率定义举例说明主延伸率的定义,考虑一个薄正方形橡胶薄板进行双向拉伸，主延伸率 l1 和 l2 描述了平面内变形特征，另一方面,l3 定义厚度变化(t/to)，另外,若材料假设为完全不可压缩,则 l3 等于l-2.oLLll1oLLll223llLLLLttooo.应变不变量定义应变不变量定义三个应变不变量一般用于定义应变能密度函数.若材料是完全不可压缩的,则I3=1.由于假设材料为各向同性，应变势能的一些形式可以表示为这些标量
5、不变量的函数。换句话说,应变不变量是应变的度量，与用于度量应变时使用的坐标系无关。232221321232322222122322211llllllllllllIII .体积比定义体积比定义体积比J定义为如上所示,J 看作是材料变形后体积与未变形体积的比.在热膨胀情况下,热体积变形为弹性体积变形与总的体积变形和热体积变形的关系如下:oVVJ321lll31ththJethtotalelJJJJ.应变势能的定义应变势能的定义应变势能(或应变能函数)通常表示为W 应变势能或者是主延伸率的直接函数，或者是应变不变量的函数简略地讨论一下应变能势的特殊形式，这些形式决定采用延伸率还是应变不变量但是，我们
6、使用修正的形式而不是直接使用主延伸率或应变不变量的函数，见下面的幻灯片 321321,or,lllWWIIIWW.应变势能的定义应变势能的定义由于材料的不可压缩性,把应变能函数分解为偏差项(下标d 或bar)和体积项(下标b)，结果,体积项仅为体积比J 的函数。式中偏差主延伸和偏差不变量被定义为(对p=1,2,3):因而,使用 可以将W分为偏差项和体积项。注意 I3=J2,所以定义 W 时不采用 I3.JWWWJWIIWWbdbd32121,lllppppIJIJ3231ll ppIl和.应力和应变的计算应力和应变的计算通过应变能密度函数，可计算应力应变.需要采用应力-应变共轭测量基于W,确定
7、第二 Piola-Kirchoff 应力(和 Green-Lagrange 应变):注意ANSYS结果以真实应力和应变输出。超弹性曲线拟合(稍后描述)要求工程应力和工程应变.ijijdEdWS .多项式多项式多项式形式 基于第一和第二应变不变量，它是如下形式的现象学模型其中初始体积模量和初始剪切模量是cij 和 di 通常定义为材料性质.如果未知，这些值可以通过从试验数据用曲线拟合的方法得到（下节讨论）.NkkkjNjiiijJdIIcW1221111331011022dccoo.Ogden.Ogden 模型模型Ogden 形式,另一种现象学模型,它直接基于主延伸率,而不是应变不变量:式中初始
8、体积和剪切模量被定义为i,ai,和 di是用户定义的材料属性.如果未知，可以从试验数据经曲线拟合推导而来.NiiiNiiiJdWiii123211113aaallla112 2doNiiioa.模型分类模型分类其他模型(Mooney-Rivlin,Yeoh 和 Neo-Hookean)都是多项式模型的缩减形式。Polynomial第一和第二应变不变量现象模型2-term M-R第一第二应变不变量现象模型Neo-Hookean第一应变不变量现象模型3-term Yeoh第一应变不变量现象模型Mooney-Rivlin第一和第二应变不变量线性模型Yeoh第一应变不变量现象模型基于应变不变量的近似/
9、完全不可压缩现象超弹性模型.W.W的特殊形式的特殊形式根据所选择的应变能函数W,材料常数数目不同.选择依赖于:高弹体类型加载条件(%Strain)可利用的材料试验数据.总体而言，应变能密度函数是最接近应力应变实验数据曲线的函数。在大多多挑战性的应用里，往往只有一个函数是合适的。通常两个或更多函数产生同样的响应。超弹性体的体积比(J)定义为:其中 V和Vo 分别是单元的更新的和初始体积.为保持不可压缩行为,必须满足体积协调性约束.完全-不可压缩超弹性材料,不会发生体积改变.使用 J,可确定体积变化数完全-不可压缩状况,J 应等于 1.换句话说,最终和初始体积是相同的(无体积变化)oVVJ.混合混
10、合u-P u-P 公式公式Mixed u-P公式满足体积协调约束.Mixed u-P 代码在位移自由度(u)外自动添加一内部静水压力自由度(P)来强迫体积协调条件.因此,名为 Mixed u-P.从前面幻灯片中知,对完全不可压缩材料体积比 J 应为常数(J=1),:这导致下面的体积协调方程:VtolVdVJJV101 J.混合混合u-P u-P 公式公式.混合混合 u-P u-P 公式公式当不满足条件的时候，求解信息会记录.Vtol 默认值为1e-5.如由于Mixed u-P 不能满足体积协调条件而导致收敛失败,通过定义 di 参数的一个小的非零值引入一不可压缩小量是有帮助的.di 反比于体积
11、模量.默认地,如曲线拟合(下一部分)中没引入体积试验数据,则材料假定为完全不可压缩的(di=0).112 2doNiiioa体积协调约束中的容差(vtol)可通过 Command Objects放松.求解信息将记录这个改变为接受后续的solc,vtol手动激活 Mixed u-P 是必要的.体积容差体积容差 .混合混合 u-Pu-P考虑事项考虑事项对完全不可压缩问题,如果所有的边界节点已指定位移，不存在唯一的求解.这是由于静水压力(内部DOF)是独立于变形的.静水压力需由力/压力边界条件来确定.否则不能计算静水压力，没有唯一求解.对这些情形,至少一个节点没有应用边界条件将矫正这种情形.过约束模
12、型可以克服网格细化,特别是在无位移约束区域.参考文献参考文献一些关于橡胶机理的参考文献:1.R.S.Rivlin,“Large Elastic Deformations,”Rheology:Theory&Applications-Vol.1,ed.F.R.Eirich,Academic Press,Inc.,New York,1956,Chapter 10.2.R.S.Rivlin,“The Elasticity of Rubber,”Rubber Chemistry and Technology,65,pp.G51-G66,1992.3.O.H.Yeoh,“Phenomenological
13、Theory of Rubber Elasticity,”Comprehensive Polymer Science,ed.G.Allen,Elsevier,Oxford,1996,Chapter 12.4.L.R.G.Treloar,The Physics of Rubber Elasticity(2nd edition),Oxford University Press,1958(3rd edition is 1975)C.C.曲线拟合曲线拟合Mechanical提供了曲线拟合工具，帮助把实验数据转化成各种超弹模型能使用的应变能量密度函数系数.曲线拟合曲线拟合典型的实验数据来自于以下6种实验
14、的一种或多种:单轴拉伸单轴压缩双轴拉伸(圆形或矩形试样)平面剪切简单剪切体积试验(钮型试样)收集的试验数据是工程应力/应变。工程应力/应变用于曲线拟合(已知延伸率 l=1+eE).体积实验数据需要真实的应力，是个例外这不同于塑性曲线拟合,塑性曲线拟合中收集的数据需转换为真应力/应变.曲线拟合曲线拟合下面列出了要求实验数据的类型完全不可压缩材料假设n=0.50,因此体积应变假定为0并且不参与计算.Material BehaviorExperimental TypeColumn 1Column 2Column 3Uniaxial TestEngineering StrainEngineering
15、StressBiaxial TestEngineering StrainEngineering StressShear TestEngineering StrainEngineering StressUniaxial TestEngineering StrainEngineering StressBiaxial TestEngineering StrainEngineering StressShear TestEngineering StrainEngineering StressVolumetric TestVolumetric StrainTrue StressFully incompre
16、ssibleNearly Incompressible 曲线拟合曲线拟合假设不可压缩(n=0.50),下列变形模式相同:1.单轴拉伸和等双轴压缩2.单轴压缩和等双轴拉伸3.平面拉伸和平面压缩 曲线拟合曲线拟合收集的数据需要调整以考虑诸如滞后和应力软化行为等效应。00.20.40.60.811.21.41.61.8-0.500.511.522.5右图为在循环载荷作用下橡胶试样典型的工程应力-应变曲线。注意存在滞后现象(加载与卸载时行为不同)，也存在应力软化效应(如 Mullins效应)。稳定的曲线(加载路径)则移至原点(零应变时零应力),并用于曲线拟合过程。曲线拟合曲线拟合从Engineerin
17、g Data 工具箱:右击 test data(这里为Uniaxial)并点击“Include Property”把这项添加到材料属性窗口试验数据线将出现在属性窗口 对其它模型的试验数据重复以上操作(双轴的,剪切,和体积)曲线拟合曲线拟合对每个可利用的试验数据:打开源文件并复制(Ctrl-C)应力应变数据数据粘贴(Ctrl-V)到“Table of Properties”窗口数据必须是工程应变与工程应力读入后会自动出现试验数据图.曲线拟合曲线拟合在读入所有试验数据后,从Engineering Data 工具箱选择超弹性应变能密度函数进行曲线拟合.曲线拟合曲线拟合注意:在选择超弹性应变能密度函数
18、前读入材料试验数据很重要.如果在读入材料试验数据前选择超弹性应变能密度函数,则得不到曲线拟合工具.曲线拟合曲线拟合下一步是右击Curve Fitting 并执行“Solve Curve Fit”.将运行一最小二乘法曲线拟合程序找到最好的系数组合反射回选择的应变能密度试验数据一旦曲线拟合完成，Workbench会直观地显示实验数据和拟合数据的对比。曲线拟合曲线拟合归一化(默认)和绝对误差法可以用于最小二乘法拟合:从上面方程容易看出，归一化给出了所有数据点相等的权重，而绝对误差法给那些大的数据点更大的权重.总之，归一化(缺省)选项适用大多数情况.如果在某一应变范围集聚了更多的点，该应变范围采用归一化方式将拟合更好.如果大应变行为被搜索，采用绝对误差选项，因为这种情况下强调了更多的数值.NiexperimentiexperimentitrialinormalizedNiexperimentitrialiabsoluteEE12212 曲线拟合曲线拟合当然，依赖于应用情况，抑制一些实验数据以在一种模式下获得更好的曲线拟合.下面是只有单轴数据的曲线拟合双轴和剪切数据被抑制 请参考作业中补充说明:作业6A 超弹性曲线拟合D.D.作业作业 超弹性曲线拟合超弹性曲线拟合
