1、2激趣诱思知识点拨某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑,那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗?激趣诱思知识点拨知识点一、均值不等式 激趣诱思知识点拨名师点析1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.不等式a2+b22ab的变形这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.当
2、不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.激趣诱思知识点拨3.均值不等式与不等式a2+b22ab的异同 激趣诱思知识点拨4.均值不等式的变形 第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.激趣诱思知识点拨微思考均值不等式与不等式a2+b22ab的关系如何?请对此进行讨论.提示:(1)在a2+b22ab中,a,bR;在a+b2 中,a,b0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值.激趣诱思知识点拨微练习 答案:B 激趣诱思知识点拨(2)已知a,bR,
3、且a2+b2=4,则ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值D.有最大值2,有最小值0解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b22|ab|,得|ab|2,所以-2ab2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.答案:A激趣诱思知识点拨知识点二、重要结论已知x,y都为正数,则名师点析利用均值不等式求最值注意事项在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.激趣诱思知识点拨二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.另
4、外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.激趣诱思知识点拨微思考应用两个重要结论时,要注意哪些事项?提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.激趣诱思知识点拨微练习已知x,y0,且x+4y=1,则xy的最大值为.探究一探究二探究三素养形成当堂检测对均值不等式的理解对均值不等式的理解例1(1)若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b22abC.a=1 D.a=2分析利用均值不等式时需注意使用条件.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案
5、:(1)D(2)C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测直接利用均值不等式求最值直接利用均值不等式求最值例2(1)设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81 D.82分析根据已知条件,直接利用均值不等式求最值.答案:(1)C(2)8 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用均值不等式求最值时要注意:(1)x,y一定要都是正数.(2)求
6、积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号是否能够成立.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测间接利用均值不等式求最间接利用均值不等式求最值值 分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.(2)(3)先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:-12 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼
7、凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测均值不等式的变形技巧均值不等式的变形技巧技巧一:裂项分析先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).探究一探究二探究三素养形成当堂检测技巧二:添项 分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.探究一探究二探究三素养形成当堂检测技巧三:放入根号内或两边平方 分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:BA.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,则代数式3x+27y的最小值是,此时x=,y=.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测
