1、3.1.23.1.2两角和与差的正弦、余弦、正两角和与差的正弦、余弦、正切公式切公式（第一课时）（第一课时）上一节学过的公式上一节学过的公式 （1）它的结）它的结构特点是什么？（构特点是什么？（2）它的正用逆用；（）它的正用逆用；（3）这里这里、可以是怎样的角？可以是怎样的角？复习引入：复习引入：()C 问题：由公式问题：由公式 出发，你能推导出出发，你能推导出两角和与差的其它公式两角和与差的其它公式()C()C,()S,(),S()T,()T.在数学解题过程中，换元的思在数学解题过程中，换元的思想广泛应用，在公式的推导过程中，想广泛应用，在公式的推导过程中，有时候也应用到这种思想。有时候也应
2、用到这种思想。能利用两角差的余弦公式推导出两能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。通过公式的推导，了解它们内在的联通过公式的推导，了解它们内在的联系进一步培养学生的逻辑推理能力。系进一步培养学生的逻辑推理能力。两角和与差正弦、余弦和正切公两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。式的灵活运用。两
3、角和、差正弦和正切公式的推两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；导过程及运用；一、复习：cos(）=cos cos sin sin sin()?sin()?)cos(思考：由公式 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？)(Ccos二、公式的推导二、公式的推导)(cos)sin(sin)cos(cossinsincoscos两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式1、两角和的余弦公式、两角和的余弦公式2、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos()(C简记：简记:)(Ccos2 cos2sin2sincos2cossin
4、coscossinsin二、公式的推导二、公式的推导用代sin)sin()sincos()cossin()(sin)sincoscossin(两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式、两角和的正弦公式sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(2、两角差的正弦公式、两角差的正弦公式简记：简记：()S简记：简记：()S 两角和的正切公式：sinsincoscos+cos+cossinsincoscoscoscos-sin-sinsinsinsin(sin(+)cos(cos(+)coscos0当时，coscos分子分母同时除以tantan+tan+ta
5、ntan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantan()()记：+T T上式中以上式中以代代 得得 tantan+tan+tantan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantantan()tan()1tantan()tantan-tan-tan=1+tan1+tantantantantan-tan-tantan(tan(-)=)=1+tan1+tantantan()记-T Tt ta an n t ta an nt ta an n()=1 1 t ta an n+-t ta an n()记：+T Tt ta an nt ta an nt ta an n()=1 1t
6、 ta an n-+t ta an n()记:-T T注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。2注意公式的结构，尤其是符号。即：tan，tan，tan()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan =2,求 不能用 tan()2()T 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式)(S)(T)(T)(C)(C)(S 从以上推导过程可以看到，这6个和下差的三角函数公式之间具有紧密的逻辑联系，这种联系可用框图形式表示如下：以上公式给出了任意角、的三角函数与其各角+以及差角-的三角函数之间的关系。33sin,sin(),54cos(),tan()44a 例：已知是第
7、四象限的角，求的值。,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1(),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于 是 有sin(24237 2();252510)coscossinsin444cos(24237 2();252510 tantantan14tan()41tan1tantan4314731()44cos 4cossin 4;(2)cos 20 cos70sin 20 sin 70;1tan15(3).tan15。例：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1)sin7227221-c o s 4c o ss i n 41s i n(
8、4)s i n 3 0;2。解：（1)由公式得：s i n 7 227 227 22(2)co s 2 0 co s 7 0sin 2 0 sin 7 0co s(2 07 0)co s 9 00。1ta n 1 5ta n 4 5ta n 1 5(3)ta n 1 5ta n 4 5ta n 1 5ta n(4 51 5)ta n 6 03。1-1-1:求tan15和tan75的值：解：解：tan15=tan(4530)=32636123333331331ooooooootan45-tan30tan45-tan301+tan45 tan301+tan45 tan30tan75=tan(45+
9、30)=3133126 33633313=2+3=2+3四、练习；四、练习；2、化简：、化简：(1)tan(1)tan(+)(1-tan)(1-tantantan)tan(tan(-)+tan)+tan(2)(2)1-tan(1-tan(-)tan)tan3、求值：、求值：ooooooootan71-tan26tan71-tan26(1)(1)1+tan71 tan261+tan71 tan26o oo o1-3tan751-3tan75(2)(2)3+tan753+tan75答案答案:(1)tan(1)tan+tan+tan(2)tan(2)tan答案答案:(1)1(2)-1五五.小结小结tantan+tan+tantan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantantan-tan-tantan(tan(-)=)=1+tan1+tantantan变形：变形：tantan+tan+tan=tan(=tan(+)(1-tan)(1-tantantan)tantan-tan-tan=tan(=tan(-)(1+tan)(1+tantantan)tantantantan(1tan(1tantantan)=)=tan()tan()sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(
