1、第二十四章第二十四章 圆圆24.1 圆有关的性质圆有关的性质第第 2 课时课时你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 一、创设情境，引入新知一、创设情境，引入新知（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法O说一说说一说一、创设情境，引入新知一、创设情境，引入新知问题：如图，AB是 O的一条弦,直径 CDAB,垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC
2、=BC,AD=BD理由如下：把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC 和 BC,AD 与BD 重合OABDEC二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知u垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知2 cm或 12 cmOE=6 cm,则 AB=cm.证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.一、创设情境，引入新
3、知垂径定理的几个基本图形：OE=6 cm,则 AB=cm.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.在圆中有关弦长 a,半径 r,弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.则AEBE，CEDE.（1）CDAB 吗？为什么？圆的两条直径是互相平分的.把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC 和 BC,AD 与BD 重合即 ACBD.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.OE=6 cm,则 AB=cm.经过圆心 O
4、 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.证明：作直径MNAB.则AMBM，CMDM试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结归纳总结二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC
5、 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）又AE=BE，AOE BOE（SSS），一、创设情境，引入新知解：连接OA，CEAB于D，则AEBE，CEDE.试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?则弓形的高为 .则AMBM，CMDM上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？3 cm OP 5 cm即主桥拱半径约为27.二、合作交流，探究新知即主桥拱半径约为27.二、合作交流，探究新知圆的两条直径是互相平分的.在折的过程中你有何发现？垂径定理的几个基本图形
6、：一、创设情境，引入新知即 ACBD.如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索思考探索二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：CD 是直径是直径 CDAB，垂足为，垂足为 E AE=BE AC=BC AD=BD证明猜想证明猜想二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知如图，AB 是 O 的一条弦，作直径 CD，使 AE=BE.（1）CDAB 吗？为什么？（2）
7、OABCDEAC 与 BC 相等吗？AD 与 BD 相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOE BOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?三、运用新知三、运用新知解：如图，用 AB
8、表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.AB=37，CD=7.23，解得R 27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3 m.=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC CD=R-7.23.222O AA DO DQ，三、运用新知三、运用新知1.如图，OEAB 于 E，若 O 的半径为10 cm,OE=6 cm,则 AB=cm.OABE解析：连接 OA，OEAB，AB=2AE=16 cm.1622221068AEOAOEc
9、m.四、巩固新知四、巩固新知2.如图，O 的弦 AB8cm，直径 CEAB 于 D，DC 2cm，求半径 OC 的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，1184(cm)22ADAB设OC=x cm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径 OC 的长为 5 cm.X2=42+(x-2)2，四、巩固新知四、巩固新知3.已知：O中弦ABCD,求证：AC BD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD四、巩固新知四、巩固新知 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，
10、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、巩固新知四、巩固新知则AEBE，CEDE.在折的过程中你有何发现？二、合作交流，探究新知即主桥拱半径约为27.注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法3 cm OP 5 cm弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：（1）CDAB 吗？为什么？d+h=r二、合作交流，探究新知2 cm或 12 cm如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧 CD 的圆心),其中CD=600 m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90 m.X2=42+(x-2)2，二、合作
11、交流，探究新知设这段弯路的半径为 R m,则OF=(R-90)m.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.二、合作交流，探究新知注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法一、创设情境，引入新知设OC=x cm，则OD=x-2,根据勾股定理，得4.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为 .64C DCBOADOAB图 a图 b2 cm或 12 cm 四、巩固新知四、巩固新知 在圆中有关弦长 a,半径 r,弦心距 d
12、（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：弓形中重要数量关系弓形中重要数量关系ABC DOhrd2a2222ard d+h=r OABC四、巩固新知四、巩固新知5.已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？证明：过 O 作 OEAB，垂足为 E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦
13、的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法四、巩固新知四、巩固新知6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧 CD 的圆心),其中CD=600 m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接 OC.OCDEF,CDOE11600300(m).22C FC D222,O CC FO F22230090.RR设这段弯路的半径为 R m,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得 R=545.这段弯路的半径约为 545 m.四、巩固新知四、巩固新知拓展提升：如图，O 的直径为 10，弦AB=8,P 为 AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3 cm OP 5 cmBAOP四、巩固新知四、巩固新知垂径定理内容推 论辅 助 线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件 就 可 以 推 出 其 它 三 个 结 论（“知 二 推 三”）垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 弦,并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧两条辅助线：连 半 径，作 弦 心 距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形五、归纳小结五、归纳小结再再 见见
