1、第十二章 债券价值评估债券估价模型债券的收益率利率的期限结构债券的久期与凸性12.1 债券估价模型 现 值 模 型：用单一的贴现率来计算债券的现值。收益率模型：基于债券当前价格来计算内部收益 率（承诺收益率）12.1.1 现值模型现值模型111TttTtCPVPyy将计算出的现值与债券当前价格比较。将计算出的现值与债券当前价格比较。y 是必要收益率（贴现率）是必要收益率（贴现率）问题：若每期结息问题：若每期结息m次，公式如何？次，公式如何？若现值 当前价格，则值得买入。若现值 当前价格，则不值得买入。假设债券到期日距当前时间还有T期，Ct 为t期的利息，PV是票面面值。当前计划买入并持有到期。
2、若半年结算一次息：1111TttTtCPVPyy若 年付息1次则 问题：如何选定必要收益率？一价定律221121122TttTtCPVPyy12.1.2 收益率模型1111TttTtCPVPyy若 年付息1次则P是债券当前价格，y 是待通过上式求出的预期收益率（内部收益率）将将y 与必要收益率比较与必要收益率比较此时的y 也称为到期收益率 （教材P250）y 必要收益率，则值得买入。y 必要收益率，则不值得买入。现值模型和收益率模型成立有现值模型和收益率模型成立有3个条件：个条件：投资者持有债券到期投资者持有债券到期无违约无违约(利息和本金能按时、足额收到）利息和本金能按时、足额收到）收到利息
3、收到利息能以相同的收益率再投资能以相同的收益率再投资010111(1)(1)(1)(1),.,(1)nttntnnnnCFPyyPyCyCyCF以相同的收益率再投资例如：在收益率模型中，两种模型最大不足是，把短期、中期、长期两种模型最大不足是，把短期、中期、长期利率利率 看成是相等的。但是这个假设显然与市场实际看成是相等的。但是这个假设显然与市场实际情情 况不符。况不符。实际上，债券的收益率是一个比较复杂的实际上，债券的收益率是一个比较复杂的 概念概念12.2 债券的收益率债券的收益率远期利率到期收益率持有期收益率即期利率本期利率赎回收益率n利率通常又称为货币的时间价值时间价值n名义利率(no
4、minal interest rate)货币的增长率n实际利率(real interest rate)购买力的增长率12.2.1 利率利率经济学里的利率n这里CCL表示通货膨胀率n当投资者对将来财富的购买力感兴趣时，在进行投资选择时，名义利率和实际利率的区分至关重要。RIRCCLNIR111CCLNIRRIRn 两种计算利率的方式：简单利率计算简单利率计算(simple interest)和复利的计算复利的计算(compound interest)。简单利率计算简单利率计算n例子：n在简单利率计算的规则下，总值随时间的增加而线性增加。复利的计算复利的计算n例子n在复利计算的规则下，总值随时间的
5、增加而以指数增加。连续复利计算连续复利计算(continuous compounding)n例子债券分析中的利率债券分析中的利率时间概念很强：210ttti0t签约时间1t借贷开始时间2t借贷结束时间1.利率2.几种债券利率与收益率远期利率到期收益率持有期收益率即期利率本期利率赎回收益率12.2.2 到期收益率到期收益率 P323n到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券购买价格相等的折现率。到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率001,1111mnmnttPPVnCmyCPVmPyymm若已知债券当前购买价格，面值为，现在距离到期时间为
6、年，每年支付的利息总额为年内共分 次付息，则满足下式的 就是到期收益率（）2021/2(2)(1/2)(1/2)ntntCPVPyy若每半年支付1次利息，到期收益率仍以年表示则011(3)11ntntCPVPyy若 年付息1次则实现复利收益与到期收益率问题：实现复利收益与到期收益率问题：（P250 251）问题：到期收益率能否实际实现取决于哪些条件？12.2.3 持有期收益率持有期收益率持有期回报率：是指债券在一定时期内的收益 （包括资本损益）与债券期初价格 的一个百分比。例如：债券3 0年期、面值1000元，年息票收入为8 0元，年初以1 000元购入，并持有到期，则它的到期收益率为8%。若
7、持有一年，如果债券价格到年底升为1 050美元，则这一年的持有期收益率为：持有期收益率 8 0(1 050-1 000)/1 000 0.13 或1 3%12.2.4 赎回收益率赎回收益率 P325赎回收益率的计算与到期收益率的计算基本相同，只是要以赎回日代替到期日，以赎回价格代替面值。2t021/2CP(1/2)(1/2)ntntCPyy若 每 半 年 支 付 1次 利 息，赎 回 收 益 率 y仍 以 年 表 示 则n为购买日到第一个赎回日的时期数，CP为赎回价格，P0 为购买价格，Ct 为t期利息。例：P32512.2.5 本期利率本期利率 P323现行收益率(current yield
8、)12.2.6 即期利率即期利率 (spot rates)P3201.即期利率定义：P320n即期利率(spot rate)是零息债券的到期收益率。n它是定义利率期限结构的基本利率。例：P32010011TttTttTCPVPii2.债券估值模型的精确化若已知在当前时间（t0）的t期的即期利率 (t=1,2,T).则：0ti3.如何确定这些？(t=1,2,T).4.这些 ，之间有何联系？利率期限结构问题远期利率的概念未来的即期利率问题0ti01i02i0Ti12.2.7 远期利率远期利率 (forward rates)P321n远期利率：现在确定的在将来两个时间之间的 货币的利率。1.远期利率
9、定义 1 2t tit1t2350352.远期利率与即期利率的关系投资实例1考虑从现在开始到两年之后的这段时间。假设即期利率 ，已经知道。如果我们在银行把100元存两年，两年后，收入为我们也可以分两步进行投资，先将这100元存一年，同时决定将一年后得到的本息再存一年，从第一年末到第二年末之间的利率现在就约定好，设为 。两年后，收入将是100 元。由无套利无套利原理原理，这两种投资方法的回报应该相等(？)，即01i20 21 0 01i12i011211ii 20 20 11 21 0 011 0 011iii02i 20 20 11 2111iii上式表现了远期利率 与即期利率 ，之间的关系，
10、也表明远期利率可通过即期利率 计算出来。12i02i01i设一年后的未来实际的一年期即期利率为 ，12y12y12i当未来实际一年期即期利率是完全确定的时候，问题：12i 与 的区别和联系如何？12y12y现实中，未来利率总是不确定的，因而是一个随机变量，与 并不一定相等，甚至不一定等于 的均值 （未来短期利率的预期）。12y12i12y12E()y远期利率是未来盈亏均衡的利率。远期利率(Forward Rates)11112112221100 ttttttttiii一般地：100110 11 22 311(1)(1)11(1)(1)nnnnnnnniiiiiii远期利率是未来盈亏均衡的利率。
11、12.3 债券价值决定因素债券价值决定因素影响债券到期收益率的重要因素：影响债券到期收益率的重要因素：1、距到期日的时间长短（到期期限）2、收不到利息和本金的风险3、对各种现金收入流不同税收待遇的影响4、提前赎回的条款规定5、一般市场利率变化的影响n期限结构理论n违约风险n税收待遇n 早赎条款12.3 债券价值决定因素债券价值决定因素12.3.1 利率期限结构理论利率期限结构理论n 收益率曲线n 纯预期理论（pure expectations theory）未来短期利率期望值远期利率n 流动性偏好理论（liquidity perference theory)长期债券必须有流动性溢价（liqui
12、dity premium）n市场分割理论（market segentation theory)长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者12.3.1 利率期限结构理论利率期限结构理论n 收益率曲线作用债券收益率曲线债券收益率曲线是描述在某一时点上一组可交易债券的收益率与其剩余到期期限之间数量关系的一条曲线，即在直角坐标系中，以债券剩余到期期限为横坐标、债券收益率为纵坐标而绘制的曲线。1、收益率曲线收益率曲线一条合理的债券收益率曲线将反映出某一时点上(或某一天)不同期限债券的到期收益率水平。研究债券收益率曲线具有重要的意义,对于投资者而言,可以用来作为预测债券的发行投标利率、在二级市场上选择债券投
13、资券种和预测债券价格的分析工具；对于发行人而言,可为其发行债券、进行资产负债管理提供参考。n 两种收益率曲线的差异当收益率曲线呈上升趋势时，即期利率总是大于到期收益率。当收益率曲线呈下降趋势时，即期利率总是小于到期收益率。而且期限越长，差别就越大。零息债券到期收益率零息债券到期收益率附息债券到期收益率附息债券到期收益率n 两个常用的债券定价方法收益率曲线定价法收益率曲线定价法 不同到期年限的债券可以在收益率曲线上找到对应的到期收益率，每期现金流都以这个到期收益率折现加总，如此得到的价格就是由收益率曲线法得到的价格。严格来讲，收益率曲线并不能代表整体市场的利率结构，它只能反映相应年期内的几何平均
14、收益率水平，因此，收益率曲线不能用于债券的精确定价。但收益率曲线也具有自身的优点，相对于期限结构，计算简单，可操作性强。111TttTtCPVPyy期限结构曲线定价法期限结构曲线定价法 不同期的现金流用对应的期限结构曲线上的利率贴现加总得到的价格是由期限结构曲线定价法计算的价格。使用期限结构计算出的债券合理价格相对于收益率曲线来说较为合理，它以市场上的期限结构作为基础，计算结果较为精确。10011TttTttTCPVPiin 两个常用的债券定价方法n 收益率曲线的四种形态 债券收益率曲线的形状可以反映出当时长短期利率水平之间的关系,它是市场对当前经济状况的判断及对未来经济走势预期(包括经济增长
15、、通货膨胀、资本回报率等)的结果。债券收益率曲线通常表现为四种情况,一是正向收益率曲线,表明在某一时点上债券的投资期限越长,收益率越高,也就意味社会经济处于增长期阶段；二是反向收益率曲线,表明在某一时点上债券的投资期限越长,收益率越低,也就意味着社会经济进入衰退期；三是水平收益率曲线,表明收益率的高低与投资期限的长短无关,也就意味着社会经济出现极不正常情况；四是波动收益率曲线,表明债券收益率随投资期限不同而呈现波浪变动,也就意味着社会经济未来有可能出现波动。nynnynnynnyn利率期限结构（即期收益率曲线，限讨论零息债券）利率期限结构（即期收益率曲线，限讨论零息债券）2.纯预期理论纯预期理
16、论(pure expectations theory)。该理论认为，远期利率反映了广大投资者对将来即期利率的某种预期。因此，随着期限的增加而增加的即期利率，说明了大部分投资者预期将来的即期利率将上涨。相反，随着时间的增加而递减的即期利率，说明了大部分投资者预期将来的即期利率将下跌。n无偏期望理论认为将来现货利率的预期值正好等于远期利率，用式子表示为：12E()y12i 20 20 11 2111iii 20 20 11 2111()iiEy由远期利率的定义有：n因此，大众预期一年期即期利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期即期利率将下降是期限结构下降的原因。n为什么大众预期预期即期利
17、率将变化？n高的实利率表示经济快速扩张、高的预算赤字、紧的货币政策n高通货膨胀也可能源于经济快速扩张，但也可能是因为货币供给过快或者经济供给方的冲击。该理论的合理性 历史数据较为支持该理论的下述观点，即人们对未来即 期利率预期的变化主要源于人们对通胀率预期的变化，当较高的现行通胀率造成短期利率过高时，人们对未来 通胀率的预期就会下降，利率的期限结构就会呈下降趋 势，反之呈上升趋势。该理论的缺陷 1 该理论只能解释理论上的利率周期变动，即利率上 升时期所用时间与下降期相等的情况，而不能解释 现实中利率期限结构呈上升趋势的时间多于多于下降趋 势的情况。3.流动性偏好理论流动性偏好理论易变性偏好理论
18、(the liquidity preference theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣。即使有些投资者长时间的持有债券，但他们仍然偏好于持有较短期债券。原因在于，如果他们持有较短期债券，那么，一旦他们提前需要资金时，他们所遇到的价格风险会更小。例如，一个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略，即，先投资一年，在第二年初连本带息再投资一年。这样，一旦提前需要资金时，他在第一年末会有一定数量的现金。但是，如果他采用的是一步到位的到期投资策略，即购买两年期的债券，那么，在第一年末提前需要现金时，他不得不去市场上卖掉债券。如果这时的价格很低，他就会遭受大的损失。因此，到期投资策略具有滚
19、动投资策略没有的额外风险。所以，作为投资者而言，会偏好于短期债券。能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高，即，贷款者为了吸引投资者去购买长期债券，不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金。作为贷款者，他们是愿意支付这种风险酬金的。首先，频繁的进行融资需要宣传、管理等大量的费用，而通过发行长期债券能够大量减少这种成本。其次，贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资，所以，他认为短期债券比长期债券更具风险性。远期利率与将来的期望即期利率之间的差称为流动性贴水(liquidity premium)。这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率。例如
20、，以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金，则2,1L1 21 21 2E()iyL2011201120211()111iE yiii 流动性偏好理论认为，利率期限结构单调下降表明市场预期即期利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期即期利率既可能上升也可能下降，是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率。一般来说，曲线越陡，市场预期即期利率上涨的可能性越大。如果我们粗略地认为，市场估计即期利率上升与市场估计即期利率下降的可能性是一半对一半，则流动性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大。（流动性贴水通常大于零）总结：流动性偏好的收益率曲线n若收益率曲线是上升的，
21、并不一定是预期短期利率曲线上升引起的。n若收益率曲线下降或者驼峰式，则预期短期利率一定下降。n问题：短期投资者有没有可能投资长期债券？长期投资者有没有可能投资短期债券？4、市场分割理论 n前两个理论都暗含着一个假定：不同到期债券之间相互可以替代的。长短期利率由同一个市场共同决定。n市场分割理论认为长短期债券基本上是再分割的市场上，各自有自己独立的均衡价格（利率）投资者对不同期限的债券有不同的偏好，因此只关心他所偏好的那种期限的债券的预期收益水平。n按照市场分离假说的解释，收益率曲线形式之所以不同，是由于对不同期限债券的供给和需求不同。数量数量利率利率短期债券市场短期债券市场数量数量利率利率长期
22、债券市场长期债券市场对市场分割理论的评述n与事实不符合，不符合无套利原则，只有市场无效率，长短期投资者互不知道对方信息，从而一方未能抓住另一方的获利机会n类比：投资者与投机者角色转换资金的流动受到阻碍n所以，不同到期日的债券是相互竞争的，即所谓的“优先置产理论”（preferred habit theory)。市场分割理论已基本上被抛弃！附：短期利率（附：短期利率（short-term interest rate）短期利率是指融资期限在一年以内的各种金融资产的利率。也指货币市场上的利率。它对货币市场资金供求状况最为敏感，变动十分频繁。纽约货币市场和伦敦货币市场是世界上最大的短期融资中心，由该市
23、场确定的利率水平对世界市场起着带头作用。美国重要的短期利率中水平最低的是国库券利率，其中91天的国库券利率为短期证券的代表利率。联邦基金利率期限最短,对短期资金供求反应最为敏感,其他短期利率常受此影响。再贴现率是联邦储备银行的货币政策工具，而不是由市场供求决定的利率，它是优惠利率及其他短期利率制定的重要基础，是商业银行放款的基准利率，是对国际金融市场产生重大影响的利率之一。其他比较重要的短期利率主要有商业票据利率、大额可转让存单利率、银行承兑利率等。伦敦金融市场是世界上最大的国际短期融资中心。伦敦银行同业拆借利率是国际上各种短期利率的基准。其他存贷款利率一般被表示成伦敦银行同业拆借利率的减加息
24、。n年期的即期利率是指距离到期日时间为n年的零息票债券的到期收益率。第n年的短期利率是指预计第n年的一期利率。最后，n年期的远期利率是指两种n年期投资策略的收益满足相同的“收支平衡关系“的短期利率。这是两种投资策略，一种事投资于n年期的零息票债券；另一种事先投资于n-1年期零息票债券，然后紧接着投资于1年期零息票债券。即期利率和远期利率可以在当前时间得知，但是由于利率包含的不确定性，未来的短期利率是不可知的。在不含着未来利率不确定性的特例中，从收益率曲线计算出来的远期利率将等于在未来实际发生的短期利率。长期利率（长期利率（long term interest rate）长期利率是短期利率的对称
25、。是指融资期限在一年以上的各种金融资产的利率，如各种中长期债券利率、各种中长期贷款利率等，是资本市场的利率。资本市场的形式大体可分为两种：一种是长期证券市场，其利率就是长期证券利率；另一种是实际长期资本市场，即直接投资形成实际资本，其利率即长期贷款利率。长期资本的划分各国各地区标准不一,一般指1年以上的资产与负债。关于长期利率的确定有着不同的解释：完全预期理论认为对未来短期利率的完全预期是形成长期利率的基础，如果预期未来短期利率趋于上升，则长期利率高于短期利率；反之亦反。完全预期理论最重要的假设前提是不同期限证券的完全替代性，这一点引起很大争议。市场分割理论认为投资者和借款者都有期限偏好，不同
26、的期限需求将金融市场分割，各自有不同的供给与需求条件，长期利率和短期利率是由各自的市场条件所决定，即不同期限证券的替代是有局限性的，不是完全替代关系。流动贴水理论则认为长期利率水平高于短期利率，其原因在于必须对流动性和风险加以补偿。实际上，长期利率水平一般是高于短期利率的。练 习到期年限（年）到期收益率（）1828.539.049.5假设无息债券的到期收益率如下：假设无息债券的到期收益率如下：（1）计算远期利率）计算远期利率（2）若市场期望理论成立，请建立利率期限结构）若市场期望理论成立，请建立利率期限结构（3）若流动性报酬由第）若流动性报酬由第2年起为年起为1，请建立利率期限结，请建立利率期
27、限结构形式（提示：利用（构形式（提示：利用（2）的结果）的结果）12.3.2 违约风险违约风险 P3351、违约贴水2、风险贴水3、债券评级1、违约贴水违约贴水到期收益率预期到期收益率属于非系统风险属性2、风险贴水风险贴水风险债券预期到期收益率具有相同期 限和票面利率的无违约债券到期收益率属于系统风险属性附：债券（优先股）评级n债券评级（Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。n债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。n问题：高等级的债券的收益是否一定
28、高于低等级的债券？n美国的垃圾债券，违约风险相当高，等级非常低，但是其收益是所有债券中最高的。n评级是发行者的自愿行为，在西方国家，如果债券没有评级，往往不被投资这所认可，难以体现债券的特色，债券评级类似市场细分，就难以找到销路。n问题：债券评级需要花费巨大的评级费用，谁来支付？由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。上海规定：只有债券达到一定的等级才能发行，合理上海规定：
29、只有债券达到一定的等级才能发行，合理吗？吗？评级的依据n仅仅介绍标准普尔（standard poor）债券评级1.违约的可能性：还本付息的能力和意愿2.债务的性质和条款：债权人是否优先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等。3.非常情况下的债权人的权利保障情况。评级的步骤1.收集足够的信息来对发行人和所申报的债券进行评估，在充分的数据和科学的分析基础上评定出适当的等级。2.监督已定级的债券在一段时期内的信用质量，及时根据发行人的财务状况变化的反馈作出相应的信用级别调整，并将此信息告知发行人和投资者。n问题：一个公司的不同债券的级别是否相同？一个企业的同种债券在不同时候级别是否相同？主要级
30、别投资级AAAAABBBAAA-AAA-A+表示略高于或低于该级别表示略高于或低于该级别CCC其他级别BBBCCDDDDDDC投机级投机级nAAA是信用最高级别，表示无风险，信誉最高，偿债能力极强，不受经济形势任何影响；nAA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；nA是表示中上级，较少风险，支付能力较强，在经济环境变动时，易受不利因素影响；nBBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。n后几种级别（到C为止）则属投机级别，其投机程
31、度依此递增，这类债券面临大量不确定因素。特别是C级，一般被认为是濒临绝境的边缘，也是投机级中资信度最低的。nD等信用度级别，则表示该类债券是属违约性质，根本无还本付息希望，如被评为D级，那发行人离倒闭关门就不远了。因此，是三个D还是两个D意义已不大。债券评级的客观性和公平性（1）民间经济警察的角色在西方发达国家，债券评级机构是私人的盈利性企业，这些机构以生产信息来盈利，因此，信息必须有价值，信息的价值首先就要求客观、真实。由于其是私人的机构不受政府的限制。评级机构只要一次违规，将对其未来的生存构成威胁，而且随时准备吃官司n世界5大会计师事务所之一的安达信就一次违规而破产，现在只有4大。（2）信
32、息的正反馈效应独立性盈利性可性度，形成正反馈机制。n问题：中国的会计师事务所为什么没有成为民间经济警察？政府的附属机构，很多与财政部门藕断丝连，会计师事务所有行政级别。事务所多，国家采取合并，反而使门槛降低，竞争更加激烈。引申：高校合并游戏规则要由民间制定。附录：普通股编列（ranking）普通股没有评级，只有编列（ranking）有的书上说普通股有级别是不对的，普通股不存在什么违约风险（为什么？）。普通股编列的意义与债券的评级完全不同。考察指标有：n红利的增长以及增长的稳定性n以往的业绩n发行公司的大小12.3.3 税收待遇税收待遇税收风险 资本利得税 利息所得税12.3.4 早赎条款早赎条
33、款 P338赎回条款早赎贴水期权特性到期收益率的考量例：一种30年期的债券，息票率8%，半年付息一次，五年后可按1 100美元提前赎回。此债券现在以到 期收益率7%售出(每半年3.5%)。a.到赎回时的收益率是多少？b.如果赎回价格仅为1 050美元，则到赎回时的收 益率是多少？c.如果提前赎回价格仍为1 100美元，但是是两年 而不是五年后就可赎回，则到赎回时的收益率 是多少？解：a.债券以3.5%的到期收益率，售价为1 124.72美元。n=60；i=3.5%；FV=1 000；PMT=40 因此，回购收益率为每半年3.368%。n=10个半年期；PV=(-)1 124.72；FV=1 1
34、00；PMT=40 b.如果回购价格为1 050美元，我们设FV=1 050，重做(a)，发现回购时收益率为2.976%。回购价 格越低，则回购时收益率越低。c.回购时收益率每半年为3.031%。n=4；(-)PV=1 124.72；FV=1 100；PMT=4012.4 债券的久期与凸性债券的久期与凸性久期久期(duration)(duration)的定义：的定义：根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算的期限是债券的久期。也就是说，债券久期是债券本息支付的所有现金流的到期期限的一个加权平均。它的主要用途是说明息票式债券的期限12.4.1 久期(Duration)11111111
35、*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCpPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率111/(1)(1)tTTTtttttttttCCDtt wyyw其中，为 时期的权重*/1dP PDDdyy n久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大率变化引起的债券
36、价格变化越大n久期是到期时间的加权平均，权重是久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值时刻现金流的现值占总现值的比例占总现值的比例n 例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，到期收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。72.73 166.122811.40 3950.252.78(D 年）例子Macaulay久期定理 n定理1：只有无息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。11122/(1)(1)00./(1)(1)(1)(1)TTttttttTTTtCCDtyyCCTCCyyyyT证明：n定理2：附息债券的Macaulay久期小于它
37、们的到期时间。1112211221/(1)(1)12./(1)(1)(1)(1)./(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCT CTCTCTyyyy证明：n定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。*/1/(1)(1)01,1dP PDDdyydP PdP dyyDyDdyPyPDD 证明：由于，所以（）当若债券的贴现率 不变，则当息票率上升时债券的价格 上升，从而由（）可知久期 下降，则修正久期也下降。Macaulay久期定理n定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。Malkeil定理2n定理5：久期以递
38、减的速度随到期时间的增加而增加。Malkeil 定理3220,0DDTT*/1/(1)(1)011ydPPDDdyydPPdP dyyDyDdyPDD 证明：由于，所以（）由（）可知，若到期收益率 上升，则有久期上升，则修正久期也上升。定理定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。益率越低，久期越长。利用久期度量风险*/dP PdPDDdydyP *()()dPDdyP22*22()()()dPDdyDdyP例子：假设一个例子：假设一个10年期零息债券，年期零息债券，10年期即期利率为年期即期利率为8且具有且具有0.94%的波动，则该
39、债券价格的波动率为？的波动，则该债券价格的波动率为？10()0.948.7%10.08dPP久期的缺陷n久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。n所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理的12.4.2 凸性n久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。能否从数学上给予解释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCdDd PcdyPdyPyy 泰勒展开与凸性2222()11 1()21()2p ydPd Pdydypp dypdyD dyc dy根据泰勒逼近公式 =-n凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。降的幅度要小。n在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。练 习到期收益率 5债券价格100调整久期4.33%凸性26.3849给定以上数据，当到期收益率上升到给定以上数据，当到期收益率上升到7时，债券时，债券的价格将如何变化？的价格将如何变化？
