1、1.2 直角三角形直角三角形 (2课时课时)2022-10-21aabcc2022-10-22美国第十七任总统的证法22222122122121221221212122212212221211)2()(cbacababbasscabcababsabbababababasbacbac2022-10-23cabcabcabcab(a+b)2=c2+4ab/2a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4ab/22022-10-24ca ca cb ca c2=4ab/2+(b-a)2 c2=2ab+b
2、2-2ab+a2 c2=a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24ab/2+(b-a)22022-10-25 四年一度的国际数学家大会于四年一度的国际数学家大会于20022002年年8 8月月2020日在北京召开日在北京召开，大会会标如图，它是由四，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形的一个大正方形.2022-10-26学习目标学习目标 1定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定理定理:直角三角
3、形两条直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。定理定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。2022-10-27w判断下列命题的真假判断下列命题的真假,并说明理由并说明理由:w两个锐角对应相等的两个直角三角形全等两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w两直角边对应相等的两个直角三角形全等两直角边对应相等的两个直角三角形全等;开启 智慧w一条直角边和另一条直角边上的中线对
4、应相等一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等的两个直角三角形全等.2022-10-28设矩形的对角线设矩形的对角线AC与与BD的交点为的交点为O，那么那么BO是直角是直角ABC中一条怎样的特殊线段？中一条怎样的特殊线段？它与它与AC有什么大小关系？有什么大小关系？ABCDOABCO定理定理 直角三角形斜边上的中线等于斜直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半边的一半ABC=90，OA=OCAC=2BO 或或 OA=OB=OC学习目标学习目标 22022-10-29特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质:1.1.在直角三角形中在直角三角形中,如果如果有一个锐角等于有一个锐
5、角等于30300 0,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半。2.2.在直角三角形中在直角三角形中,如果如果一条直角边等于斜边一条直角边等于斜边的一半的一半,那么那么它它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.学习目标学习目标 32022-10-210互逆命题互逆命题,逆命题逆命题 互逆定理互逆定理,逆定理逆定理如果如果两个角是对顶角两个角是对顶角，那么，那么这两个角相等这两个角相等。如果如果两个角相等两个角相等，那么，那么这两个角是对顶角这两个角是对顶角。三角形中三角形中相等的边相等的边所对的所对的角相等角相等。三角形中三角形中相等角相等角的所对的的所对的边相等
6、边相等。直角三角形两条直角三角形两条直角边直角边的平方和等于的平方和等于斜边斜边的平方。的平方。如果一个三角形如果一个三角形两边两边的平方和等于的平方和等于第三边第三边的平方的平方,那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。勾股定理：勾股定理：勾股定理勾股定理逆定理逆定理：学习目标学习目标 42022-10-211ACBD300特殊图形特殊图形:CBADE32你能求出你能求出AD和和AB吗吗?CBADE探索探索1:BC、CD、AB之间的关系？之间的关系？探索探索2：CD与与AD关系？关系？学习目标学习目标 52022-10-212 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，从前有一天，一
7、个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽横着比门框宽4 4尺尺，竖着比竖着比门框高门框高2 2尺尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。（只列不解）请根据这一问题列出方程。（只列不解）22224xxxx尺，得设：竹竿2022-10-213三角形全等的判定w公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w公理:两角及其夹边对应相等的两个三
8、角形全等（ASA）.w推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.w想一想:w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.w如果其中一边的所对的角是直角呢?w如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.w请证明你的结论.2022-10-214命题的证明命题的证明 我能行我能行w命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!w证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:ABC ABCABC(1)(2)(3)由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1
9、)和图(3)可知,这两个三角形不全等;w因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2022-10-215命题的证明命题的证明 我能行我能行w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.老师期望:你能写出它的证明过程吗?你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?w已知:如图,在ABC和ABC中,AC=AC,AB=AB,C=C=900.w求证:ABCABC.ABCABCw分析:w要证明ABCABC,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.
10、2022-10-216直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定定理及其定理及其三种语言三种语言 我能行我能行l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w如图如图,在在ABCABC和和A AB BC C中中,C=C=900,wAC=AC,AB=AB(已知已知),wRtRtABCRtABCRtA AB BC C(HL).ABCABC2022-10-217用三角尺作角平分线用三角尺作角平分线l再过点再过点M M作作OA A的垂线的垂线,l如图如图:在已知在已知A AOB B的两边的两边OA,A,OB B上分
11、别取点上分别取点M,N,M,N,使使 OM=M=ON;N;l过点过点N N作作OB B的垂线的垂线,两垂线交于点两垂线交于点P,P,那么射线那么射线OP P就是就是A AOB B的平分线的平分线.l请你证明请你证明OPOP平分平分AOB.AOB.ABOPMNl已知已知:如如图图,OM=M=ON,PMN,PMOM,PNM,PNON.N.l求证求证:A:AOP=BP=BOP.P.l先把它转化为一个纯数学问题先把它转化为一个纯数学问题:2022-10-218w如图如图,已知已知ACB=BDA=90ACB=BDA=900 0,要使要使ABCABCBDA,BDA,还需要什么条件还需要什么条件?把它们分别
12、写出来把它们分别写出来.l增加增加AC=BD;AC=BD;议一议议一议A AB BC CD Dl增加增加BC=ADBC=AD;l增加增加ABC=BAD;ABC=BAD;l增加增加CAB=DBA;CAB=DBA;l你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?l若若AD,BCAD,BC相交于点相交于点O,图中还有全等的三角形吗图中还有全等的三角形吗?Ol你能写出图中所有相等的线段你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗相等的角吗?l你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?2022-10-219w.已知已知:如图如图,D,D是是ABCABC的的BCBC边上边上的中点的中
13、点,DEAC,DF,DEAC,DFAB,AB,垂足分别垂足分别为为E,F,E,F,且且DE=DF.DE=DF.w求证求证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.D DB BC CA AF FE E2022-10-220w.已知已知:如图如图,AB=CD,AB=CD,DEAC,BFAC,DEAC,BFAC,垂足分别为垂足分别为E,F,DE=BF.E,F,DE=BF.w求证求证:(1)AE=AF;(1)AE=AF;(2)ABCD.(2)ABCD.B BC CA AE ED DF F2022-10-221 四年一度的国际数学家大会于四年一度的国际数学家大会于20022002年年8 8月月2020日日
14、在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若形，若大正方形的面积为大正方形的面积为2020，每个小直角三角形，每个小直角三角形两条直角边的和是两条直角边的和是6 6，求中间小正方形的面积。求中间小正方形的面积。拓展拓展:若有一个矩形长为若有一个矩形长为5,宽为宽为4,请你把它请你把它分割成分割成6块块,使得这使得这6块拼成一个正方形块拼成一个正方形.21442022-10-222定理定理1 直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。定理定理2 在直角三角形
15、中，两条直角在直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方。边的平方和等于斜边的平方。(逆命题逆命题)定理定理3 在直角三角形中，如果在直角三角形中，如果 一个一个 锐角等于锐角等于30，那么它所对，那么它所对 的直角边等于斜边的一半。的直角边等于斜边的一半。(逆命题逆命题)定理定理4 直角三角形斜边上的中线等直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半于斜边的一半特殊图形特殊图形课课后后小小结结2022-10-223ABC DFE 已知：已知：ABC，AC2+BC2=AB2求证：求证：C=90分析；构造一个直角三角形分析；构造一个直角三角形2022-10-224计算计算 一天一天,小华随老师和
16、同学去爬山小华随老师和同学去爬山.回到家回到家,妈妈妈问妈问:“你们爬的山大约有多高？你们爬的山大约有多高？”小华说：小华说：“我也不知道，只是老师带领我们测得小山的我也不知道，只是老师带领我们测得小山的坡度约为坡度约为3030，从山下到山顶沿直线大约要走，从山下到山顶沿直线大约要走10001000米。米。”你能帮小华算出山的高度吗？你能帮小华算出山的高度吗？1000米？302022-10-225 如图，在高为米，坡角为如图，在高为米，坡角为30的楼的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？梯表面铺毯，地毯长度约为多米？30米米2022-10-226反过来怎么样反过来怎么样逆逆向思维向思维w命题命题:
17、在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.w是真命题吗是真命题吗?w如果是如果是,请你证明它请你证明它.心动 不如行动300ABC已知已知:如图如图,在在ABC,ACB=90ABC,ACB=900 0,BC=AB/2.,BC=AB/2.求证求证:A=30:A=300 0.2022-10-227 ACB=90 ACB=900 0,CD=BC(,CD=BC(已知已知)AB=ADAB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等端的距离相等)又又BC=AB/2(BC=A
18、B/2(已知已知),),BC=BD/2(BC=BD/2(作图作图),),AB=BDAB=BD(等量代换等量代换).).AB=BD=AD(AB=BD=AD(等式性质）等式性质）.ABDABD是等边三角形是等边三角形(等边三角形意义等边三角形意义)B=60 B=600 0(等边三角形意义等边三角形意义).).A=30 A=300 0(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).).ABCD证明证明:延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接AD.AD.2022-10-228几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思这是一个通过线段之间的关系来判定一个这是一个通过线段之间的
19、关系来判定一个角的具体度数角的具体度数(30300 0)的根据之一的根据之一.w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边等于如果一条直角边等于斜边的斜边的一半一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0.在在ABCABC中中ACB=90ACB=900 0,BC=AB/2,BC=AB/2(已知已知),),A=30A=300 0(在直角三角形中在直角三角形中,如果如果一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半,那那么它么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0).).ABC3002022-10-229成功者的摇篮 试一试试一试P141.如图如图(1):四边形
20、四边形ABCD是一张是一张正方形正方形纸片纸片,E,F分别分别是是AB,CD的中点的中点,沿着过点沿着过点D的折痕将的折痕将A角翻折角翻折,使使得得A落在落在EF上上(如图如图(2),折痕交折痕交AE于点于点G,那么那么ADG等于多少度等于多少度?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA2022-10-230成功者的摇篮 试一试试一试P14DACBEF(2)GA1答答:ADG:ADG等于等于15150 0.证明证明:DF=DC/2(DF=DC/2(中点意义中点意义),),A A1D=AD=CDD=AD=CD(正方形各边都相等正方形各边都相等)DF=ADF=
21、A1D/2(D/2(等量代换等量代换).).DADA1 1F=F=30300 0 (在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角边如果一条直角边等于斜边的一半等于斜边的一半,那么它那么它所对的锐角等于所对的锐角等于30300 0).).又又ADEFADEFAA1 1DADA=DADA1 1F=F=30300 0 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等).).ADG=AADG=A1 1DA/2=15DA/2=150 0(角平分线意义角平分线意义).).30300 02022-10-231 矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折,折痕为折痕为EF展开后再折成如图所示展开
22、后再折成如图所示,使点使点A落在落在EF上的点上的点A处处,求第二次折痕求第二次折痕BG的长的长.ABCEDGAF34BG362022-10-232回味无穷 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).w 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.w 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:一
23、边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;w切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.w即(SSA)是一个假冒产品!小结 拓展2022-10-233知识的升华独立独立作业作业P9习题1.5 1,2题.祝你成功！2022-10-234习题1.5 独立作业独立作业w1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.w求证:ABC是等腰三角形.分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;进而需要证明BC所在的BDFCDE;而BDFCDE的条件:从而需要证明B=C;BD=CD,DF=DE均为已知.因此,ABC是等腰三角形可证.DBCAFEw老师期望:w请将证明过程规范化书写出来.2022-10-235习题1.5 独立作业独立作业w2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF.w求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.老师期望:请将证明过程规范化书写出来.BCAEDF分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.需要证明内错角A=C;而由ABFCDE可得证.(2)要证明ABCD,由已知条件,AB=CD,DEAC,BFAC,DE=BF.可证得ABFCDE,从而可得AF=CE.2022-10-236
