1、向量的线性运算1.向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法。运算律：设对于实数，以及向量a，b，有（1）a+a=（+）a。（2）（a+b）=a+b。【思考】（1）向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？提示：向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量。（2）这里的条件“，为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的，都是实数，只有，都是实数时，运算律才成立。2.向量的线性运算向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）实数与向量a，则+
2、a与-a的和是向量。（）（2）对于非零向量a，向量-3a与向量a方向相反。（）（3）（a-b）=a-b。（）（4）a+a与（+）a的方向都与a的方向相同。（）提示：（1）。+a与-a均无意义。（2）。因为-30，所以正确。（3）。（4）。只有当+是正数时，a+a与（+）a的方向才都与a的方向相同。2.下列计算正确的个数是（）（-3）2a=-6a；2（a+b）-（2b-a）=3a；（a+2b）-（2b+a）=0。A.0B.1C.2D.3【解析】选C。因为（-3）2a=-6a，故正确；中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故正确；中，左=a+2b-2b-a=00，故错误。3.已知e是单位向量，a
3、=2e，b=-3e，则|a2b|=_。【解析】由题意得a-2b=8e，故|a2b|=8。答案：8类型一向量的线性运算【典例】1.（2019临沂高一检测）化简（2a+8b）-（4a-2b）的结果是（）A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b13122.已知向量a，b，x，且（x-a）-（b-x）=x-（a+b），则x=_。【思维引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简。2.利用解方程的方法求解。【解析】1.选B。原式=（a+4b-4a+2b）=（6b-3a）=2b-a。2.因为（x-a）-（b-x）=2x-（a+b），所以2x-a-b=x-a-b，即x=0。答案：01313【内化悟】（1）
4、向量的线性运算的主要方法是什么？提示：去括号，合并“同类项”。（2）解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？提示：可以。【类题通】向量线性运算的方法（1）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看做是向量的系数。（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算。【习练破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于（）A.10dB.-10dC.20dD.-20d【解析】选B。2a-3b+c=8d-15d-3d=-
5、10d。【加练固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y。【解析】将3x-y=b两边同乘2，得6x-2y=2b。与5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=a+b。所以y=3x-b=3-b=a-b。11121112()1111ab311511类型二用已知向量表示相关向量【典例】1.（2019长沙高一检测）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC。若=1+2（1，2为实数），则1+2的值为_。1223DEuurABuurACuuu r2.如图所示，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示AKuuu rAL
6、uurBCCD.uur uuu r，【思维引】1.先用向量表示向量，然后计算“系数”和。2.先把视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程（组），通过解方程（组）求出ABACuur uuu r，DEuurBCCDuur uuu r，BCCD.uur uuu r，【解析】1.由已知所以1=-，2=，从而1+2=。答案：2112(AC AB)ABABAC3263uuu r uuruuruuruuu r，21DE BE BDBCBA32uur uur uuu ruuruuu r162312122.设=x，则x，=e1-x，e1-x，又=x，由，得x+e1-x=e2，解方程得x=e2-e1，即=e2
7、-e1，由=e1-x，得=-e1+e2。BCuur1BK2uuu rAB AKKBuur uuu ruuu r121DL2uur14ADuuu rADDL ALuuu ruur uur121443234323BCuurCDABABuuu ruur uur，124323CDuuu r【内化悟】（1）对于典例1，分析切入问题时，对条件应怎样理解？提示：看作是用向量表示向量的结果。12DEABACuuruuruuu r“”ABACuur uuu r，DEuur（2）当已知向量与要表示的向量无法直接构造三角形或平行四边形法则时，该怎么办？提示：考虑建立方程（组），用解方程（组）的方法解决。【类题通】用
8、已知向量表示未知向量的技巧（1）由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律。（2）当直接表示较困难时，应考虑利用方程（组）求解。【习练破】如图，四边形ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知=a，=b，试用a，b表示ABuurADuuu rBCMNuuruuu r和【解析】方法一：连接CN，则ANDC，所以四边形ANCD是平行四边形。=-b，又因为=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b。CNAD uuu ruuu rCNNBBCuuu ruuu ruurBCCNNB uuruuu ruuu r121MNCN
9、CMCNAN2uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r1414方法二：因为=0，即：a+（-a）+（-b）=0，所以=b-a，又因为在四边形ADMN中，有=0，即：b+a+（-a）=0，所以=a-b。ABBCCDDAuuruuruuu ruuu rBCuur12BCuur12ADDMMNNAuuu ruuu ruuu ruuu r14MNuuu r1214MNuuu r【加练固】如图，以向量=a，=b为边作 OADB，用a，b表示OAuuu rOBuur11BMBC,CNCD,33uuu ruur uuu ruuu rOMONMN.uuu ruuu ruuu r，【解析】因为=a-b
10、，a-b，所以又因为=a+b，=（a+b）=a+b，BAOAOBuuu ruuu ruur11BMBA66uuu ruuu r1615OMOBBM66uuu ruuruuu r，abODuuu r1112ONOCCDODODOD3263uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r232323所以=a+b-a-b=a-b，即有=a+b，=a+b，=a-b。MNONOMuuu ruuu ruuu r232316561216OMuuu r16562323ONuuu rMNuuu r1216类型三三点共线问题【典例】设a，b是不共线的两个非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，
11、求证：A，B，C三点共线。【思维引】利用向量共线条件解答。OAuuu rOBuurOCuuu r【证明】由题意，得=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2，所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线。AB OB OAuur uur uuu rBC OC OBuur uuu r uurABuurABuurBCuur【类题通】证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分。【习练破】已知非零向量e1，e2不共线。如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3（e1-e2），求证：A，B，D三点共线。ABuurBCuurCDuuu r【证明】因为=e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5（e1+e2）=5。所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线。ABuurBD BCCDuuu r uuruuu rABuurABuurBDuuu r
