1、不定积分习题课51116积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分一、主要内容一、主要内容1 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即即：I如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，那内连续，那么在区间么在区间内存在可导函数内存在可导函数)(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF=2 2、不定积分、不定积分(1)定义定义CxFdxxf=)()(在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的带有任意常数项的带有任意常数项的原函数称为的原函数称为)(xf在区间在区间I
2、内的内的不定积分不定积分，记，记为为 dxxf)(函数函数)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xf的的积分曲线积分曲线.=dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.=dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3)不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd=dxxfdxxfd)()(=CxFdxxF)()(=CxFxdF)()(3 3、基本积分表、基本积分表 =kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 =Cxdxx =Cxxdxln)3(=dxx211)4(Cx ar
3、ctan=dxx211)5(Cx arcsin=xdxcos)6(Cx sin=xdxsin)7(Cx cos=xdxxtansec)10(Cx sec=xdxxcotcsc)11(Cx csc=dxex)12(Cex=xdx2cos)8(=xdx2secCx tan=xdx2sin)9(=xdx2cscCx cot=dxax)13(Caax ln=Cxxdxcoslntan)14(=Cxxdxsinlncot)15(=Cxxxdxtanseclnsec)16(=Cxxxdxcotcsclncsc)17(Caxadxxa=arctan11)18(22Cxaxaadxxa=ln211)20(22
4、Caxdxxa=arcsin1)21(22Caxxdxax=)ln(1)22(2222Caxaxadxax=ln211)19(225 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法=dxxxf)()(=)()(xuduuf 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.定理定理1 1设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu=可导，可导，则有换元公式则有换元公式（）6 6、分部积分法、分部积分法（）duvuvudv =;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos
5、)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx凑微分常见类型凑微分常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 例例1 1=dxxxx2cos.tantanln原式解解）（、书本求46 P97.cossintanlndxxxx=xdxxtantantanln=xxdtanlntanlnCx=2tanln21=dxxxxtansec.tanln2二、典型例题二、典型例题例例2 2解解.1arcsin2dxxxx求)1(1arcsin2122xdxx=原式21arcsinxdx=xdxxxarcsin11.arcsin22=dxxx=21arcsinCxxx=
6、21arcsin思考题：思考题：P97 6、（、（16）例例3 3解解.tan2xdxx求dxxx=)1(sec2原式=xdxxdxtan2tantan2xxdxxx=Cxxxx=2coslntan2=xdxxdxx2sec例例4 4 =dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 =1)23()23(23ln12 xxd 123ln12tdt =dttt)1111(23ln21Ctt =11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx =tx=)23(令令例例5 5解解dxxexxx)1(1求 dxxexxx)1(1=dxxexeexexxxx
7、)1(=)1()(xxxxexexed令,txex=)1(ttdt=1tdttdtCtt=1lnlnCxexexx=1lnln例例6 6解解.)2(10 xxdx求求 =)2(10109xxdxx原式原式 =)2()(101101010 xxxdCxx =)2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx =)()211(201101010 xdxx=思考题：思考题：P97 6、（、（2）例例7 7解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx =2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx =2tan2cos22dxxdxxxx =2tan2tan2tan.2tanC
8、xx=dxxxxd2tan2tan积分表的使用方法积分表的使用方法（1）把常用的积分公式汇集成表，这种表叫把常用的积分公式汇集成表，这种表叫 做做积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见应用高等数学第）积分表见应用高等数学第183页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单的变形后，在表内查得所需或经过简单的变形后，在表内查得所需 结果结果.关于积分表的说明：关于积分表的说明：1.在积分表中能直接查到的在积分表中能直接查到的例例 1查表求查表求.)23(d2 xxx解解被积函数含被
9、积函数含 a+bx 因式，因式，在积分表在积分表(一一)类类中，查到公式中，查到公式 9，当当 a=3，b=2 时，时，2)23(dxxx.23ln91)23(31Cxxx =得得教材第教材第183183页页例例 2查表求查表求.sin45d xx解解被积函数含被积函数含 a+bsin x 因式，因式，在积分表在积分表(十十一一)类中，查到公式类中，查到公式 103 或或 104，因为因为a=5，b=4，a2 b2.所以用公式所以用公式 103，得得 xxsin45dCx =542tan455arctan45552222222.542tan35arctan32Cx =教材第教材第188页页2.
10、先进行变量代换，再查表先进行变量代换，再查表例例 3查表求查表求.49d22 xxx解解该积分在积分表中直接查不到，要进行变该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，量代换，令令 3x=t，,31tx=,d31dtx=则则于是有于是有 49d22xxx =tttd3149122,2d3222 =ttt 49d22xxx,2d3222 =ttt上式右端积分的被积函数中有上式右端积分的被积函数中有,222 t 在积分表在积分表(六六)类中，查到公式类中，查到公式 41，2222dtttCtt =442.12492Cxx =代入原积分中，得代入原积分中，得 49d22xxx.4492d32222C
11、xxttt =当当 a=2(x 相当于相当于 t)时，时，得得教材第教材第185页页 49d22xxx,2d3222 =ttt3.用用递推公式递推公式例例 4查表求查表求.sind4 xx xxnsind,sind12sincos1121 =xxnnxxnnn解解被积函数中含三角函数，在积分表被积函数中含三角函数，在积分表(十一十一)类类中查到公式中查到公式 97，递推公式递推公式为为教材第教材第187页页当当 n=4 时，原积分为时，原积分为 xx4sind=xxxxdsin132sincos3123.cot32sincos313Cxxx =利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦
12、的幂次减少两次,重复使用可重复使用可使正弦的幂次继续减少使正弦的幂次继续减少,直到求出结果直到求出结果.这个公式叫这个公式叫递递推公式推公式.说明说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.，例如，积分xxxdsin ，xxde2，xx)dsin(2，xxdln1，)10(sin1d2 xx等，等，都不能用初等函数表示都不能用初等函数表示.求下列不定积分：求下列不定积分：1 111、dxxxcos22 2、522xxdx 3 3、)1(2xxeedx4 4、xdxx arccos2 练习题答案练习题答案1 1、Cx 1sin2 2、Cx 21arctan213 3、Ceexx )arctan(4 4、Cxxxx 22323131)1(91arccos31
