1、 1.3.1 1.3.1 柱体、锥体、台体的表柱体、锥体、台体的表 面积与体积面积与体积1.3 1.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积所谓所谓表面积表面积，是指几何体表面的面积，是指几何体表面的面积.怎怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？各个侧面和底面的面积之和各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积或展开图的面积.思考思考:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？思考思考:圆柱的侧面展开图的形状有哪些特圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆柱的底面半
2、径为征？如果圆柱的底面半径为r r，母线长为，母线长为l，那么圆柱的表面积公式是什么？，那么圆柱的表面积公式是什么？S=2r(lr)思考思考:圆锥的侧面展开图的形状有哪些特圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆锥的底面半径为征？如果圆锥的底面半径为r r，母线长为，母线长为l，那么圆锥的表面积公式是什么？，那么圆锥的表面积公式是什么？S=r(lr)思考思考:圆台的侧面展开图的形状有哪些特圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的上、下底面半径分别为征？如果圆台的上、下底面半径分别为rr、r r，母线长为，母线长为l，那么圆台的表面积，那么圆台的表面积公式是什么？公式是什么？思考思考:在圆台
3、的表面积公式中，若在圆台的表面积公式中，若r=rr=r，r=0r=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？r=rr=rr=0r=0S=2r(lr)知识探究（二）知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 思考思考:你还记得正方体、长方体和圆柱的你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？公式？思考思考:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？柱体的体积公式是什么？高高h h底面积底面积S S V=Sh思考思考:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理：（1 1）
4、相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等；（2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和；（3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等；（4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体.将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？1 12 23 31 12 23 3思考思考:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般
5、的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？高高h h底面积底面积S S 思考思考:根据棱台和圆台的定义，如何计根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？算台体的体积？设台体的上、下底面面积分别为设台体的上、下底面面积分别为SS、S S，高为，高为h h，那么台体的体积公式是什么？，那么台体的体积公式是什么？高高h h下底面下底面积积S S 上底面上底面积积S S 思考思考:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？S=SS=SS=0S=0V=Sh理论迁移理论迁移 例例1 1 已知棱长为已知棱长为
6、a a，各面均为等边三角，各面均为等边三角形的四面体形的四面体S-ABC,S-ABC,求它的表面积求它的表面积.例例2 2 一个圆台形花盆盆口直径为一个圆台形花盆盆口直径为20cm20cm，盆底直径为盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5cm1.5cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm，为了美化花盆的外，为了美化花盆的外观，需要涂油漆观，需要涂油漆.已知每平方米用已知每平方米用100100毫毫升油漆，涂升油漆，涂100100个这样的花盆需要多少油个这样的花盆需要多少油漆（精确到漆（精确到1 1毫升）？毫升）？202015151515(1)求圆柱、圆锥、圆台的表面
7、积的步骤求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤 得到空间几何体的展开图得到空间几何体的展开图 依次求出各个平面图形的面积依次求出各个平面图形的面积 将各平面图形的面积相加将各平面图形的面积相加 (2)求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤 清楚各侧面的形状清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积求出每个侧面的面积 求出其底面的面积求出其底面的面积 求和得到表面积求和得到表面积 例例3 3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重共重5.8kg5.8kg（铁的密度是（铁的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），已），已知螺帽的底面是正六边形，边长为知螺
8、帽的底面是正六边形，边长为12mm12mm，内孔直径为内孔直径为10mm10mm，高为，高为10mm10mm，问这堆，问这堆螺帽大约有多少个？螺帽大约有多少个？V2956V2956（mmmm3 3）=2.956=2.956（cmcm3 3）5.85.81001007.87.82.9562.956252252（个）（个）解解 (1)V 三棱锥三棱锥 A1 ABD13SABDA1A 1312ABADA1A16a3.故剩余部分的体积故剩余部分的体积 VV正方体正方体V 三棱锥三棱锥 A1 ABDa316a356a3.(2)V 三棱锥三棱锥 AA1BDV 三棱锥三棱锥 A1 ABD16a3.设三棱锥设
9、三棱锥 AA1BD 的高为的高为 h，则则 V 三棱锥三棱锥 AA1BD13SA1BDh 131232(2a)2h36a2h，故故36a2h16a3，解得解得 h33a.求几何体体积的常用方法求几何体体积的常用方法(1)公式法：公式法：直接代入公式求解直接代入公式求解 (2)等积法：等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选只需选用用底面积和高都易求的形式即可底面积和高都易求的形式即可 (3)补体法：补体法：将几何体补成易求解的几何体将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等三棱柱补成四棱柱等 (4)分割法：分割法
10、：将几何体分割成易求解的几部分将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积分别求体积 已知几何体的三视图求其表面积或体积时已知几何体的三视图求其表面积或体积时，先由三视图还原作出先由三视图还原作出直观图直观图，然后根据三视图中所给数据然后根据三视图中所给数据，得到直观图中计算表面积得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据和体积所需要的有关数据，再利用表面积或体积公式求解，再利用表面积或体积公式求解 1圆柱、圆锥圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键 2计算柱体、锥体和台体的体积计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的关键是根据条件找出相应的底面面积和高底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题将空间问题转化为平面问题 3 在几在几何何体的体积计算中体的体积计算中，注意体会注意体会“分割思想分割思想”“”“补体思想补体思想”及及“等价转化思想等价转化思想”
