1、两角和、差及倍角公式【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式C C(-)(-):cos(-)=_.:cos(-)=_.C C(+)(+):cos(+)=_.:cos(+)=_.S S(+)(+):sin(+)=_.:sin(+)=_.S S(-)(-):sin(-)=_.:sin(-)=_.cos cos+sin sin cos cos+sin sin cos cos-sin sin cos cos-sin sin sin cos+cos sin sin cos+cos sin sin cos-cos sin sin cos-cos
2、sin T T(+)(+):tan(+)=_(,+:tan(+)=_(,+k,kZ).+k,kZ).T T(-)(-):tan(-)=_(,-:tan(-)=_(,-+k,kZ).+k,kZ).tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 222.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式S S22:sin 2=_.:sin 2=_.C C22:cos 2=_=_=_.:cos 2=_=_=_.T T22:tan 2=_(:tan 2=_(+k,+k,且且k+,k+,kZ)kZ).2sin cos 2sin cos coscos2 2-sin-sin2
3、2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 222tan 1tan 42【金榜状元笔记金榜状元笔记】1.1.一组重要关系一组重要关系2.2.四个必备结论四个必备结论(1)(1)降幂公式降幂公式:cos:cos2 2=,sin=,sin2 2=(2)(2)升幂公式升幂公式:1+cos 2=2cos:1+cos 2=2cos2 2,1-cos 2=2sin,1-cos 2=2sin2 2.(3)(3)公式变形公式变形:tan:tan tan=tan=tan(tan()(1)(1 tan tan).tan tan).1cos 221cos 2.2(4)(4)辅助角公式辅助角公式:
4、asin x+bcos x=sin(x+:asin x+bcos x=sin(x+)(其中其中sin sin=,cos=,cos=)=)22ab22bab22aab【教材母题变式教材母题变式】1.1.若若cos=-,cos=-,是第三象限的角是第三象限的角,则则sin =sin =()45()4227 27 2A.B.C.D.10101010【解析解析】选选C.C.因为因为cos=-,cos=-,是第三象限的角是第三象限的角,所所以以sin=sin=所以所以45231cos5 ，sin()sin cos4432427 2cos sin()().4525210 2.2.若若sin 80sin 8
5、0=m,=m,则用含则用含m m的式子表示的式子表示cos 5cos 5=_.=_.【解析解析】因为因为sin 80sin 80=m,=m,所以所以cos 10cos 10=m,=m,所以所以cos 5cos 5=答案答案:1cos 10m1.22m123.3.函数函数y=sin +cos 2xy=sin +cos 2x的最小正周期为的最小正周期为_,_,单调递增区间为单调递增区间为_,_,最大值为最大值为_._.(2x)6【解析解析】因为因为y=sin(-2x)+cos 2xy=sin(-2x)+cos 2x故函数故函数y=sin(-2x)+cos 2xy=sin(-2x)+cos 2x的最
6、小正周期为的最小正周期为 =,=,由由2k-2x+2k,kZ,2k-2x+2k,kZ,得得k-xk-k-xk-,kZ,kZ,故单调递增区间为故单调递增区间为最大值为最大值为 .61333cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2x3cos(2x),222266226712127k,k(kZ)1212，3答案答案:7k,k(kZ)121234.(20174.(2017全国卷全国卷)已知已知sin-cos=,sin-cos=,则则sin 2=(sin 2=()【解析解析】选选A.sin 2=2sin cos=A.sin 2=2sin cos=437227A.B.C.D.99992(
7、sincos)117.9【母题变式溯源母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1两角和的正弦公式两角和的正弦公式P129P129例例3 32 2倍角公式倍角公式P143BP143B组组T2T23 3三角函数的性质三角函数的性质P142T4P142T44 4倍角公式倍角公式P135T2P135T2考向一考向一 两角和、差及倍角公式的直接应用两角和、差及倍角公式的直接应用【典例典例1 1】(1)(2017(1)(2017全国卷全国卷)函数函数f(x)=f(x)=的最大值为的最大值为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560105(12560105()1sin(x)cos(x)53663
8、1A.B.1C.D.555(2)(2018(2)(2018抚顺模拟抚顺模拟)已知函数已知函数f(x)=2cos f(x)=2cos(其中其中0)0)的最小正周期为的最小正周期为10.10.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256010612560106求求的值的值.设设,求求cos(+)cos(+)的值的值.(x)6 565160f(5)f(5)235617，【解析解析】(1)(1)选选A.A.由两角和差公式得由两角和差公式得f(x)=f(x)=因为因为-1sin 1,-1sin 1,故函数故函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为1 1331(sin xcos x)cos xsin x5 222
9、233 36sin xcos xsin(x),5553(x)36.5【巧思妙解巧思妙解】选选A.A.由于由于所以所以则则f(x)=f(x)=因为因为-1sin 1,-1sin 1,故故函数函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为 .x(x)362，cos(x)sin(x),631sin(x)sin(x)5336sin(x),53(x)365(2)(2)由于函数由于函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为10,10,所以所以10=,10=,所以所以=.=.由知由知f(x)=2cosf(x)=2cos又因为又因为所以所以所以所以sin=sin=2151(x).5656f(5),35 156
10、2cos(5)2cos(),53625 3.5又因为又因为所以所以所以所以cos=cos=又因为又因为,所以所以所以所以cos(+)=cos cos-sin sin cos(+)=cos cos-sin sin 516f(5),61715162cos(5)2cos,56617 8.170,2415cos,sin,517 4831513.51751785【技法点拨技法点拨】应用三角公式化简求值的策略应用三角公式化简求值的策略(1)(1)使用两角和、差及倍角公式使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结首先要记住公式的结构特征和符号变化规律构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记例如两角
11、差的余弦公式可简记为为:“:“同名相乘同名相乘,符号反符号反”.(2)(2)使用公式求值使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用诱导公式的综合应用.(3)(3)使用公式求值使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用换思想的应用.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.1.若若tan=-,tan=-,则则cos 2=(cos 2=()【解析解析】选选D.D.因为因为cos 2=coscos 2=cos2 2-sin-sin2 2=又又tan=-,tan=-,所以代入上式可得所以代入上式可得134114
12、A.B.C.D.55552222cossincossin221tan,1tan134cos 2.5 2.2.已知角已知角与角与角均以均以x x轴的非负半轴为始边轴的非负半轴为始边,它们它们的终边关于的终边关于y y轴对称轴对称,且角且角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 则则cos(-)=_.cos(-)=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560107125601072 2 1P()33，【解析解析】由题意知由题意知,cos=,sin=,cos=,sin=,又因为又因为,的终边关于的终边关于y y轴对称轴对称,故故sin=sin=,sin=sin=,cos=-cos=,cos=-cos
13、=,所以所以cos(-)=cos cos cos(-)=cos cos+sin sin=+sin sin=答案答案:-2 2313132 23817.999 79考向二考向二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用两角和、差及倍角公式的逆用和变形用【典例典例2 2】(1)(1)计算计算 的值为的值为()22sin 110 sin 20cos 155sin 1551133A.B.C.D.2222(2)(2)计算计算:cos(+)cos+sin(+)sin=(:cos(+)cos+sin(+)sin=()A.sin(+2)B.sin A.sin(+2)B.sin C.cos(+2)D.cos C.co
14、s(+2)D.cos(3)(3)计算计算:tan 25:tan 25+tan 35+tan 35+tan 25+tan 25tan 35tan 35=_.=_.3【解析解析】(1)(1)选选B.B.原式原式=(2)(2)选选D.D.原式原式=cos(+)-=cos.=cos(+)-=cos.22sin 70 sin 20cos 20 sin 20cos 25sin 25cos 501sin 401.2sin 402(3)(3)原式原式=tan(25=tan(25+35+35)(1-tan 25)(1-tan 25tan 35tan 35)+)+tan 25 tan 25tan 35tan 35
15、=(1-tan 25=(1-tan 25tan 35tan 35)+tan 25)+tan 25tan 35tan 35=.=.答案答案:33333【一题多变一题多变】本例本例(3)(3)中的式子中的式子“tan 25tan 25+tan 35+tan 35+tan 25 tan 25tan 35tan 35”若换为若换为“tan+tan(60tan+tan(60-)+tan tan(60)+tan tan(60-)”,-)”,其结论又如何呢其结论又如何呢?【解析解析】原式原式=tan+(60=tan+(60-)1-tan-)1-tan tan(60tan(60-)+tan tan(60-)+
16、tan tan(60-)=.-)=.3333【技法点拨技法点拨】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造创造条件逆用公式条件逆用公式.(2)(2)和差角公式变形和差角公式变形:sin sin+cos(+)=cos cos,sin sin+cos(+)=cos cos,cos sin+sin(-)=sin cos,cos sin+sin(-)=sin cos,tan tan tan=tan(tan=tan()(1)(1 tan tan).tan tan).
17、(3)(3)倍角公式变形倍角公式变形:降幂公式降幂公式.【拓展拓展】1 1sin=1+cos=sin=1+cos=2cos2cos2 2 ,1-cos=2sin ,1-cos=2sin2 2 .提醒提醒:tan tan,tan+tan(:tan tan,tan+tan(或或tan-tan-tan),tan(+)(tan),tan(+)(或或tan(-)tan(-)三者中可以知二三者中可以知二求一求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.2(sincos)22，22【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.cos1.cos2 2 -sin -sin2
18、2 =_.=_.【解题指南解题指南】根据倍角公式求解根据倍角公式求解.【解析解析】由题可知由题可知,cos,cos2 2 -sin -sin2 2 =答案答案:88882cos.42222.2.计算计算:=_.:=_.【解析解析】原式原式=tan(45=tan(45-15-15)=tan 30)=tan 30=答案答案:cos 15sin 15cos 15sin 151tan 15tan 45tan 151tan 151tan 45 tan 153.333考向三考向三 两角和、差及倍角公式的灵活应用两角和、差及倍角公式的灵活应用 高频考点高频考点【典例典例3 3】(1)(2018(1)(201
19、8南充模拟南充模拟)已知已知 ,且且cos=,cos(+)=-,cos=,cos(+)=-,则则sin=_.sin=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256010812560108(2)(2016(2)(2016全国卷全国卷)若若 则则sin 2=(sin 2=()(0)2，(0)2，1711143cos()45，7117A.B.C.D.255525【解析解析】(1)(1)因为已知因为已知 ,且且cos=,cos(+)=cos=,cos(+)=所以所以sin=sin=sin(+)=sin(+)=则则sin=sin(+)-sin=sin(+)-(0)2，(0)2，171114，24 31cos7
20、，25 31cos()14，=sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)cos-cos(+)sin 答案答案:5 31114 33().1471472 32(2)(2)选选D.D.因为因为3cos(),45 27sin 2cos(2)2cos()1.2425 【技法点拨技法点拨】三角公式应用中变三角公式应用中变“角角”与变与变“名名”问题的解题思路问题的解题思路(1)(1)角的变换角的变换:明确各个角之间的关系明确各个角之间的关系(包括非特殊角与包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角特殊角、已知角与未知角),),熟悉角的变换技巧熟悉角的变换技巧,及半角及半角与倍角的相互转化与倍角的相互
21、转化,如如:2=(+)+(-),=2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,40(+)-=(-)+,40=60=60-20-20,(+)+,(+)+(-)=(-)=，=2=2 等等.44224(2)(2)名的变换名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系明确各个三角函数名称之间的联系,常常常常用到同角关系、诱导公式用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切把正弦、余弦化为正切,或或者把正切化为正弦、余弦者把正切化为正弦、余弦.提醒提醒:转化思想是实施三角变换的主导思想转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算前需清楚已知式中角的差异、函数名
22、称的差异、运算结构的差异结构的差异,寻求联系寻求联系,实现转化实现转化.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1三角公式应用中的变三角公式应用中的变“角角”问题问题1.1.若若tan(+)=,tan(+)=,则则tan tan 的值为的值为_._.251tan()44，()4【解析解析】答案答案:tan()tan()()44 21tan()tan()3544.21221tan()tan()1454 322命题点命题点2 2三角公式应用中的变三角公式应用中的变“名名”问题问题2.2.已知已知sin 2=,sin 2=,则则coscos2 2 =(=()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1
23、256010912560109【解析解析】选选D.D.13()41122A.B.C.D.333321cos(2)2cos()42111112sin 2.222233 核心素养系列（二十二）核心素养系列（二十二）逻辑推理逻辑推理三角恒等变换中的核心素养三角恒等变换中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规依据逻辑规则推出一个命题的思维过程则推出一个命题的思维过程,主要包括两类主要包括两类:一类是从一类是从特殊到一般的推理特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳与类比推理形式主要有归纳与类比,另一另一类是从一般到特殊的推理类是从一般到特殊的推理,推理形式主
24、要有演绎推理形式主要有演绎.【典例典例】已知已知:tan 10tan 10tan 20tan 20+tan 20+tan 20tan 60tan 60+tan 60+tan 60tan 10tan 10=1,=1,tan 5tan 5tan 10tan 10+tan 10tan 10tan 75tan 75+tan 75+tan 75tan 5tan 5=1,=1,tan 20tan 20tan 30tan 30+tan 30+tan 30tan 40tan 40+tan 40+tan 40tan 20tan 20=1=1成立成立.由此得到一个由特殊到一般的推广由此得到一个由特殊到一般的推广.
25、此推广是什么此推广是什么?并证明并证明.【解析解析】观察到观察到:10:10+20+20+60+60=90=90,5,5+75+75+1010=90=90,20,20+30+30+40+40=90=90,猜想此推广为猜想此推广为:若若+=90+=90,且且,都不为都不为k k180180+9090(kZ),(kZ),则则tan tan+tan tan+tan tan+tan tan+tan tan=1.tan tan=1.证明如下证明如下:因为因为+=90+=90,所以所以=90=90-(+),-(+),故故tan=tan90tan=tan90-(+)=-(+)=所以所以tan tan+tan tan=1-tan tan,tan tan+tan tan=1-tan tan,即即tan tan+tan tan+tan tan=1.tan tan+tan tan+tan tan=1.sin90()cos90()cos()cos cossin sin1tan tan.sin()sin coscos sintantan
