1、 第四章第四章 双因素方差分析双因素方差分析 第一节第一节 双因素无重复方差分析双因素无重复方差分析一、数据描述一、数据描述表表4.1 B水水平平 A水平水平 B1 B2 Bj Bbyi.A1y11y12y1jy1by1.A2y21y22y2jy2by2.Aiyi1yi2yijyibyi.Aaya1ya2yajyabya.y.jy.1y.2y.jy.b双因素无重复实验的典型数据双因素无重复实验的典型数据y二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度的分解airjijTyyS112)(总偏差总偏差aiiaibjiAyybyyS12112)()(因素因素A偏差平方和偏差平方和bjjaibjJByya
2、yyS12112)()(因素因素B偏差平方和偏差平方和aibjjiijeyyyyS112)(aibjijijeyyS112)(试验偏差试验偏差?BAS 因素因素A与与B交互交互 影响偏差平方和影响偏差平方和aibjjiijjiyyyyyyyy112)(aibjjiijjiyyyyyyyy112)()()(aibjijTyyS112)(总差分解总差分解:aibjjiijjaibjjiijiaibjjiaibjaibjjiijjaibjiyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy111111111122112)(2)(2)(2)()()(可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零可以验证三个的两
3、两交叉项的累加和均为零=0=0=0aibjjiijiyyyyyy11)(aibjjiijiyyyyyy11)()(aibjbjbjbjjiijiyyyyyy11111)(0)(1aiiiiybybbybyyy0)(11aibjjiijjyyyyyy同理同理:aibjjiyyyy11)(aibjjiyyyy11)()(aibjbjjiyyyy111)(aibjbjjiybybyy111)/)(aiiybybyy10)(0)(11aibjjiijjyyyyyybjaiaiaiaijiijjyyyyyy11111)(bjaijiijjyyyyyy11)()(bjjjjyaayyaayyy10)(ai
4、bjaibjjiijjaibjiyyyyyyyy111122112)()()(aibjijTyyS112)(总差分解总差分解:bjjaibjJByyayyS12112)()(aiiaibjiAyybyyS12112)()(aibjjiijeyyyyS112)(1 aA11abNT1)1()1(1baabbaabBATe1bB自由度分析自由度分析)1)(1()1()1(abbbaeaibjjiijeyyyyS112)()1)(1()1(abbaabe)1(baabe分析分析 Se 的自由度的自由度由它的定义式可看出由它的定义式可看出 受到受到 a个个 、b 个个 及一个及一个 的约束，为：的约束
5、，为：ijy iyjyy111byybjj212byybjjabjajbyy1111ayyaiibbjibayy1212ayyaiiyabyaibjij11aibjjiijeyyyyS112)(?)1(baabe?)(baabe111byybjj212byybjjabjajbyy1)(2111aaibjijyyybyaiiaibjijyby111yabayabyaiiaibjij/)(111yabyaibjij11bjjaibjijyay111yabbyabybjjaibjij/)(111yabyaibjij11111ayyaiibbjibayy1212ayyaii因为因为)(2111baib
6、jijyyyay所以所以)(1121121111bjajbjjaiibaiiaiibjjyyyyyy)(32211abbybybyayayayby)1(baabe111byybjj212byybjjabjajbyy1111ayyaiibbjibayy1212ayyaii因为因为aiibaiiaiibjajbjjbjjyyyyyy1121111211所以所以baayayaybybybyby21321所以所以)1)(1(baeairjijTNTyS1212NTTbSaiiA2121NTTaSbjjB2121比较（与临界值),eAAFF对是否接受对是否接受H0ab1211三、平方和的简化计算三、平方
7、和的简化计算BATeSSSS比较（与临界值),eBBFFAAASVeAAVVF BBBSVeBBVVF eeeSVaibjijTyyS112)(aibjijijTyyyyS1122)2(aibjaibjaibjijijTyyyyS111111222总差分解总差分解:aibjaibjaibjijijTyNyNyyS11111122/2aibjijaibjijTyNyyNyyNyS112211222aibjaibjijijaibjaibjijijTNyyNyNyS111122112112)()(aibjijyT11aibjijTNTyS1122aiiiAyyyybS122)2(因素因素A总差分解总
8、差分解:aiiaibjiAyybyyS12112)()(aiaiaiiiAybyybybS112122aiaiiiAyabayyabbTbS1212/2)(21112122)/()(NyNbTyabbTbSaibjijaiiaiiANTbTSaiiA212bjjjByyyyaS122)2(因素因素B总差分解总差分解:bjjaibjjByyayyS12112)()(bjbjbjjjByayyayaS112122bjbjjjByabbyyabaTaS1212/2)(21112122)/()(NyNaTyabaTaSaibjijbjjbjjBNTaTSbjjB212BATeSSSS方差来源方差来源平
9、方和平方和S自由度自由度均方均方 V F值值显著性显著性因素因素A因素因素B误差误差eSASBSea-1b-1(a-1)(b-1)VAVBVeFA=VA/VeFB=VB/Ve总和总和STN-1双因素方差分析表双因素方差分析表表表4.2四、双因素方差实例分析四、双因素方差实例分析例例4.1 为研究三聚磷酸纯度与聚合时间与温度的关系为研究三聚磷酸纯度与聚合时间与温度的关系,经试验得如下表的经试验得如下表的 纯度数据纯度数据,试在显著水平试在显著水平a=0.05下分析聚合时间及温度对纯度的影下分析聚合时间及温度对纯度的影 响。响。纯度数据表纯度数据表 纯度纯度 温度温度 时间（小时）时间（小时）32
10、03403603802282.782.088.5862892.194.59495.03290.2949694.5解解:A表示聚合时间表示聚合时间;B表示温度表示温度,则则 a=3,b=4,N=ab=12（1）建立原假设）建立原假设 个总体均值相等12:0H个总体均值不完全相等12:1H9691667.2651212airjijTNTyS（2）计算统计量）计算统计量5016667.2151212NTTbSaiiA0625.351212NTTaSbjjB405.15BATeSSSSijy21 aA31bB6)1)(1(bae7508.10725016667.215AAASV6875.1130625
11、.35BBBSV55209.45675.26875.11eBBVVF96721.415675.27508.107eAAVVF5675.26405.14eeeSV(4)判断判断.对对a=0.05,查查F分布分位数表得分布分位数表得:14.5)6,2(),(05.005.0 FFeA96721.41eAAVVF而而).9,2(aAFF 所以所以推断因素推断因素A是显著的是显著的,时间对纯度有显著影响时间对纯度有显著影响76.4)6,3(),(05.005.0 FFeB55209.45675.26875.11eBBVVF).6,3(aBFF 所以所以推断因素推断因素B是不显著的是不显著的,即温度对纯
12、度没有显著影响即温度对纯度没有显著影响双因素无重复实验双因素无重复实验SPSS操作操作 第二节第二节 双因素等重复方差分析双因素等重复方差分析一、数据描述一、数据描述表表4.1 B水平水平 A水平水平 B1 B2 BbA1Y111，Y112，Y11r Y121，Y122，Y12r Y1b1，Y1b2，Y1br A2Y211，Y212，Y21rY221，Y222，Y22rY2b1，Y2b2，Y2brAiYi11，Yi12，Yi1rYi21，Yi22，Yi2rYib1，Yib2，YibrAaYa11，Ya12，Ya1rYa21，Ya22，Ya2rYab1，Yab2，Yabr双因素等重复实验的典型数
13、据双因素等重复实验的典型数据bjjaiiaibjrkijkybyaTabryabry111111111记号：记号：iT：表示：表示A 取取i条件下的数据和条件下的数据和bjrkijkiyT11 jT：表示：表示B 取取j条件下的数据和条件下的数据和airkijkjyT11T：表示所有实验数据的总和：表示所有实验数据的总和aibjrkijkyT111ijy：表示：表示AiBj条件下条件下r的数据的平均的数据的平均rkijkijyry11 iy：表示：表示A i 下的下的br个数据的平均个数据的平均bjrkijkiybry111ijT：表示：表示AiBj条件下的数据和条件下的数据和rkijkijy
14、T1 jy：表示：表示B i 下的下的ar个数据的平均个数据的平均airkijkjyary111二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度的分解aibjrkijkTyyS1112)(aiiaibjrkiAyybryyS121112)()(总偏差总偏差 因素因素A偏差平方和偏差平方和bjjaibjrkJByyaryyS121112)()(因素因素B偏差平方和偏差平方和aibjrkijijkeyyS1112)(试验偏差试验偏差?BAS 因素因素A与与B交互交互 影响偏差平方和影响偏差平方和平方和分解平方和分解aibjrkijkTyyS1112)(aibjrkjiijjiijijkTyyyyyyyy
15、yyS1112()()()(aibjrkjiijaibjrkjaibjrkiaibjrkijijkTyyyyyyyyyyS1112111211121112)()()()(ASBSeSBAS 其中其中:六个交叉项均为零六个交叉项均为零BAeBATSSSSS故双因素等重复实故双因素等重复实验方差分解式为验方差分解式为:证明交叉项为零证明交叉项为零:)()(111yyyyyyjiijaibjrkijijkaibjrkijijkjiijyyyyyy111)()(aibjrkijrkijkjiijyyyyyy1111)(aibjijijjiijryryyyyy11)(0自由度分解自由度分解1 abrT1
16、 aA1 bB)1)(1()1(babaabBABABATe)1(1111rabababrbaabbaabr)1(rabababre故双因素等重复实故双因素等重复实验自由度分解式为验自由度分解式为:eBABAT三、偏差平方和的简化计算三、偏差平方和的简化计算aibjrkijkTyyS1112)(aibjrkaibjrkijkijkyNyyy11121112aibjrkaibjrkijkijkyNNyNyy1112111/2aibjrkijkyNyNy111222aibjrkijkNTy11122NTTbryySaiiaibjrkiA21211121)(NTTaryySbjjaibjrkJB21
17、211121)(aibjijaibjrkijkaibjrkijiJkeTryyyS112111211121)(eBATBASSSSSNTTarTbrTrSbjjaiiaibjijBA21212112111四、双因素等重复实验方差分析程序四、双因素等重复实验方差分析程序 1.提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设H0:abij1211H1:各总体均值不完全相等各总体均值不完全相等.2.计算统计量计算统计量AAASVBBBSVBABABASVeeeSVeBAeBAESSVeBBVVF eAAVVF eBABAVVF 3.判断判断对于给定的显著水平对于给定的显著水平a,查查F分布分位数表分布分位数
18、表,因素因素A、B、AB的检验的检验临界值分别为：临界值分别为：),(),(),(eBAeBeAFFF当当成立时，拒绝原假设成立时，拒绝原假设H0，认为总体的均值发生了显著的变化，认为总体的均值发生了显著的变化),(),(),(eBABAeBBeAAFFFFFF或或 为了提高对主效应的检验精度，应首先对为了提高对主效应的检验精度，应首先对AB进行检验，当进行检验，当 成立时，可将其判为不显著并与实验误成立时，可将其判为不显著并与实验误差合并，记为差合并，记为 E，用，用 E 去判断因素去判断因素A与与 B的主效应的主效应),(eBABAFF即：即：EBBVVF EAAVVF 3.列方差分析表列
19、方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方均方V F值值 Fa显著性显著性因素因素A因素因素B因素因素AB误差误差eSASBSABSea-1b-1(a-1)(b-1)Ab(r-1)VAVBVABVeFAFBFAB总和总和ST abr-1 交互作用显著时交互作用显著时)eBF，（)eBAF，（)eAF，（交互作用不显著时交互作用不显著时方差方差来源来源平方平方和和S自由度自由度均方均方VF值值显著性显著性因素因素A因素因素B因素因素AB误差误差e误差误差ESASBSABSeSEa-1b-1(a-1)(b-1)Ab(r-1)Abr-a-bVAVBVABVeVEFAFBFAB不显著不显
20、著总和总和ST abr-1)EBF，（)eBAF，（)EAF，（F五、双因素等重复实验方差实例分析五、双因素等重复实验方差实例分析例例4.4 一位工程师设计研制一种用在某种装置内的电池一位工程师设计研制一种用在某种装置内的电池.工程师决定考察工程师决定考察三种板极材料和三种温度下对电池有效使用寿命的影响三种板极材料和三种温度下对电池有效使用寿命的影响.在每种在每种板极材料板极材料和温度下检测四个电池和温度下检测四个电池,实验观察所得电池使用寿命数据如表所示实验观察所得电池使用寿命数据如表所示:温度温度B 材料材料AB1B1B3A1130 15574 18034 4080 7520 7082 5
21、8A2150 188159 126126 122106 11525 7058 45A3138 110168 160174 120150 13996 10482 60试在试在a=0.05下下,对实验数据进行方差分析对实验数据进行方差分析解解:a=b=3N=36r=475.7713421112NTySaibjrkijkT167.106331122aiiANTTbrS167.390831122aiJBNTTarS1:建立假设建立假设:2:计算统计量计算统计量75.1798011121112aibjijaibjrkijkeTryS6667.9437eBATBASSSSSabijH12110:各总体均值
22、不完全相同:1H3514331 abrT213A213B422)1)(1()1(babaabBA2742235BABATe583.195412167.39083BBBSV5833.53162167.10633AAASV4167.235946667.9437BABABASV9537.6652775.17980eeeSV54291.39537.6654167.2359eBABAVVF98341.79537.6655833.5316eAAVVF3437.29eBBVVF54291.39537.665583.19541eBBVVF3.判断判断:7277.2),(54291.3eBAaBAFF3541.
23、3),(9834.7eAaAFF3541.3),(3437.29eBaBFFA与与B及及AB均产生显著差异均产生显著差异 第二节第二节 双因素不等重复方差分析双因素不等重复方差分析一、数据描述一、数据描述表表4.1 B水平水平 A水平水平 B1 B2 BbA1Y111，Y112，Y11r11Y121，Y122，Y12r12 Y1b1，Y1b2，Y1br1b A2Y211，Y212，Y21r21Y221，Y222，Y22rY2b1，Y2b2，Y2br2bAiYi11，Yi12，Yi1ri1Yi21，Yi22，Yi2rYib1，Yib2，YibribAaYa11，Ya12，Ya1ra1Ya21，Y
24、a22，Ya2rYab1，Yab2，Yabrab双因素不等重复实验的典型数据双因素不等重复实验的典型数据bjjaiiaibjijaibjijaibjrkijkybyarTryyij11111111111记号：记号：iT：表示：表示A 取取i条件下的数据和条件下的数据和bjrkijkiijyT11 jT：表示：表示B 取取j条件下的数据和条件下的数据和airkijkjijyT11T：表示所有实验数据的总和：表示所有实验数据的总和aibjrkijkijyT111ijy：表示：表示AiBj条件下条件下r的数据的平均的数据的平均ijrkijkijijyry11ijT：表示：表示AiBj条件下的数据和条
25、件下的数据和ijrkijkijyT1 jy：表示：表示B i 下的下的ar个数据的平均个数据的平均airkijkjyary111 iy：表示：表示A i 下个数据的平均下个数据的平均bjijbjrkijkiryyij111 jy：表示：表示B j下数据的平均下数据的平均aiijairkijkjryyij111二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度的分解aibjrkijkTijyyS1112)(aibjrkiAijyyS1112)(aibjrkJBijyyS1112)(总偏差总偏差 因素因素A偏差平方和偏差平方和 因素因素B偏差平方和偏差平方和aibjrkijijkeijyyS1112)(试
26、验偏差试验偏差 因素因素A与与B交互交互 影响偏差平方和影响偏差平方和平方和分解平方和分解aibjrkjiijijyyyy1112)(自由度分解自由度分解1 bB故双因素等重复实故双因素等重复实验自由度分解式为验自由度分解式为:eBABAT1111NraibjijT1 aA)1)(1()1(babaabBAabNabraibjije11三、偏差平方和的简化计算三、偏差平方和的简化计算aibjrkijkTijyyS1112)(aibjrkaibjrkijkijkijijyNyyy11121112aibjrkaibjrkijkijkijijyNNyNyy1112111/2aibjrkijkijyN
27、yNy111222aibjrkijkijNTy11122NTrTyySaiiiaibjrkiAij2121112)(NTrTyySbjjjaibjrkJBij2121112)(aibjijijaibjrkijkaibjrkijiJkerTyyySijij11211121112)(eBATBASSSSSNTrTrTrTrSbjjjaiiiaibjijijBA212121121四、双因素不等重复实验方差实例分析四、双因素不等重复实验方差实例分析例例4.4 某产品在两种工艺条件下某产品在两种工艺条件下,来自三个产地的原料来自三个产地的原料,测定所得的产品熔测定所得的产品熔点（点（）数据，）数据，如表
28、所示如表所示:试对其进行方差分析（试对其进行方差分析（a=0.05）原料产地原料产地B 工艺工艺AB1B1B3A1122，125，121123，126，125119，121A2128，126，125128，129125，123试在试在a=0.05下下,对实验数据进行方差分析对实验数据进行方差分析解解:a=2N=15b=36.1154.23213023224621112NTySaibjrkijkTij07.464.23213007.232177212NTrTSaiiiA1:建立假设建立假设:2:计算统计量计算统计量3211211rrr2232213rrr3.394.2321307.2321692
29、12NTrTSbjjjB5.225.2322232322461121112aibjijijaibjrkijkerTySij14115111aibjijTr112A2)1)(1()1(babaabBA9321511abraibjije2131 bB12.751.223.3967.466.115BAS56.3212.7BABABASV5.2951.22eeeSV42.15.256.3eBABAVVF26.4)9,2(),(42.15.256.305.0FFVVFeBAeBABA即判断即判断AB很不显著很不显著,合并合并EeBASSS为与63.29eBAESSS11eBAE35.1769.267.4
30、6EAAVVF69.21163.29EEESV30.769.265.19EBBVVF35.1769.267.46EAAVVF65.9)11,1(),(35.1701.0FFFEAaA3:判断判断:21.7)11,2(),(30.701.0FFFEBaB方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方均方V F值值F0.01显著性显著性工艺工艺(A)原料原料(B)误差误差E46.6739.329.63121146.6719.652.6917.357.3 9.65 7.21 总和总和115.614方差分析表方差分析表T Te es st ts s o of f B Be et tw we ee en
31、 n-S Su ub bj je ec ct ts s E Ef ff fe ec ct ts sDependent Variable:熔点93.100a518.6207.448.005222705.8781222705.87889082.351.00052.900152.90021.160.00145.833222.9179.167.007.0682.034.014.98722.50092.500232246.00015115.60014SourceCorrected ModelInterceptgyylgy*ylErrorTotalCorrected TotalType III Sumof
32、 SquaresdfMean SquareFSig.R Squared=.805(Adjusted R Squared=.697)a.对因素对因素B进行多重比较进行多重比较:m1=B1水平下试验重复数水平下试验重复数=6m2=B2水平下试验重复数水平下试验重复数=5m3=B3水平下试验重复数水平下试验重复数=4K=因素因素B的水平数的水平数由于由于AB影响甚微影响甚微,因此为比较多重比较的精度因此为比较多重比较的精度,用用检验临界值检验临界值63.29EV11E比较比较B1与与B2水平的差异水平的差异:0,1,1321ccc0,1,1321ccc),1()1)(22212112EaEskFkm
33、cmcVd)11,2(2)5161(69.205.0F8.2)98.32301169.26.12.14.02112yyd1212sdd所以因素所以因素B的第一水平与第二水平无显著差异的第一水平与第二水平无显著差异1,0,1321ccc),1()1)(32312113EaEskFkmcmcVd)11,2(2)4161(69.205.0F99.2)98.3212569.26.2)3(4.03113yyd1313sdd所以因素所以因素B的第一水平与第三水平无显著差异的第一水平与第三水平无显著差异1,1,0321ccc),1()1)(32312223EaEskFkmcmcVd)11,2(2)4151(69.205.0F1.3)98.3245.069.22.4)3(2.13223yyd1313sdd所以因素所以因素B的第二水平与第三水平之间存在显著差异的第二水平与第三水平之间存在显著差异
