1、实际问题与二次函数(2)名师课件（1）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0），可以利用配方把它化为顶点式 ，进而写出顶点坐标（h,k）和对称轴x=h.2()ya xhk（2）求二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）；求二次函数y=ax2+bx+c（a0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）.（3）将二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0）转化成顶点式 来求二次函数最值，当x=h时，y取最值为k.2()ya xhk请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了
2、什么？谁的面积最大？探究一：最大面积活动1创设情境，发现问题重点知识画周长一定的矩形时，我们会发现矩形长、宽、面积不确定要求其面积的最大值，我们需要用二次函数的知识去解决.例1.李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？设矩形宽为x厘米，则长为 厘米.当x=6时，S取最大值为36.探究一：最大面积活动2师生共研，探索解法重点知识242122xx(12)Sxx练习1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化当l为多少米时，场地的面积S最大？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出
3、面积的关系式是本题关键解：设矩形一边长l，则长为 厘米602302ll（）当l=15时，S取最大值为225.(30)Sll探究一：最大面积重点知识例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？探究一：最大面积活动3变式应用重点知识解：设矩形长为x（x8）厘米，则宽为 厘米.当x=8时，S取最大值为64.242x22411(24)(12)72222xSxxxx 10,82ax 且例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中
4、的各个量，列出面积的关系式是本题关键考虑实际问题中靠墙所造成的易错点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值探究一：最大面积活动3变式应用重点知识练习2.如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点解：与墙垂直的一边为x米，则 060-2x32.14x30 当x=15时，S取最大值为450.(602)Sxx探究一：最大面积重点知识小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值
5、范围来确定通过前面问题的对比，希望你们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值探究一：最大面积重点知识例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动1基础性例题解：（1），自变量x的取值范围是0 x25；240120
6、22xyxxx 例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动1基础性例题（2）2025，当x=20时，y有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大.22112020+20022yxxx 解：【思路点拨】中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；
7、要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)探究二：利用二次函数求几何最值的训练解：由题意可知 ，化简得 ，设窗户的面积为S m2，则 ，S有最大值当x1.25 m时，S最大值4.69(m2)，即当x1.25 m时，窗户通过的光线最多此时，窗户的面积是4.69 m2.1426152yxx1564xxy2211561523242xxSxxxx 30a 练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，
8、制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)探究二：利用二次函数求几何最值的训练例2.如图，在矩形ABCD中，AB2 cm，BC4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BPPQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BPx cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm，试分别写出0 x2和2x4时，y与x之间的函数关系式探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动2提升型例题【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出
9、自变量x的取值范围内解：如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当0 x2时，如下面的左边的图形所示，PQ=BP=x，此时y=PQ=x，其中0 x2；当2x4时，如下面的右边的图形所示，PQ=BP=x，此时PC=BC-BP=4-x，其中2x4；2(4)28yPC CDPCABxx，其中2x4；综上所述：2,0228,24xxyxx探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之
10、和，转化为二次函数求最值解：令DE=x，AD=a，则AE=a-x，所以面积之和 ，所以当 时，面积最小，即E应选在AD的中点.222222()222()22aaSxaxxaxax2ax 探究二：利用二次函数求几何最值的训练例3如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比
11、例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？探究二：利用二次函数求几何最值的训练例3如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（1）横向甬道的面积为：（2）依题意：整理得：解得：x1=5，x2=150，（舍去）故甬道的宽为5米.21(120180)150()2
12、xx cm2112 801502(120180)8028xxx21557500 xx解：探究二：利用二次函数求几何最值的训练（3）设建设花坛的总费用为y万元 则：当 时，y的值最小 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，当x=6米时，总费用最少即最少费用为 238.44万元例3如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费
13、用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？解：2210.02(120 180)80(2310)5.72 0.040.5240yxxxxx 6.252bxa 探究二：利用二次函数求几何最值的训练【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_时，横断面面积最
14、大，最大面积是_【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_时，横断面面积最大，最大面积是_两腰与下底的和为4得到：下底为解：底角为120，则高和腰之间的夹角为30，水渠深度为 x,则得到：，腰长33AEx2 33ABCDx4 343BCx所以上底为设横断面的面积为S，则2 343ADx21()342SADBC BExx 2 3303x，对称轴为当 时，横断面面积最大为 .2 33x 4 33探究二：利用二次函数求几何最值的训练
15、例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(3)t为何值时S最小？求出S的最小值.探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点
16、B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8平方厘米？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题解：（1）设x秒后PBQ的面积等于8，则AP=x，QB=2x，PB=6x （6x）2x=8，解得x1=2，x2=4，所以2秒或4秒后PBQ的面积等于8.12例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(2)设运动
17、开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题解：（2）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=(6-t)cm，BQ=2t cm，故212(6)62PBQSttt 6 1272ABCDS矩形272672 06.PBQSSttt 例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(3)t为何值时S最小？求出S的最小值.探究二
18、：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题22672=363Sttt 当t=3秒时，S取最小值为63.解：（3）练习.曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m）我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明探究二：利用二次函数求几何最值
19、的训练解：（1）由已知可以得到：16 1 1 15224AD 此时窗户的透光面积55144S （2）设AB=x，则734ADx7304x1207x设窗户的面积为S，由已知可以得到2277769(3)3()44477SAB ADxxxxx 当 时，67x max91.057S与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大.探究二：利用二次函数求几何最值的训练知识梳理2(0)yaxbxc a2()(0)ya xhk a12()()(0)ya xxxxa1.二次函数的三种形式：一般式交点式顶点式2.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式可以利用配方化为顶点式 ，进而可以得到顶点坐标公式
20、 ，对称轴 交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴 .2224()(0)24bacbyaxbxca xaaa24(,)24bacbaa2bxa 122xxx3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳1.利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24bacbyaxbxca xaaa第二可以直接利用顶点坐标公式 来求解.24(,)24bacbaa利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程
21、来求对称轴，进而求解.122xxx把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x的取值范围.3.强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.重难点归纳点击“随堂训练名师训练”选择“实际问题与二次函数（2）随堂检测”
