1、a1分类讨论思想分类讨论思想 20052005年年4 4月月高考数学复习专题之一高考数学复习专题之一 分类讨论思想分类讨论思想 内容分析内容分析评价分析评价分析教法分析教法分析目标分析目标分析过程分析过程分析地位和作用地位和作用 “分类讨论分类讨论”是一种重要的数学思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。它能揭示数学对象之想与归类整理的方法。它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识
2、，使所学知识条理化。有关分类讨论思想识，使所学知识条理化。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。如以在高考试题中占有重要的位置。如:2004湖南省高考的文科卷湖南省高考的文科卷 (16)、(19)、理科、理科卷（卷（10）、（）、（14）、（）、（18）等）等.进行分类讨论要遵循总的原则和解进行分类讨论要遵循总的原则和解答分类讨论问题的基本步骤答分类讨论问题的基本步骤 教学重点教学重点教学难点教学难点“标准统一、不漏不重标准统一、不漏不
3、重”a5 分类讨论思想分类讨论思想 内容分析内容分析评价分析评价分析教法分析教法分析目标分析目标分析过程分析过程分析 1 1、了解了解“分类讨论思想分类讨论思想”的意义；的意义；2、理解分类讨论的步骤以及分类讨论法、理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则；解题必须遵循总的原则；3、感受、感受“分类讨论思想分类讨论思想”在解决相关问在解决相关问题中的作用。题中的作用。通过通过“情景情景感知感知概括概括运运用用反思反思”的途径培养学生的观察、的途径培养学生的观察、发现、类比、归纳、概括、发散以发现、类比、归纳、概括、发散以及进行合情推理的能力；及进行合情推理的能力；体验数学学习活动中
4、的成功与快体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲及学好数学的乐，增强他们的求知欲及学好数学的信心；又通过联系与发展、对立与统信心；又通过联系与发展、对立与统一的思考方法向学生渗透辩证唯物主一的思考方法向学生渗透辩证唯物主义认识论的思想。义认识论的思想。a9 分类讨论思想分类讨论思想 内容分析内容分析评价分析评价分析教法分析教法分析目标分析目标分析过程分析过程分析教学流程图 (1)(1)创设情景，引出新知创设情景，引出新知 问题问题1:1:有有12个金色小球，其中一个金色小球，其中一个与其它球除重量不同外再无个与其它球除重量不同外再无其他区别，把其他区别，把12个球随机平分个球随机平分
5、成三份，请说明如何用天平称成三份，请说明如何用天平称3 次将特殊球选出，并指出该次将特殊球选出，并指出该球比其它球是轻还是重球比其它球是轻还是重?设计意图：设计意图：留一定留一定的时间让学生思考、的时间让学生思考、讨论，在学生感到讨论，在学生感到新奇而又不知所措新奇而又不知所措的过程中积蓄的过程中积蓄强烈的求知欲望。强烈的求知欲望。设置悬念，调动了设置悬念，调动了他们的学习积性。他们的学习积性。a12教学流程图(2)(2)分析分析：先给小球编号：先给小球编号112,并任取两份放在天平并任取两份放在天平的两端，不妨取的两端，不妨取(1，2，3，4)与与(5，6，7，8)，（第一次）。（第一次）。
6、（1）、假如第一次左右平衡，说明目标球在）、假如第一次左右平衡，说明目标球在(9，10，11，12)中，再称中，再称(1，9)，(10，11)（第二次）。（第二次）。a、假如一样重，说明、假如一样重，说明12号球与众不同，将它与任号球与众不同，将它与任一球称即可知道是重是轻一球称即可知道是重是轻(第三次）第三次）b、假如左重右轻，说明不是、假如左重右轻，说明不是9号重就是号重就是10或或11号号轻，只要称轻，只要称10，11即可知道。（第三次）即可知道。（第三次）c、假如左轻右重，则与上面同理可推。、假如左轻右重，则与上面同理可推。（2）假如第一次左重右轻，说明要么）假如第一次左重右轻，说明要
7、么1，2，3，4中有一球重要么中有一球重要么5，6，7，8中有一球轻，这时称中有一球轻，这时称(1，5，6)，(2，7，8)（第二次）（第二次）a、假如一样重，说明、假如一样重，说明3号和号和4号中必有一球重，则称号中必有一球重，则称它俩就可知道。（第三次）它俩就可知道。（第三次）b、假如左重右轻，说明要么、假如左重右轻，说明要么1号重，要么号重，要么7，8中有中有一球轻，则称一球轻，则称7，8即可。（第三次）即可。（第三次）c、假如左轻右重，说明要么、假如左轻右重，说明要么2号重，要么号重，要么5，6中有中有一球轻，则称一球轻，则称5，6即可。（第三次）即可。（第三次）（3）假如第一次左轻右
8、重，则与上面）假如第一次左轻右重，则与上面2同理可推。同理可推。(2)(2)(2)(2)问题问题2:2:有卡片有卡片9张，将张，将0，1，2，8这九个数字分这九个数字分别写在每张卡片上别写在每张卡片上,现从中现从中任取任取3张排成三位数，若张排成三位数，若6可当可当9用，问可组成多少个用，问可组成多少个不同的三位数？不同的三位数？设计意图：设计意图：让学生在问让学生在问题的解决过题的解决过程中，初步程中，初步体会利用分体会利用分类讨论思想类讨论思想解决相关问解决相关问题的条理性题的条理性a16 解答解答:分以下两类：分以下两类：（1）不含）不含6的三位数共有的三位数共有N1A71A72个个（2
9、）含）含6的三位数有以下两种情况：的三位数有以下两种情况：a.含含6不含不含0的三位数有的三位数有N22C72A33个个 b.含含6也含也含0的三位数有的三位数有N32C71A21A22个个 由加法原理得，不同的三位数的个数：由加法原理得，不同的三位数的个数：NN1N2N3602有些数学概有些数学概念，在定义念，在定义时就对所研时就对所研究的范围作究的范围作了限制，如了限制，如“直线的截直线的截距式方程距式方程”、“直线的倾直线的倾角角”等等 例例1 过点过点P(2,3)，且在坐标轴上，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是的截距相等的直线方程是 A.3x2y0 B.xy50 C.3x2y0或或x
10、y50 D.不能确定不能确定(2)(2)有些数学概有些数学概念，必须满念，必须满足特定的条足特定的条件才能成立，件才能成立，如一元二次如一元二次方程有解等方程有解等(2)(2)例例2 关于关于x的方程的方程x25xm0的两根为的两根为z1和和z2，而且满足而且满足|z1z2|3，求，求实数实数m的值。的值。有些数学概念，本有些数学概念，本身就是分类叙述的，身就是分类叙述的，或者本身就是以分或者本身就是以分段函数形式出现，段函数形式出现，如如“绝对值绝对值”、“直线的斜率直线的斜率”、“直线与平面所成直线与平面所成的角的角”等等(2)(2)例例3 证明证明:两平行两平行直线与同一平面所直线与同一
11、平面所成的角相等成的角相等.涉及不同数学概涉及不同数学概念的问题，常常念的问题，常常采用不同的方法采用不同的方法处理，而有些不处理，而有些不同的数学对象，同的数学对象，可以用含参数的可以用含参数的同一形式表示，同一形式表示，如整式方程等如整式方程等(2)(2)例例4 实数实数k为何值为何值时，方程时，方程kx2kx10有实根？有实根？有些函数的有些函数的性质以分类性质以分类表达的，如表达的，如指数函数的指数函数的单调性、三单调性、三角函数的定角函数的定义域等义域等(2)(2)x1log(1)1ax例5 解关于 的不等式数学中有些数学中有些问题，需要问题，需要作出明确判作出明确判断，如判断断，如
12、判断出某两个数出某两个数的大小，方的大小，方好继续后面好继续后面的解题过程的解题过程 例例6 设设A x|x22ax8a20,B x|xa1，若若A B，求，求a的取值范围。的取值范围。(2)(2)有些与图形有关有些与图形有关的问题，常常因的问题，常常因参数的取值不同，参数的取值不同，影响着图形之间影响着图形之间相对位置关系发相对位置关系发生变化，由此引生变化，由此引起问题的结论产起问题的结论产生多种形式生多种形式(2)(2)例例7 两条异面直线两条异面直线在一个平面内的射影在一个平面内的射影有哪几种情况？有哪几种情况？a24教学流程图 尝试活动：尝试活动：（3 3）师生互动，运用新知）师生互
13、动，运用新知设计意图：设计意图：给学给学生提供设计问生提供设计问题的机会题的机会，逐，逐步增强他们的步增强他们的创新意识和数创新意识和数学应用能力。学应用能力。我来当老师！我来当老师！例例1.已知圆已知圆x2y24，求经，求经过点过点P（2，4），且与圆相切），且与圆相切的直线方程。的直线方程。（3 3）师生互动，运用新知）师生互动，运用新知设计意图：设计意图：课题的引出，课题的引出，围绕问题展开，使学生在围绕问题展开，使学生在积极的状态下，用分类讨积极的状态下，用分类讨论的思想方法，把有关知论的思想方法，把有关知识正迁移，激发了他们的识正迁移，激发了他们的学习兴趣。学习兴趣。（3 3）师生互
14、动，运用新知）师生互动，运用新知1sin25coscos13ABCABC例2 在中，已知，求例例3.已知等比数列的前已知等比数列的前n项之和项之和为为Sn，前，前n1项之和为项之和为Sn1，公比公比q0，令，令 .（3 3）师生互动，运用新知）师生互动，运用新知1limnnnnSTTnS，求a29教学流程图 （4 4）发散训练，反思新知）发散训练，反思新知例例1.1.设函数设函数f(x)f(x)axax2 22x2x2 2，对于满足对于满足1 1x x4 4的一切的一切x x值都有值都有f(x)f(x)0 0，求实数，求实数a a的取值范围。的取值范围。例例2 2 对于满足对于满足|p|2的所
15、有实数的所有实数p,求使不等求使不等式式x2px12px恒成立的恒成立的x的取值范围。的取值范围。设计意图设计意图:注意简化或注意简化或避免分类讨避免分类讨论论,达到灵活达到灵活运用的目的运用的目的（4 4）发散训练，反思新知）发散训练，反思新知a32教学流程图 a33 问问 题题 情情 景景第二步：确定分类第二步：确定分类讨论的分类标准讨论的分类标准第三步：分类逐步、第三步：分类逐步、分级进行讨论分级进行讨论观察观察分析分析类比类比归纳归纳发散反思发散反思解决问题解决问题分类讨论的分类讨论的步骤步骤第一步：确定讨论第一步：确定讨论的对象及其范围的对象及其范围第四步：归纳小结、第四步：归纳小结
16、、综合得出结论综合得出结论设计意图：设计意图：使学生对知使学生对知识的掌握上识的掌握上升为一种能升为一种能力，并纳入力，并纳入已有的认知已有的认知结构，利用结构，利用知识发生迁知识发生迁移，成为新移，成为新的知识的生的知识的生长点。长点。a34教学流程图 (6)(6)布置作业，巩固提高布置作业，巩固提高设计意图：设计意图：让学生巩固让学生巩固所学内容并进行自我检所学内容并进行自我检测与评价测与评价.a36 分类讨论思想分类讨论思想 内容分析内容分析评价分析评价分析教法分析教法分析目标分析目标分析过程分析过程分析 教学主线教学主线情景情景 感知感知 概括概括 运用运用 设疑诱导设疑诱导动手操作动手操作合作交流合作交流尝试活动尝试活动演练结合演练结合类比发现类比发现观察分析观察分析自主探索自主探索问题讨论问题讨论引导发散引导发散反思反思a38 分类讨论思想分类讨论思想 内容分析内容分析评价分析评价分析教法分析教法分析目标分析目标分析过程分析过程分析（3 3）以）以“问题问题”为载体；为载体；（2 2）以）以“观察观察”为主线为主线;（4 4）以）以“能力能力”为目标。为目标。（1 1）以）以“思维思维”为中心；为中心；
