1、1探究一：探究一：写出命题写出命题“若一个整数的末位数字是若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被，则这个整数能被5整除整除”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.逆命题逆命题:若一个整数能被若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是整除，则这个整数的末位数字是0否命题否命题:若一个整数的末位数字若一个整数的末位数字不不是是0，则这个整数，则这个整数不不能被能被5整除整除逆否命题逆否命题:若一个整数若一个整数不不能被能被5整除，则这个整数的末位数字整除，则这个整数的末位数字不不是是0原命题：原命题：真命题真命题逆命题：逆命题：假命题假命题否
2、命题：否命题：假命题假命题逆否命题：逆否命题：真命题真命题探究二：探究二：写出命题写出命题“若两个三角形全等若两个三角形全等,则它们的面积不相等则它们的面积不相等”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.逆命题逆命题:若两个三角形的面积不相等，则它们全等若两个三角形的面积不相等，则它们全等.否命题否命题:若两个三角形不全等，则它们的面积相等若两个三角形不全等，则它们的面积相等.逆否命题逆否命题:若两个三角形的面积相等，则它们不全等若两个三角形的面积相等，则它们不全等.原命题：原命题：假命题假命题逆命题：逆命题：假命题假命题否命题：否命题：假命题
3、假命题逆否命题：逆否命题：假命题假命题相等的角是对顶角相等的角是对顶角 写出命题写出命题“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”的逆命题，否命题和的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假逆否命题，并判断它们的真假.探究三：探究三：原命题：原命题：如果两个角相等，则它们是对顶角如果两个角相等，则它们是对顶角逆命题逆命题:如果两个是对顶角，则它们相等如果两个是对顶角，则它们相等否命题否命题:如果两个角如果两个角 不相等，则它们不是对顶角不相等，则它们不是对顶角逆否命题逆否命题:如果两个角不是对顶角，则他们不相等如果两个角不是对顶角，则他们不相等原命题：原命题：假命题假命题逆命题：逆命题：真命题真命
4、题否命题：否命题：真命题真命题逆否命题：逆否命题：假命题假命题 从三个探究，我们可以发现什么规律？你能从三个探究，我们可以发现什么规律？你能总结出来吗？总结出来吗？原命题原命题（若（若p，则，则q）逆命题逆命题（若（若q，则，则p）否命题否命题（若（若 p，则，则 q）逆否命题逆否命题（若（若 q，则，则 p）互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为互为 逆否逆否互互为为逆逆否否四种命题的相互关系四种命题的相互关系结论一：结论一：结论二：结论二：四种命题的真假性四种命题的真假性假假假假假假假假假假真真真真假假真真假假假假真真真真真真真真真真逆否命题逆否命题否命题否命题逆命题逆命题原命题原命题由三个
5、探究，我们还可以发现：由三个探究，我们还可以发现：原命题与逆命题原命题与逆命题未必同真假未必同真假.原命题与否命题原命题与否命题未必同真假未必同真假.原命题与逆否命题原命题与逆否命题一定同真假一定同真假.原命题的逆命题与原命题的否命原命题的逆命题与原命题的否命题题一定同真假一定同真假.结论三：结论三：（1）两个命题）两个命题互为逆否命题，互为逆否命题，它们有它们有相同相同的的真假性真假性.（2）两个命题为）两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题，它们，它们的真假性的真假性没有关系没有关系.四种命题真假性间的关系四种命题真假性间的关系 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以由于原命
6、题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证通过证明它的逆否命题为真命题，明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命来间接地证明原命题为真命题题 古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：戎站着没动。他说：“李子是苦的李子是苦的,我不吃。我不吃。”小小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。伙伴摘来
7、一尝，李子果然苦的没法吃。小故事小小伙伴伙伴问王戎问王戎:“这就怪了这就怪了!你又没有吃你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊?”王戎说王戎说:“:“如果李子是甜的如果李子是甜的,树长在路边树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多李子早就没了！李子现在还那么多,所以所以啊啊,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃!”!”在数学的证明中，我们会常常用到一种方在数学的证明中，我们会常常用到一种方法法反证法反证法.反证法反证法就是通过就是通过否定命题的结论否定命题的结论而导出而导出矛盾来达到肯定命题的结论矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论完成命题的论证的一种数学证明方法证的
8、一种数学证明方法.此处是命题的否定，要区别于否命题此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立）假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立设结论的反面成立;（2）从这个假设出发）从这个假设出发,经过推理论证经过推理论证,得出矛盾得出矛盾;（3）由矛盾判定假设不正确）由矛盾判定假设不正确,从而肯定从而肯定 命题的结论正确命题的结论正确.反设反设归谬归谬结论结论原命题与其逆否命题的等价性原命题与其逆否命题的等价性例例1：若若a2能被能被2整除，整除，a是整数，是整数，求证：求证：a也能被也能被2整除整除.证明：证明：假设假设a不能被不能被2
9、整除，则整除，则a必为奇数，故可必为奇数，故可 令令a=2m+1(m为整数为整数),由此得由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相整除）相矛盾矛盾,a能被能被2整除整除.2200 xyxy例2、证明：若，则 分析：证明其逆否命题22222,0000=0=0.x yxxxyxyx y证明：若中至少有一个不为，不妨设，则，这与已知条件矛盾，故这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题综上可知，原命题成立。随堂练习随堂练习1.填空题填空题（1）命题）命题“若若
10、ABC不是等腰三角形，不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等则它的任何两个内角不相等”的逆否命题的逆否命题是是 _.它是它是 命题（命题（“真真”或或“假假”）.真真若若ABC的任何两个内角相等，则它是等腰的任何两个内角相等，则它是等腰三角形三角形（2）命题命题“若若q1，则，则x2+2x+q=0有实有实根根”的逆否命题是的逆否命题是_.逆命题是逆命题是_.它它是是 命题（命题（“真真”或或“假假”）.若若x2+2x+q 0，则，则q1若若x2+2x+q=0有实根，则有实根，则q1真真2.选择题选择题（1）设原命题：若）设原命题：若a+b 2，则，则 a,b中至少有中至少有一个不小于一个不小
11、于1，则原命题与其逆命题的真假，则原命题与其逆命题的真假情况是（情况是（）A原命题真，逆命题假原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题原命题与逆命题均为假命题A（2）命题命题“若若ab则则acbc”(这里这里a、b、c都都是实数是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题中，与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（真命题的个数为（）A4 B3 C2 D0D高考链接高考链接1.(2008山东文山东文)给出命题：若函数是幂函给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限在它的数，则函数的图象不过第
12、四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（真命题的个数是（）A3B2C1D0C2.（2001江西、山西、天津文、理）江西、山西、天津文、理）在空间在空间中，中，若四点不共面，则这四点中任何三点都若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线不共线 若两条直线没有共点，则这两条直线是若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的以上两个命题中，逆命题为真命题的是是 （把符合要求的命题序号都填上）（把符合要求的命题序号都填上）命题命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若x2axb0有非空解集，有非空解集，则则
13、a24b0”写出该命题的逆命题，否命题，逆否写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假命题，并判断真假 3.解答题解答题解：解：逆命题逆命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若 a2 4b0，则，则x2axb0有非空解集有非空解集.”否命题否命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若x2axb0没没有非空解集，则有非空解集，则a24b0”逆否命题逆否命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若a24b0，则则x2axb0没有非空解集没有非空解集”原命题，逆命题，否命题，逆否命题均原命题，逆命题，否命题，逆否命题均 为真命题为真命题习题解答习题解答P8 练习练习 证明：若证明：若a-b=1,则则
14、 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3 =a-b-1 =0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原 命题也是真命题命题也是真命题.B组组:用反证法证明用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分互相平分.DABCO已知已知:如右图如右图,在圆在圆O中中,弦弦AB与与CD交于交于点点P,且且AB,CD不是直径不是直径.求证求证:弦弦AB与与CD不能被不能被P点平分点平分.P证明证明:假设弦假设弦AB与与CD能被能被P点平分点平分,由于由于P点一定不是点一定不是圆心圆心O,连结连结OP,根
15、据垂径定理推论根据垂径定理推论,有有OPAB,OP CD.即过即过P点有两条直线点有两条直线AB,CD与与OP都垂直都垂直,这与这与垂垂线性质矛盾线性质矛盾.弦弦AB与与CD不能被不能被P点平分点平分.垂线的性质垂线的性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 1.设设0a,b,c ,(1-b)c ,(1-c)a 而而 得得 即即 ，属于自相，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立矛盾，所以假设不成立，原命题成立.1414141-a+b1 1-b+c1(1-a)b,(1-b)c,22221-c+a1(1-c)a,221-a+b 1-b+c 1-c+a 3+2222332241课堂小结课堂小结1.四种命题的相互关系：四种命题的相互关系：互否互否 原命题原命题若若p，则，则q 逆命题逆命题若若q，则，则p 逆否命题逆否命题若若q，则，则p 否命题否命题若若p，则，则q互逆互逆互逆互逆互否互否互互为为逆逆否否互互为为逆逆否否2.四种命题真假性的四种情况：四种命题真假性的四种情况：3.四种命题真假性的关系：四种命题真假性的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性的真假性.（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系们的真假性没有关系.
