1、3向量组线性无关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性无关线性无关如果如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量），则必有，则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只只有零解有零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩二、矩阵的秩与向量组的秩
2、的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩定义定义3.5 设向量组设向量组 A(含有有限个或者无穷多个向量含有有限个或者无穷多个向量),若在若在A中存在中存在 r 个向量个向量 1,2,r,满足：满足：(1)向量组向量组 A0:1,2,r 线性无关线性无关,(2)向量组向量组 A 中任意中任意 r+1 个向量个向量(若存在若存在 r+1 个向量个向量的话的话)都线性相关都线性相关,则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向最大线性无关向量组量组(简称简称最大无关组最大无关
3、组).定义定义3.6 向量组向量组 A的最大无关组所含向量的最大无关组所含向量个数个数称为称为向量组的向量组的秩秩,记作记作 RA.向量组向量组 1,2,m 的秩也记作的秩也记作 R(1,2,m).注注:1.只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组.规定它的秩为规定它的秩为0.2.向量组向量组 1,m 线性无关线性无关 R(1,m)=m.3.向量组向量组 1,m 线性相关线性相关 R(1,m)m.例：例：全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求求 Rn 的一的一个最大无关组及个最大无关组及 Rn 的秩的秩解：解：n 阶单位矩阵阶单位矩阵 的列
4、向的列向量组是量组是 Rn 的一个最大无关组，的一个最大无关组，Rn 的秩等于的秩等于n 思考：思考：上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个最大无关组吗？的一个最大无关组吗？12100010,001nEe ee111011001A 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 由向量组由向量组 A 线性表示线性表示定理定理3.13 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量
5、组的秩,也等于它也等于它的行向量组的秩的行向量组的秩.二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系例：例：求求矩阵矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式21112112144622436979A 例：例：设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在
6、的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A)=3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B R(A0)=3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式21111180462 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零
7、子式A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组01240211111111011(,)462001367000rAa a aB 123452111211214(,)4622436979Aa a a a a 思考：思考：如何把如何把 a3,a5 表示成表示成a1,a2,a4 的线性组合？的线性组合？思路思路1：利用利用P.83 定理定理1 的结论的结论思路思路2：利用矩阵利用矩阵 A 的的行最简形矩阵行最简形矩阵向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解 令令 A0=(a1,a2,a
8、4)求解求解 A0 x=a3 A0 x=a5解（续）：解（续）：为把为把 a3,a5 表示成表示成a1,a2,a4 的线性组合，把矩阵的线性组合，把矩阵 A 再变成再变成行最简形矩阵行最简形矩阵2111210104112140110346224000133697900000rAB 于是于是 Ax=0 与与 Bx=0，即，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0 x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0 同解同解即矩阵即矩阵 A 的的列向量组列向量组与矩阵与矩阵 B 的的列向量组列向量组有相同的线性关系有相同的线性关系.2111210104112140110346224
9、000133697900000rAB 可以看出：可以看出：b3=b1 b2 b5=4b1+3b2 3b4所以所以a3=a1 a2 a5=4a1+3a2 3a4.最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr列向量组的最大无关组具体求法列向量组的最大无关组具体求法:将矩阵将矩阵 A 用用初等行变换初等行变换化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵 B,即可找出即可找出 B 的最的最高阶非零子式所在的高阶非零子式所在的列列,
10、其对应于其对应于A 所在的列向量所在的列向量就是就是A的的列向量组列向量组的一个最大无关组的一个最大无关组.小结小结三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论3.2的定理的定理3.6中中矩阵的秩矩阵的秩均可改为均可改为向量组的秩向量组的秩.定理定理3.14 向量组向量组 1,2,s 能由向量组能由向量组 1,2,m 线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(1,2,m)=R(1,2,m,1,2,s).注：注：向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0是等价的是等价的最大无关组的等价定义（最大无关组的等价定义（定理定理3.15）定义定义：设有向量组设有向量组 A
11、，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足向量组向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关线性无关；向量组向量组 A 中任意中任意 r+1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有 r+1个个向量的话）都线性相关；向量的话）都线性相关；向量组向量组 A 中任意一个向量都能由向量组中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表线性表示；示；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组最大无关组的意义最大无关组的意义定理定理3.16：向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0 是等价的是等价的n用用 A0
12、来代表来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组掌握了最大无关组，就掌握了向量组 的全体特别，当向量组的全体特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有为无限向量组，就能用有 限向量组来代表限向量组来代表n凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去立即可推广到无限向量组的情形中去矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价定理定理3.17 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示,则则RB RA.推论推论 若向量组若向量组 B 与向量组与向量组 A 等价等价,则则RA=RB.例例3 3 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示,且且RA=RB,证明证明向量组向量组A 与向量组与向量组 B 等价等价.定理定理3.7 向量组向量组B:1,2,s 能由向量组能由向量组A:1,2,m 线性表示线性表示,则则 R(1,2,s)R(1,2,m).
