1、22复习回顾：双曲线的标准方程复习回顾：双曲线的标准方程:)0,0(12222babyax形式一：形式一：（焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、（c，0）1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c）其中其中)0,0(12222babxay1F2F222bac 双曲线的图象特双曲线的图象特点与几何性质点与几何性质?现在就用方现在就用方程来探究一下程来探究一下!类似于椭圆几何性质的研究类似于椭圆几何性质的研究.3YXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在x轴上的双曲线图像4 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几
2、何性质的简单几何性质1、范围、范围22221,xxaaxa xa 即即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称.x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab (下一页下一页)顶点顶点53、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段
3、实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长.2A1A2B1B（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线.22(0)xym m (下一页下一页)渐近线渐近线64、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响(3)双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?(下一页下一页)离心率离心率如何记忆双曲线的渐近线
4、方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？75、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 12222()11bcaceaaa （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e=?2,8XYF1F2OB1B2A2A112222bxay焦点在y轴上的双曲线图像9焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程：YX12222bxay0byax双曲线性质：1、范围：ya或y-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴 B1B2;虚轴 A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c
5、/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？10小小 结结xyoax或ax ay ay或)0,(a),0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象 xyo11例例1 求双曲线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程焦点坐标、离心率、渐进线方程.可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3焦点坐标为（焦点坐标为（0，-
6、5）、（）、（0，5）45 ace离离心心率率xy34 渐进线方程为渐进线方程为解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程221169yx12例例2.4516线和焦点坐标线和焦点坐标程，并且求出它的渐近程，并且求出它的渐近出双曲线的方出双曲线的方轴上，中心在原点，写轴上，中心在原点，写焦点在焦点在，离心率离心率离是离是已知双曲线顶点间的距已知双曲线顶点间的距xe 思考思考:一个双曲线的渐近线的方程为一个双曲线的渐近线的方程为:,它的它的离心率为离心率为 .xy43 5543或xy43渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF 焦点1366422 yx解：解：132283 2xy 练习练习
7、(1)：2214xy(2):的渐近线方程为：的渐近线方程为：的实轴长的实轴长 虚轴长为虚轴长为_ 顶点坐标为顶点坐标为 ,焦点坐标为焦点坐标为_ 离心率为离心率为_2xy 4280,240,63242244xy的渐近线方程为：的渐近线方程为：2214xy 的渐近线方程为：的渐近线方程为：的渐近线方程为：的渐近线方程为：2244xy 2xy2xy 2xy1422313 2 3916xy例：求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；220332xyyx 渐近线方程可化为22094xy 设所求双曲线方程为8114294则，解得22222194188xyxy故所求双曲线方程为即 2
8、210916xy 解：设所求双曲线方程为912916则，2219164xy故所求双曲线方程为22191644xy即14解得 292132yx 渐近线方程为：且过点，15已知渐近线方程已知渐近线方程,不能确定不能确定a,b的值的值,只能确定只能确定a,b的关系的关系如果两条渐近线方程为如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为那么双曲线的方程为当当 0时时,当当 0时时,当当=0时时,0byax 2222byax,这里这里是待定系数是待定系数共轭双曲线共轭双曲线：以已知双曲线的：以已知双曲线的实轴为虚轴实轴为虚轴，虚轴为实轴虚轴为实轴，这样，这样得到的双曲线称为原双曲线的得到的双曲线称为原双曲线
9、的共轭共轭双曲线。通过分析曲线的方双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在双曲线焦点在x轴上轴上双曲线焦点在双曲线焦点在y轴上轴上即为双曲线的渐近线方程即为双曲线的渐近线方程1）性质：）性质：共用共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？）如何确定双曲线的共轭双曲线？将将1变为变为-116练习练习:求出下列双曲线的标准方程求出下列双曲线的标准方程17182.2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点求中心在原点，
10、对称轴为坐标轴，经过点P(1,(1,3)3)且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程.21 1.过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为34yx 的双曲线方程是的双曲线方程是_.1922313 2 2164xy例：求下列双曲线的标准方程：（3）与双曲线有相同焦点，且过点，；32 5 0解：焦点为，221 02020 xymmm设所求双曲线方程为184120mm则810m 解得或（舍）221128xy故所求双曲线方程为20 1.求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x
11、轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21FF 双曲线的焦点在 轴上，且xc2 2双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 bacabab33822222，而，解出解出2622ba，双曲线方程为xy22621 21关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1(0)xyabab22222222A1（-a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐进线渐进线ay
12、xb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 小小 结结2212 byax222（a b 0）12222 byax(a 0 b0)222 ba(a 0 b0)c222 ba(a b0)cyXF10F2MXY0F1F2 p23渐近线渐近线离心率离心率顶点顶点对称性对称性范围范围 准线准线|x|a,|y|b|x|a，y R对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点（-a,0)
13、(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：实轴：2a虚轴：虚轴：2be=ac(0e 1)ace=(e1)无无 y=abxcax2cax224例例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径下口半径为为25m,高高55m.选择适当的坐标系，求出此选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m).AA0 xCCBBy13122525 .)(,.,).(,mmmmm15
14、525131218224到到精确精确此双曲线方程此双曲线方程求出求出适当的坐标系适当的坐标系试选择试选择高高为为下口半径下口半径径为径为上口半上口半为为径径半半它的最小它的最小图图旋转所成的曲面旋转所成的曲面虚轴虚轴其其部分绕部分绕的一的一是双曲线是双曲线塔的外形塔的外形双曲线型冷却双曲线型冷却例例 8221.图图26AABBCCxy 8222.图图131225O .|,|,.,.2252132822 BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解 ,0012222 babyax设双曲线的方程为 .,5525 yB的坐标为则点
15、,yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,CB27AABBCCxy 8222.图图131225O 2112131155122522222222.,byby ,负值舍去得由方程1252by .,25018150275191551251225122222 bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422 yx所求双曲线的方程为所以28解：解：xyl l.FO.M的距离，则到直线是点设lMd由题意知45|dMFd.45|516|)5(22xyx即两边平方，并化简得：.14416922yx.68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点M.例例5 5、点、点M M（x x，y y）与定点）与
16、定点F F（5 5，0 0）的距离和它到）的距离和它到定直线定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹。的轨迹。516:xl45.191622yx即29双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：.)1(曲线，则这个点的轨迹是双是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点eacelFM.是双曲线的离心率准线，常数定直线叫做双曲线的定点是双曲线的焦点，e.)0(1222222caxcFbyax，对应的右准线方程是，右焦点，对于双曲线.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点cayy2程是：轴上的双曲线的准线方焦点在yl l.FF OMd.x30例例6：如图所示，过双
17、曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一:设直线设直线ABAB的方程为的方程为3(3)3yx 与双曲线方程联立得与双曲线方程联立得A、B的坐标为的坐标为92 3(3,2 3),(,)55 由两点间的距离公式得|AB|=163531例例6：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二法二:设直线设直线ABAB的方程为的方程为3(3
18、)3yx 与双曲线方程联立消与双曲线方程联立消y得得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得222212121212212121|()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx 设设A、B的坐标为的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则则1212627,55xxxx *32 1。已知双曲线。已知双曲线3x2y23,直线直线l过其右焦点过其右焦点F2，与双曲，与双曲线交于线交于A、B两点，且倾斜角为两点，且倾斜角为45，试问，试问A、B两点是两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长的长【思路点拨思路点拨】先写出
19、直线方程，代入双曲线方程，利先写出直线方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系判断用根与系数的关系判断33利用利用x1x20判断点判断点A、B的位置是本题的难点！的位置是本题的难点！3435讨论直线与双曲线的位置关系，一般化为讨论直线与双曲线的位置关系，一般化为关于关于x(或或y)的一元二次方程，这时首先要看二的一元二次方程，这时首先要看二次项的系数是否等于次项的系数是否等于0.当二次项系数等于当二次项系数等于0时，时，就转化成就转化成x(或或y)的一元一次方程，只有一个解，的一元一次方程，只有一个解，这时直线与双曲线相交只有一个交点当二这时直线与双曲线相交只有一个交点当二次项的系数不为次项的系数不为0时，利用根的判别式时，利用根的判别式,判断判断直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系.36变式训练变式训练1.如果直线如果直线ykx1与双曲线与双曲线x2y24没有公共点，求没有公共点，求k的取值范围的取值范围371若直线若直线ykx1与双曲线与双曲线x2y21有且只有一个交点，有且只有一个交点，则则k的值为的值为_38392过点过点P(8,1)的直线与双曲线的直线与双曲线x24y24相交于相交于A,B两两 点，且点，且P是线段是线段AB的中点，求直线的中点，求直线AB的方程的方程40
