1、4一、对数的概念1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少?提示:N=2x.(2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,则分裂的次数分别是多少?提示:3次,4次.(3)上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?提示:能,x=log2N.2.填空:一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.一二三一二三3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取值范围是什么,为什么?提示:由于对数式中的底数a就是
2、指数式中的底数a,所以a的取值范围为a0,且a1;由于在指数式中ax=N,而ax0,所以N0.4.对数式与指数式的互化(1)在指数式和对数式中都含有a,x,N这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点?提示:一二三(2)53=125化为对数式是什么?log416=2化为指数式是什么?指数式与对数式具有怎样的关系?提示:log5125=3,42=16.当a0,a1时,ax=Nx=logaN.(3)(-3)2=9能否直接化为对数式log(-3)9=2?提示:不能,因为只有符合a0,a1时,才有ax=Nx=logaN.一二三答案:(1)B(2)D(3)C 一二三(4)判断正误因为(-2)2=4
3、,所以log-24=2.()log34与log43表示的含义相同.()答案:(1)B(2)D(3)C(4)一二三二、常用对数与自然对数1.(1)10b=a用对数式如何表示?提示:b=log10a,简记为b=lg a.(2)在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.(3)ln M=n用指数式如何表示?提示:en=M.2.填空3.做一做(1)lg 105=;(2)ln e=.答案:(1)5(2)1一二三三、对数的基本性质1.(1)“60=?”化成对数式呢?提示:1log61=0.(2)“51=?”化成对数式呢?提示
4、:5log55=1.2.填空对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)loga1=0(a0,a1).(3)logaa=1(a0,a1).一二三3.做一做(2)若log3(log2x)=0,则x=.解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案:(1)D(2)2探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对数对数式与指数式的互化式与指数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化:分析:利用当a0,且a1时,logaN=bab=N进行互化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟1.logaN=b与ab=N(a0,且a1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可
5、以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1将下列指数式与对数式互化:(5)xz=y(x0,且x1,y0).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用利用对数式与指数式的关系求值对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=53x;(2)log7(x+2)=2;分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.(2)log7(x+2)=2,x+2=72=49,x=47.(3)ln e2=x,ex=e2,x=2.(5)lg 0.01=x,1
6、0 x=0.01=10-2,x=-2.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a0,且a1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2求下列各式中的x值:(2)log216=x,2x=16,2x=24,x=4.(3)logx27=3,x3=27,即x3=33,x=3.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用利用对数的基本性质与对数恒等式求值对数的基本性质与对数恒等式求值例3 求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;(2)log2(lg
7、 x)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a0,且a1)及对数恒等式求值.解:(1)ln(log2x)=0,log2x=1,x=21=2.(2)log2(lg x)=1,lg x=2,x=102=100.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思反思感悟感悟 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a0,a1);(3)logaa=1(a0,a1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式 =N(a0,且a1,N0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其
8、值为对数的真数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3求下列各式中x的值:解:(1)ln(lg x)=1,lg x=e,x=10e.(2)log2(log5x)=0,log5x=1,x=5.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽视底数的取值范围而致错典例 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.错解由对数的性质可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:上述解法的错误在于忘记检验底数需大于0且不等于1.解得x=1.故实数x的值为1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范防范措施措施 1.在对数表达式
9、x=logaN中,需满足底数a0,且a1,真数N0.2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是()A.(-,5)B.(2,5)C.(2,3)(3,5)D.(2,+)解析:要使对数式b=log(a-2)(5-a)有意义,故选C.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.将log5b=2化为指数式是()A.5b=2 B.b5=2C.52=bD.b2=5答案:C答案:C 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=Nb=logaN.现在已知a=log23,则2a=.解析:由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:3探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n=.解析:因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+n=a2man=(am)2an=223=12.答案:126.求下列各式中x的值:(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.
